Dan-Di 의 수학 블로그

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 119p~120p) 백지테스트.pdf

이차방정식의 판별식 글에서 한번 풀어봤던 내용 입니다.( 바로가기)

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 15. 이차방정식 연습문제 step 2,3

단디 티쳐 — Tue, 18 Mar 2025 14:55:34 +0900

2 - 2. 이차방정식

이차방정식의 판별식 활용법, 중근 조건, 완전제곱식 판별 등은 고등 수학에서 매우 중요한 개념입니다. 이 글에서는 판별식을 활용한 문제풀이, 실수 조건 해석법, 인수분해와 관련된 고난도 문제까지 이차방정식 심화 내용을 체계적으로 정리합니다. 특히, $D/4$ 활용법, 항등식 조건 분석, 근의 개수 판단법을 통해 학교 시험 및 서술형 대비에 꼭 필요한 핵심 풀이법을 익혀 보세요.

개념원리 공통수학 1 : 118p

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연습문제 STEP 2

개념원리 118p 234번

문장 구조가 "이차방정식 ~ 이 (실수 $k$의 값에 관계없이 항상) $x=2$를 근으로 가진다" 로 조건 2개를 한문장으로 말한것입니다.

$x$에 대한 이차방정식이라 직접적으로 언급하지는 않았지만
근을 이야기할때 $x=$이라고 한 것을 보아 $x$에 대한 이차방정식이라는 것을 알 수 있습니다.
결론은, $x$에 대한 이차방정식이 $x=2$를 근으로 가지므로 대입시 성립하는데,
그 식이 $k$의 값이 관계 없이 항상 성립한다는 뜻입니다.

이차방정식이 $x=2$를 근으로 가짐 → $x=2$ 대입시 성립 → $8+2a(k+1)+b(k-3)=0$
실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상 $8+2a(k+1)+b(k-3)=0$ 성립
→ $k$ 에 대한 항등식
→ $k$ 에 대해 내림차순 정리

$8+2a(k+1)+b(k-3)=0$ ← 이 식이 실수 $k$의 값에 관계 없이 항상 성립

$(2a+b)k + (8+2a-3b) = 0 \cdot k + 0$ ←$k$에 대한 내림차순 정리 , $0= 0 \cdot k + 0$꼴로 봐줌

$\therefore 2a+b = 0 \quad 8 + 2a-3b = 0$

$\therefore a = -1, \quad b = 2, a+b = 1$

개념원리 118p 235번

$x^2 + ax + b = 0$ 서로 다른 두 실근 가짐 $\rightarrow D_1 = a^2 - 4b > 0$

$x^2 + (a-2c)x + b-ac = 0$의 근을 판별하기위해 판별식을 먼저 적어주면,

$D_2 = (a-2c)^2 - 4(b-ac)$

$= a^2 - 4ac + 4c^2 - 4b + 4ac$

$= a^2 + 4c^2 - 4b$

$= (a^2 - 4b) + 4c^2$

$D_1$에 의해 $a^2 - 4b > 0$
$4c^2$은 제곱수 이므로 항상 0보다 크거나 같음.
0보다 큰수(0은 안됨)와 0보다 크거나 같은 수를 더하면 항상 0보다 큰 값을 가지게 됨

$\therefore D_2 = (a^2 - 4b) + 4c^2 > 0$ : 서로 다른 두 실근.

개념원리 118p 236번

문장을 끊어가며 식을 바로바로 풀어보도록 하겠습니다.

$x$에 대한 이차방정식 $2x^2 - 3y^2 - 4x + ay - xy + 1 = 0$ 이

$x$에 대한 이차방정식이라 하였으므로 $y$를 상수로 보고 정리해 주면
$2x^2 + (-4 - y)x - 3y^2 + ay + 1 = 0$

중근을 갖도록 하는

중근을 갖기 위해 $D = 0$ 이용
계수: ⓐ $= 2$, ⓑ $= -4 - y$, ⓒ $= -3y^2 + ay +1$
판별식 $D = (-4 - y)^2 - 4(2)(-3y^2 + ay +1) = 0$
$y^2 + 8y + 6 + 24y^2 - 8ay - 8 = 0$
$25y^2 + 8y - 8ay + 8 = 0$

갖도록 하는 실수 y값의 개수가 1

$25y^2 + 8y - 8ay + 8 = 0$ 성립하도록 하는 y가 1개
y의 개수, 즉 y값에 대해 이야기하고 있으니
y에 대한 이차방정식으로 생각
$25y^2 - 8(a-1)y + 8 = 0$ 성립하는 y값 1개, 즉 중근이라는 것을 알수있음.
중근을 갖기 위해 $D = 0$ 이용
계수: ⓐ $= 25$, ⓑ $= -8(a-1)$, ⓒ $= 8$ ( $b' = -4(a-1)$ )
판별식 : $D/4 = (-4(a-1))^2 - (25 \times 8) = 0$
$16(a-1)^2 - 200 = 0$
$(a-1)^2 = \frac{200}{16} = \frac{50}{4}$
$a - 1 = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$
$\therefore a = \frac{2 \pm 5\sqrt{2}}{2}$

양수$a$값을 구하라 하였으므로 ∴ $a = \frac{2 + 5\sqrt{2}}{2}$

결론이 나올때마다 식을 해석하면서 가야합니다. 단순하게 정리해서 풀이를 적어둘수도 있겠지만, 이해가 안되는 학생이 최대한 이해할 수 있도록 자세하게 생각의 순서에 따라 정리해 봤습니다. 혹시나 문제를 풀었다 하더라도 구조를 정확히 파악하고 푼 것인지 자신의 풀이와 비교해 보도록 합시다.

개념원리 118p 237번

판별식을 이용해 풀기하기 위해

(주어진 이차식) = 0 인 이차방정식으로 생각해보면,

↓ 주어진 식은 완전 제곱식이므로

(완전제곱식) = 0 이 됨.

이 식은 중근을 가지므로 $D=0$

정리하자면,

이차식 $a(1+x^2) + 2bx + c(1-x^2)$이 완전제곱식이면

이차방정식 $a(1+x^2) + 2bx + c(1-x^2) = 0$ 은 중근 가지므로 $D=0$

풀이:)

$(a - c)x^2 + (2b)x + (a + c) = 0$

이차식 이므로 $ a \neq c $ (← 쓰든 안쓰든 항상 짚고 넘어가기 !)
중근 가지므로 $D=0$ 이용

$D/4 = b^2 - (a - c)(a + c) = 0$

$b^2 - (a^2 - c^2) = 0$

$b^2 + c^2 = a^2$ (← 피타고라스 식)

∴ 빗변의 길이가 $a$인 직각삼각형 ( 또는 각으로 표현하자면, $\angle A = 90^\circ$인 직각 삼각형)

연습문제 STEP3 (118p)

개념원리 118p 238번

문제에서 AP 길이를 몰랐으므로 $ AP = x $ 라 하면

$ PB = 2 - x $
대각선 BD 위의 한점 O 이므로
사각형 $ PBQO $, 사각형 $ SORD $, 사각형 $ ABCD $는 닮음 (가로 : 세로 = 2 : 1)
→ $ AP = SO = x $ 이므로 $ OR = 2x $
→ $ PB = 2 - x $ 이므로 $ PO = 4 - 2x $

조건 ① 사각형 APOS $ 넓이 + 사각형 OQCR 넓이 = 3

조건 ② $ AP < PB $

$ x < 2 - x $
$ \therefore x < 1 $

조건 ①, ② 만족하는 최종답

개념원리 118p 239번

처음 보는 유형일 수 있지만, 꽤 자주 나오는 유형이라 자세하게 설명하도록 하겠습니다.

나중에는 간단하게 생략해서 풀더라도 처음에는 원리를 정확히 알고 풀도록 합시다!

(다음글에서 주로 다룰 내용이기도 합니다.)

사용 개념

$x$에 대한 이차 방정식 근이 $\alpha, \beta$인 경우

$(x-\alpha), (x - \beta)$ 인수를 가짐
$\therefore$ 이차방정식 = $k(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ 으로 인수분해됨 ($k$: 최고차계수)
그렇다면, 이차식 = $k(x - \alpha)(x - \beta) $

주어진 식을 $x$에 대한 이차방정식으로 보면, ($y$는 상수 취급)

$2x^2 + (y - 1)x + (-y^2 + 2y + k) = 0$ 의 근은 (근의 공식에 의해) $x = \frac{-(y - 1) \pm \sqrt{D}}{2}$

$(D = (y - 1)^2 - 4(2)(-y^2 + 2y + k) = 9y^2 - 18y - 8k + 1)$

$\therefore$ $2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{D}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{D}}{2} \right) = 0$ 으로 인수분해 됨
$\therefore$ 주어진 이차식 = $2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{D}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{D}}{2} \right)$

즉, $D = 9y^2 - 18y - 8k + 1$를 넣어 정리해 보면,
$2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{9y^2 - 18y - 8k + 1}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{9y^2 - 18y - 8k + 1}}{2} \right) $
이 식은 $x,y$에 대한 두 일차식으로 인수분해 되었다 할 수 없습니다.

이 식이 $x,y$에 대한 두 일차식의 꼴로 인수분해 되기 위해서는

$\sqrt{D}$가 $y$에 대한 일차식으로 정리되어야 합니다.
그러기 위해서는 $\sqrt{}$ 안의 식 $D = 9y^2 - 18y - 8k + 1$가 완전제곱식이 되어야 $\sqrt{}$가 사라집니다.

완전제곱식이 되기 위한 풀이 1) 꼴 맞춰 주기

$\therefore k = -1$

완전제곱식이 되기 위한 풀이 2) 판별식 이용

$9y^2 - 18y - 8k + 1$이 완전제곱식 되기위해 $D = 0$

$\frac{D}{4} = 81 - 9(-8k + 1) = 0$

$72k + 72 = 0$

$\therefore k = -1$

추가로,

정말 $x,y$에 대한 두 일차식의 꼴로 인수분해 되는지 확인해 보도록 할께요.

$D = 9y^2 - 18y - 8k + 1 = (3y - 3)^2$ 이므로

$\sqrt{D} = \sqrt{(3y - 3)^2} = |3y - 3|$

▶ ▶ $\pm\sqrt{D} = \pm (3y - 3)$

$\frac{- (y - 1) + (3y - 3)}{2} = y - 1, \quad \frac{- (y - 1) - (3y - 3)}{2} = -2y + 2$ 이므로

주어진 이차식 = $2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{D}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{D}}{2} \right)$
이 식에 넣어 정리해 주면,

(주어진 이차식)

= $ 2 \left( x - (y - 1) \right) \left( x - (-2y + 2) \right) $

= $ 2 \left( x - y + 1) \right) \left( x + 2y - 2) \right) $

이렇게 두 일차식의 곱으로 인수분해 된다는 것을 확인할 수 있습니다.

간단풀이 정리 :)

$2x^2 + xy - y^2 - x + 2y + k = 2x^2 + (y - 1)x - (y^2 - 2y - k)$

$2x^2 + (y - 1)x - (y^2 - 2y - k) = 0$의 판별식을 $D$라 하면

$D = 9y^2 - 18y + 1 - 8k$

$D$가 완전제곱식이어야 하므로 $D = 0$의 판별식을 $D'$이라 하면

$\frac{D'}{4} = (-9)^2 - 9(1 - 8k) = 0$

$\therefore k = -1$

왜 "$2x^2 + (y - 1)x - (y^2 - 2y - k) = 0$의 판별식을 $D$라 하면" 여기서 판별식을 구해주고,

왜 " $D$가 완전제곱식이어야" 하는지 이해가 되시나요 ??

어렵더라도 차근차근 이해해보고 반복하도록 합시다.

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공통수학 1 - 2 - 14. 이차방정식 확인체크 , 연습문제 step1

단디 티쳐 — Sat, 15 Mar 2025 10:00:47 +0900

2 - 2. 이차방정식

이차방정식은 수학에서 중요한 개념 중 하나로, 판별식 활용, 근의 공식, 절댓값 방정식 등의 개념을 체계적으로 이해하는 것이 중요합니다. 특히, 최고차 계수가 미지수인 경우 판별식 조건을 설정하는 방법, 절댓값 방정식을 풀기 위한 범위 설정법, 그리고 다양한 풀이 접근법 등을 익히는 것이 문제 해결의 핵심입니다. 이번 글에서는 이차방정식의 필수 개념과 연습문제 풀이법을 정리해 보겠습니다. 이를 통해 학교 시험 및 서술형 대비에 도움을 줄 수 있도록 자세히 설명해 드리겠습니다.

개념원리 공통수학 1 : 75p

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1. 필수 확인체크 문제 풀이

개념원리 115p 확인체크 225번

★ ★ '이차'방정식이라 하고 최고차 계수가 미지수인 경우 → $ ( 최고차 계수 ) \neq 0 $ 조건 항상 써주기 ★ ★

이차 방정식 $ (k-1)x^2 ~ $ → $k \neq 1$

서로 다른 두 실근을 갖도록 $\quad D > 0$

계수: $\quad a = (k-1), \quad b = 2k, \quad c = k-1$
$x$의 계수가 짝수이므로 $\quad b' = k$
판별식 $\quad D/4 = (b')^2 - ac = k^2 - (k-1)(k-1) = 2k -1 > 0$
$\therefore \quad k > \frac{1}{2}$

결론을 정리해 보면, $k \neq 1$, $ k > \frac{1}{2} $

수직선을 해석해 보면,

$\therefore \quad \frac{1}{2} < k < 1 \quad$ 또는 $\quad 1 < k$

개념원리 116p 확인체크 227번

★ ★ '이차'식이라 하고 최고차 계수가 미지수인 경우 → $ ( 최고차 계수 ) \neq 0 $ 조건 항상 써주기 ★ ★

이차식 $ (k-2)x^2 ~ $ → $k \neq 2$

(주어진 식) = 0 인 이차방정식은 (완전제곱식) = 0 으로 중근을 가지므로 $\quad D = 0$

계수: $\quad a = (k-2), \quad b = 4(k-2), \quad c = 3k-2$
$x$의 계수가 짝수이므로 $\quad b' = 2(k-2)$
판별식 $\quad D/4 = (b')^2 - ac = (2(k-2))^2 - (k-2)(3k-2) = 0$
$k^2 - 8k +12 = 0$
$(k-6)(k-2) = 0$
$\therefore \quad k = 6$ or $k = 2$

결론을 정리해 보면, $k \neq 2$ , $ k = 6 $ or $ k = 2 $

이므로 $\therefore k=6 $

2. 연습문제 step1 풀이 (117p)

개념원리 117p 228번

근의 공식을 이용하여 해를 구해 줍니다.

$x^2 - ax + 7 = 0$

$x = \frac{+a \pm \sqrt{a^2 - 28}}{2(1)}$ $= \frac{5 \pm \sqrt{b} i}{2}$

결론 : $a = 5 , \quad \sqrt{a^2 - 28} = \sqrt{b} i$

두번째 식에 $a = 5$ 대입하여 $b$를 구하시면 됩니다.
$\sqrt{-3} = \sqrt{3} i = \sqrt{b} i$ 이므로 $b = 3$

∴ $a=5, b=3, a+b = 8$

참고로,$\sqrt{a^2 - 28} = \sqrt{-(-a^2 + 28)} = \sqrt{-a^2 + 28} i = \sqrt{b} i$

즉, $-a^2 + 28 = b$

가끔 학생들이 $a^2 - 28 = b$ 라고 쓰는 경우가 있어 언급했습니다.

개념원리 117p 229번

한근이 $\alpha$ → 대입시 성립

$2\alpha^2 -2\alpha +1 = 0$

$\alpha^2 - \alpha + \frac{1}{2} = 0$

(차수낮춰주는 풀이 이전글 참고 하러 가기)

3가지 방법으로 풀이를 해보도록 하겠습니다.

풀이1) 차수 낮춰주는 풀이

'차수 낮춰주는 풀이'

우변에 루트 또는 허수 만 두고 나머지 이항
양변 제곱 후 '=0' 으로 정리
최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

$\alpha^4 - \alpha^2 + \alpha$

$= \alpha^2 (\alpha^2 - \alpha + \frac{1}{2}) + \alpha^3 - \frac{1}{2} \alpha^2 - \alpha^2 + \alpha$

최고차항 $\alpha^4$ 을 $\alpha^2 - \alpha + \frac{1}{2} = 0$ 이용해 표현
추가되는 $ - \alpha^3 + \frac{1}{2} \alpha^2 $ 제거 위해 $+ \alpha^3 - \frac{1}{2} \alpha^2$ 추가하여 상쇄
남은 항들인 $ - \alpha^2 + \alpha$ 추가
정리

$= \alpha^3 - \frac{3}{2} \alpha^2 + \alpha$

차수 낮추기 반복

$= \alpha(\alpha^2 - \alpha + \frac{1}{2}) + \alpha^2 - \frac{1}{2} \alpha - \frac{3}{2} \alpha^2 + \alpha$

$= -\frac{1}{2} \alpha^2 + \frac{1}{2} \alpha$

$= -\frac{1}{2} (\alpha^2 - \alpha + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \alpha$

$= \frac{1}{4}$

∴$\alpha^4 - \alpha^2 + \alpha = \frac{1}{4}$

풀이2) 직접 나누기

∴$\alpha^4 - \alpha^2 + \alpha = \frac{1}{4}$

풀이3) 주어진 조건을 활용

$\alpha^2 - \alpha + \frac{1}{2} = 0$

$\alpha^2 = \alpha - \frac{1}{2}$

$\alpha^4 = \alpha^2 - \alpha + \frac{1}{4}$

$\therefore \alpha^4 - \alpha^2 + \alpha = \frac{1}{4}$

앞전에 공부해봐서 알겠지만, 차수낮추기 풀이로만 풀리던 문제도 있었죠? 가장 간단한 풀이는 세번째 풀이이지만 항상 여러가지 풀이방법을 공부하도록 합시다.

개념원리 117p 232번

조금 독특한 형태로 식이 주어졌고, 절댓값도 존재합니다.

하나하나 차근차근 구해보자면,

$a * b = 2ab - a - b + 1$
$x * x = 2(x)(x) - x - x + 1 = 2x^2 - 2x + 1$
$1 * x = 2(1)(x) - (1) - (x) + 1 = x$
$x * x = |1 * x| + 1$
$2x^2 - 2x + 1 = |x| + 1$

절댓값 주어짐 → 범위 나눠주기

1) $x \geq 0$

$2x^2 - 2x + 1 =$ $(x)$ $+ 1$
$2x^2 - 3x = 0$
$x(2x - 3) = 0$
$\therefore x = 0 \text{ or } x = \frac{3}{2}$
$x \geq 0$ 범위 만족 최종해 $\therefore x = 0 \text{ or } x = \frac{3}{2}$

2) $x < 0$

$2x^2 - 2x + 1 =$ $-(x)$ $+ 1$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
$\therefore x = 0 \text{ or } x = \frac{1}{2}$
$x < 0$ 범위 만족 최종해 $\therefore$ 해가 없다

모든 실수 $x$에서 최종해 : $\therefore x = 0 \text{ or } x = \frac{3}{2}$

생각보다 간단하게 풀리니 복잡하게 나왔다고 해서 당황하지 마시고 하나하나 차근차근 !!

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공통수학 1 - 2 - 13. 이차방정식의 판별식

단디 티쳐 — Thu, 13 Mar 2025 10:00:56 +0900

2단원 - 2. 이차방정식

이차방정식의 판별식은 근의 개수와 형태를 빠르게 파악하는 데 중요한 역할을 합니다. 특히 중근, 서로 다른 두 실근, 허근을 구별하는 핵심 도구로 활용됩니다. 이번글에서는 판별식의 개념과 이를 활용한 문제 해결 방법을 상세히 설명합니다. 또한, D/4를 이용한 판별식 계산법, 중근을 가지는 방정식 조건, 판별식을 활용한 문제풀이 전략 등을 다루도록 해보겠습니다.

개념원리 공통수학 1 : 112p ~ 116p

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1. 판별식

판별식을 배우는 이유는 근을 직접 다 구하지 않고도 빠르게 근의 형태를 파악할 수 있다는 장점이 있습니다.

이차방정식 $(a \neq 0)$ $ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근은 근의 공식에 의해

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$b^2 - 4ac$의 값에 따라 근의 형태가 결정되며 이를 판별식이라 하고 $D$라 합니다.

$ D = b^2 - 4ac $

아래의 표에서 판별식 $D$의 부호에 따라 근의 형태를 보면,

이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근 $ x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$D = b^2 - 4ac > 0$ → $ \sqrt{b^2 - 4ac} = 0 $이 아닌 실수
$ x = \frac{-b + \sqrt{\text{양수}}}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b - \sqrt{\text{양수}}}{2a} $ ( 서로 다른 두 실근 )
$D = b^2 - 4ac = 0$ → $ \sqrt{b^2 - 4ac} = 0 $
$ x = \frac{-b}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b}{2a} $ ( 서로 같은 두 실근 (중근))
$D = b^2 - 4ac < 0$ →$ \sqrt{b^2 - 4ac} = $ 허수
$ x = \frac{-b + \sqrt{\text{음수}}}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b - \sqrt{\text{음수}}}{2a} $ ( 서로 다른 두 허근 )

이렇게 $ D = b^2 - 4ac $의 부호에 따라 근이 정해지게 됩니다.

추가로 일차항의 계수가 짝수인 경우 이차방정식 $ ax^2 + 2b'x + c = 0 $ 의 근은 근의공식

$ x = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2 - ac}}{a} $

근호 안의 식인 $ (b')^2 - ac $ 로 근의 형태가 결정되며 일차항의 계수가 짝수인 경우 판별식은

$ D/4 = (b')^2 - ac $

이 식을 이용해 주시면 편리 합니다.

2. 판별식 내용 추가 정리

① 실근/ 서로 다른 두 실근 조건

실근을 가지기 위한 조건 : $ D \geq 0 $
서로 다른 두 실근을 가지기 위한 조건 : $ D > 0 $

실근을 가지기 위한 조건은 두 실근이 서로 다르든 같든 상관없이, 실근만 존재하면 되므로 $D \geq 0$ 입니다.

하지만 "서로 다른 두 실근을 가진다"는 조건이 주어진 경우에는 두 실근이 달라야 하므로 $D > 0$이 되어야 합니다.

② 중근을 가지는 경우

$ D = b^2 - 4ac = 0$ 이면 중근 가짐
완전제곱식 $ k(x - \alpha)^2 = 0$ 이면 ($ x - \alpha $) 중근 가짐

즉, 이차방정식이 중근을 가지는 경우 $D = 0$이고 식은 완전제곱식 형태임을 알 수 있습니다.

중근 ↔ $D=0$ ↔ 완전제곱식 ↔ $ k(x - \alpha)^2 = 0$꼴

3. 예제문제

예제 문제를 보며 판별식을 연습해 보도록 하겠습니다.

개념원리 114p 221번

ㄱ. $x^2 - 2x + 4 = 0$ ← $x$의 계수가 짝수

계수: $a = 1$, $b = -2$, $c = 4$ ($b = 2b'$, $b' = -1$)
$x$의 계수가 짝수이므로 $D/4$ 판별식 사용
판별식 : $D/4 = (b')^2 - ac = (-1)^2 - (1)(4) = -3 $
$D/4 < 0$ 이므로 허근을 가진다.

ㄴ. $x^2 - 4x - 5 = 0$ ← $x$의 계수가 짝수

계수: $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$ ($b = 2b'$, $b' = -2$)
$x$의 계수가 짝수이므로 $D/4$ 판별식 사용
판별식 : $D/4 = (b')^2 - ac = (-2)^2 - (1)(-5) = 4 + 5 = 9$
$D/4 > 0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.

ㄷ. $2x^2 + 3x + 4 = 0$

계수: $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$
판별식: $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23$
$D < 0$ 이므로 허근을 가진다.

ㄹ. $9x^2 + 6x + 1 = 0$ ← $x$의 계수가 짝수

계수: $a = 9$, $b = 6$, $c = 1$ ($b = 2b'$, $b' = 3$)
$x$의 계수가 짝수이므로 $D/4$ 판별식 사용
$D/4 = (b')^2 - ac = (3)^2 - (9)(1) = 9 - 9 = 0$
$D/4 = 0$ 이므로 중근을 가진다.

ㅁ. $\frac{1}{4}x^2 - x + 1 = 0$

계수: $a = \frac{1}{4}$, $b = -1$, $c = 1$
판별식 : $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\left(\frac{1}{4}\right)(1) = 1 - 1 = 0$
$D = 0$ 이므로 중근을 가진다.

ㅂ. $\frac{2}{3}x^2 - x + \frac{1}{3} = 0$

계수: $a = \frac{2}{3}$, $b = -1$, $c = \frac{1}{3}$
판별식 : $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)$ $= 1 - \frac{8}{9} = \frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$
$D > 0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.

(1) 실근을 가지는 것 ( $ D \geq 0 $인 것) : ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ

(2) 허근을 가지는 것 ($D < 0$ 인 것) : ㄱ, ㄷ

개념원리115p 필수예제 06

이차방정식 $x^2 - 2(m+3)x + m^2 = 0$ 의 판별식을 이용하여 $m$ 의 범위를 구하도록 해볼께요.

계수: $a = 1$, $b = -2(m+3)$, $c = m^2$
$x$의 계수가 짝수이므로 $b = 2b'$, $b' = -(m+3) $
판별식: $D/4 = (b')^2 - ac

$D/4 = (-(m+3))^2 - (1)(m^2)$

$= m^2 + 6m + 9 - m^2$

$= 6m + 9$

(1) 서로 다른 두 실근

서로 다른 두 실근을 가지려면 $D/4 > 0$ 이므로,

$6m + 9 > 0$

$m > -\frac{3}{2}$

(2) 중근

중근을 가지려면 $D/4 = 0$ 이므로,

$6m + 9 = 0$

$m = -\frac{3}{2}$

(3) 서로 다른 두 허근

서로 다른 두 허근을 가지려면 $D/4 < 0$ 이므로,

$6m + 9 < 0$

$m < -\frac{3}{2}$

개념원리116p 발전예제 07

조건이 한문장으로 나와있어 어떻게 풀어야 할지 헷갈려 하는 학생들이 많습니다.

문장 구조가 "$x$에 대한 이차방정식 ~ 이 (실수 $k$의 값에 관계없이 항상) 중근을 가진다" 로 조건 2개를 한문장으로 말한것입니다.

즉, $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지기 위해서는 $D=0$ 이 성립하는데 이 식이 $k$의 값이 관계 없이 항상 성립한다는 뜻입니다.

계수: $a = 1$, $b = -2(k-a)$, $c = k^2+a^2-b+1$
$x$의 계수가 짝수이므로 $b = 2b'$, $b' = -(k-a) $
판별식: $D/4 = (b')^2 - ac$

$x$ 에 대한 이차방정식이 중근 가짐 → $D/4 = {-(k-a)}^2 - (1)(k^2 + a^2 - b + 1) = 0$ 성립
실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상 $D/4 = 0$ 성립 (중근가짐)
→ $k$ 에 대한 항등식
→ $k$ 에 대해 내림차순 정리

$D/4 = {-(k-a)}^2 - (1)(k^2 + a^2 - b + 1) = 0$ ← 이 식이 실수 $k$의 값에 관계 없이 항상 성립

$k^2 - 2ak + a^2 - k^2 - a^2 + b - 1 = 0$

$(-2a)k + (b-1) = 0 \cdot k + 0$ ←$k$에 대한 내림차순 정리 , $0= 0 \cdot k + 0$꼴로 봐줌

$\therefore -2a = 0 \quad b -1 = 0$

$\therefore a = 0, \quad b = 1$

개념원리116p 필수예제 08

$x$에 대한 이차식이 완전제곱식이 될 때 라고 하였습니다.

즉, 주어진 식이 완전제곱식 꼴 $(x- \alpha)^2$이 되어야 합니다.

풀이 1 ) 중학교 풀이

식을 완전제곱식으로 인수분해 하기 위해서는 'X'자 인수분해에서 만들어지는 위아래 숫자가 같으면 됩니다.

또는 완전제곱식이 되기 위한 공식

$ x^2 + ax + b $가 완전 제곱식이면 $\left( \frac{a}{2} \right)^2 = b$

을 이용하셔도 됩니다.

이후 계산을 마무리 해주면,

$\left( \frac{2k+1}{2} \right)^2 = k^2 - k + 2$

$\frac{4k^2 + 4k + 1}{4} = k^2 - k + 2$

$4k^2 + 4k + 1 = 4k^2 - 4k + 8$

$8k = 7$

$\therefore k = \frac{7}{8}$

풀이 2 ) 판별식 이용

문제의 주어진 식을 =0을 붙혀 이차방정식으로 생각해주면

(주어진식) = 0

↓ 주어진 식이 완전제곱식 꼴 $(x- \alpha)^2$ 꼴

(완전제곱식)= 0

이 이차방정식은 중근을 가진다는 것을 알 수 있습니다.
중근을 가지기 때문에 $D=0$ 사용이 가능해집니다.

계수: $a = 1$, $b = (2k+1)$, $c = k^2-k+2$

판별식: $D= (b)^2 - 4ac = (2k+1)^2-4(1)(k^2-k+2) = 8k-7$ $= 0$

$\therefore k = \frac{7}{8}$

4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 112p~116p) 백지테스트.hwp

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 12. 이차방정식의 활용과 가우스 기호를 포함한 방정식

단디 티쳐 — Tue, 11 Mar 2025 12:09:46 +0900

2단원-2. 이차방정식

이차방정식은 수학에서 가장 중요한 개념 중 하나로, 실생활 문제를 해결하는 데 널리 활용됩니다. 특히 가우스 기호를 포함한 방정식, 이차방정식의 활용 문제, 근의 범위를 고려한 풀이법 등은 학생들이 자주 어려움을 겪는 부분입니다. 또한, 학교 서술형 대비 필수 개념 정리, 가우스 기호의 활용법, 문제 풀이 전략 등을 함께 다루어 효과적인 학습을 돕겠습니다.

개념원리 공통수학1 : 110p ~ 111p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1. 이차 방정식의 활용

활용파트의 경우 주의해야 할 점은, (특히 서술형에서 주의!!)

미지수를 잡은 $x$의 값 → 상황에 따른 범위 생각하기
주어진 상황에 맞게 답을 작성하기 (단위 중요 ★)

개념원리 110p 필수예제 05

이차방정식 활용 파트 문제 입니다. 활용파트는 학교 서술형에서 문제 내용에 맞는 $x$범위를 꼭 언급해줘야 합니다.

문제에서 구하고자 하는 길의 폭을 $x$라 미지수 둡니다.

여기서, 길의 폭이 12m 를 넘어가면 정사각형의 모든 면적이 길이 되는 것
→ $x$는 12 미만이여야 함
길의 폭이 0이면 길이 없는 것이므로
→ $x$는 0 초과여야 함

∴ 길의 폭 = $x$ , $0<x<12$

하나의 꽃밭을 옮겨 하나의 사각형으로 만들어 줍니다.

가로, 세로 길이는 $12-x$인 정사각형이 됩니다.

남은 꽃밭의 넓이가 100 → $(12-x)^2=100$
$x^2 - 24x + 44 = 0$
$(x - 2)(x - 22) = 0$
$x=2$ 또는 $x=22$
$0<x<12$ 이므로 $x=2$

tip:) 학교 서술형에서는 위의 계산과정을 꼭 적어줘야 하지만 만약 객관식 풀이라면 $(12-x)^2=100$ 여기서 $10^2=100$임을 생각해 바로 $12-x = 10$ → $x=2$ 라고 결론을 내주셔도 됩니다.

∴ 2m ( ← 상황에 맞게 답을 적어주기 / 단위 중요)

2. 가우스 기호를 포함한 방정식

교육과정 외 이긴하지만 꼭 알아야하는 내용입니다! 넘기지 말고 공부하고 가도록 합시다~!!

$[x]$ : 실수 $x$에 대하여 $x$보다 크지 않은 최대의 정수

$[]$ 기호를 가우스 기호라 함
$[x]$ : 가우스 $x$라 읽음
크지 않은 최대 정수 = 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

예를 들어 보도록 할께요.

예1) $[3]$

= 3보다 크지 않은 최대의 정수

= 3보다 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

∴ $[3] =3$

예2) $[1.5]$

= 1.5보다 크지 않은 최대의 정수

= 1.5보다 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

∴ $[1.5] =1$

예3) $[-3.2]$

= -3.2보다 크지 않은 최대의 정수

= -3.2보다 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

∴ $[-3.2] =-4$

일반화

$[x]$에서

$x = n$일 때, $[x] = n$
$n< x < n+1$일 때, $[x] = n$
$x = n+1$일 때, $[x] = n+1$

즉, $n \leq x < n+1$ 이면 $[x] = n$ , 역으로 $[x] = n$ 이면 $n \leq x < n+1$ 임을 알 수 있습니다.

3. 가우스 기호를 포함한 방정식 2가지 유형

가우스 기호를 포함한 방정식에는 크게 2가지 유형이 있습니다.

모든 미지수가 $[x]$인 경우
일부만 $[x]$이고 $x$의 범위가 주어진 경우

1번 유형의 경우, $[x] = t$로 치환하여 풀이해 줍니다. 이후, $t$의 값을 구하고 해당되는 $x$의 값을 구합니다.

2번 유형의 경우, 같은 $[x]$값을 가지는 $x$기준으로 범위를 나누어 풀이해 줍니다.

예제 문제를 보면서 설명해보도록 할께요.

개념원리 111p 219 (1) - 1번 유형

식에서 $x$가 주어진 것이 없고 미지수가 전부 $[x]$로 주어져 있습니다.

이런경우 $[x] = t$로 치환하여 풀이해 줍니다.( 1번유형)

$[x]^2 - 12[x] + 32 = 0$ ← 모든 미지수 $[x]$

$t^2 - 12t + 32 = 0$ ← $[x] = t$ 치환

$(t-4)(t-8) = 0$

$t = 4$ 또는 $t = 8$

$[x] = 4$ 또는 $[x] = 8$

$[x] = 4$ 이면 $4 \leq x < 5$
$[x] = 8$ 이면 $8 \leq x < 9$

$\therefore 4 \leq x < 5$ 또는 $8 \leq x < 9$

개념원리 111p 219 (2) - 2번 유형

식에서 미지수가 $x$와 $[x]$가 함께 등장 합니다.

같은 $[x]$값을 가지는 $x$기준으로 범위를 나누어 풀이해 줍니다.

문제의 주어진 $x$범위는 $1<x<2$ 입니다.

이 범위 중에서

$1< x < 2$에서는 $[x] = 1$
$2 \leq x < 3$에서는 $[x] = 2$

이렇게 범위를 나눠 풀이하도록 하겠습니다.

$1< x < 2$인 경우 ($[x] = 1$)

$x^2-[x]-3 = 0$

$x^2-1-3 = 0$ ← $[x] = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm \sqrt{2}$

$1< x < 2$에 해당되는 $x$값 존재하지 않음

$2 \leq x < 3$인 경우 ($[x] = 2$)

$x^2-[x]-3 = 0$

$x^2-2-3 = 0$ ← $[x] = 2$

$x^2 = 5$

$x = \pm \sqrt{5}$

$2 \leq x < 3$ 해당되는 $x = + \sqrt{5}$

∴ 최종해 : $x = + \sqrt{5}$

4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 110p~111p) 백지테스트.hwp

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 110p~111p) 백지테스트.pdf

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 109p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 11. 절댓값 기호를 포함한 방정식

단디 티쳐 — Sat, 8 Mar 2025 10:00:13 +0900

2단원-2. 이차방정식

이차방정식 개념과 문제 풀이법(인수분해, 근의 공식, 완전제곱식)을 한눈에 정리했습니다. 절댓값이 포함된 방정식 풀이법도 쉽게 설명하며, 개념원리 공통수학1(109p) 필수예제까지 풀이합니다. 실전 대비 문제 해결력을 키울 수 있는 핵심 개념 정리와 PDF 자료도 제공하니, 이차방정식을 빠르게 마스터하세요!

개념원리 공통수학1 : 109p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1. 절댓값 기호를 포함한 방정식

절댓값 내용은 앞서 한번 설명했던 적이 있습니다. (절댓값 설명 링크 걸기 )

절댓값 안이 양수이거나 0인 경우 : 그대로 나옴 / 절댓값기호 괄호로
절댓값 안이 음수인 경우 : - 붙혀서 나옴 / 절댓값 기호 괄호로, 앞의 부호 바꾸기

절댓값 기호가 포함된 방정식 (그리고 부등식)의 경우

절댓값 안의 식이 양수이거나 0 , 음수인 경우 ( 기준 : 절댓값 안의 식 =0 일때)로 나눠서 풀이를 해주셔야 합니다.

두가지 형태(식으로 풀기, 수직선으로 풀기)로 문제를 풀어보도록 할껀데, 모두 알아두셔야 합니다!

개념원리 109p 필수예제 04 (1)

풀이1 ) 식적으로 풀기

절댓값 안의 식이 $x$이므로 $x \geq 0$ 인 경우와 $x < 0$ 인 경우로 나눠줌

$x \geq 0$ 인 경우

$x^2 + 2$ ( $x$ ) $- 5 = 0$
인수분해 안되므로 근의 공식 이용
$x = -1 \pm \sqrt{6}$
$x \geq 0$ 경우만 생각하는 것이므로 $\therefore x = -1 + \sqrt{6}$
참고 :) $2 < \sqrt{6} < 3, , 1 < -1+\sqrt{6} < 2$ 이므로 양수

$x < 0$ 인 경우

$x^2$ - $2$ ($x$) $- 5 = 0$
인수분해 안되므로 근의 공식 이용
$x = 1 \pm \sqrt{6}$
$x < 0$ 경우만 생각하는 것이므로 $\therefore x = 1 - \sqrt{6}$

$x \geq 0$ 인 경우의 해는 $-1 + \sqrt{6}$이고, $x < 0$ 인 경우의 해는 $1 - \sqrt{6}$ 입니다.

최종해는 $-1 + \sqrt{6}$, $1 - \sqrt{6}$

풀이2) 수직선으로 풀기

어짜피 풀이 1의 과정과 같은 풀이 입니다.

하지만 이러한 형태로 문제를 푸는 것이 절댓값이 2개 이상의 방정식 또는 부등식인 유형에서 엄청난 장점을 가지게 됩니다.

일단, 이문제는 절댓값이 1개이지만, 천천히 과정을 따라 해보며 어떻게 푸는지를 먼저 익혀보도록 합시다.

1. (절댓값 안의 식)=0 되는 값 기준 수직선 범위 나눔 ($x=0$ 기준 범위 나눔)

2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다.

3. 이후 각각의 해를 구해줌. - 인수분해가 안되므로 근의 공식 사용 ❗

4. 수직선 범위(처음 $x$ 범위)에 맞는 해만 걸러줌

5. 최종해를 써준다. ( 실수전체 집합에서 가능한 $x$ 값 )

3번, 4번 과정은 한번에 하셔도 되지만 여기서 포인트는 " 2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다. " 입니다.

먼저 식을 다 써두고 해를 구하도록 합시다.

그러면 식을 쓸때마다 범위를 생각하는 과정이 생략되면서 속도가 매우 빨라질꺼에요!

개념원리 109p 필수예제 04 (2)

풀이1 ) 식적으로 풀기

절댓값 안의 식이 $x-1$이므로 $x-1 \geq 0$ 인 경우와 $x-1 < 0$ 인 경우로 나눠줌

$x-1 \geq 0$ ( $x \geq 1$) 인 경우

$x^2 - 3x =$ ( $x-1$ ) $- 2$,
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$(x-1)(x-3) = 0$
$x = 1$ 또는 $x = 3$
$x \geq 1$ 경우만 생각하는 것이므로 $\therefore x = 1, x = 3$

$x-1 < 0$ ($x < 1$) 인 경우

$x^2 - 3x =$ -($x-1$) $- 2$,
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x-1)^2 = 0$
$x = 1$ (중근)
$x < 1$ 경우만 생각하는 것이므로 해당되는 해가 없다.

$x \geq 1$인 경우의 해는 $ x = 1, x = 3$ 이고, $x < 1$ 인 경우의 해는 없으므로

최종해는 $x = 1, x = 3$

풀이2) 수직선으로 풀기

1. (절댓값 안의 식)=0 되는 값 기준 수직선 범위 나눔 ($x=1$ 기준 범위 나눔)

2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다.

3. 이후 각각의 해를 구해줌.

4. 수직선 범위(처음 $x$ 범위)에 맞는 해만 걸러줌

5. 최종해를 써준다. ( 실수전체 집합에서 가능한 $x$ 값 )

개념원리 109p 확인체크 216

두가지 풀이를 간단한 예제로 연습했으니 이제는 절댓값이 2개인 식을 풀어보도록 할께요.

$\sqrt{A^2} = |A|$ 이므로 $\sqrt{x^2} = |x|$

$|x-2| + 1 = x^2 - |x|$

풀이1 ) 식적으로 풀기

$|x-2|$는 $x-2 = 0$인 $x = 2$에서 부호변화
$|x|$는 $x = 0$에서 부호변화

$x$가 $0$과 $2$일 때 각각의 부호가 변화하므로 $x < 0$, $0 \leq x < 2$, $2 \leq x$로 범위를 나눠 줍니다.

$x < 0$일 때,

$x - 2 < 0$이므로 $|x-2| = -(x-2)$
$x < 0$이므로 $|x| = -(x)$

-($x-2$) $+ 1 = x^2$ +($x$)
$-x + 3 = x^2 + x$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
$(x-1)(x+3) = 0$
$x = 1$ 또는 $x = -3$
$x < 0$이므로 $x = -3$

$0 \leq x < 2$일 때,

$x - 2 < 0$이므로 $|x-2| = -(x-2)$
$ 0 \leq x$이므로 $|x| = (x)$

-($x-2$) $+ 1 = x^2 -$ ($x$)
$-x + 3 = x^2 - x$
$x^2 = 3$
$x = \pm \sqrt{3}$
참고: $1 < \sqrt{3} < 2$
$0 \leq x < 2$ 이므로 $x = \sqrt{3}$

$2 \leq x$ 일 때,

$0 \leq x-2$ 이므로 $|x-2| = (x-2)$
$ 0 \leq x$이므로 $|x| = (x)$

($x-2$) $+ 1 = x^2 -$ ($x$)
$x - 1 = x^2 - x$
$x^2 -2x +1= 0$
$(x-1)^2 = 0$
$x = 1$ (중근)
$2 \leq x$ 경우만 생각하는 것이므로 해당되는 해가 없다.

$x < 0$인 경우의 해는 $x = -3$이고, $0 \leq x < 2$인 경우의 해는 $x = \sqrt{3}$, $2 \leq x$인 경우 해는 없으므로

최종해는 $x = -3, x = \sqrt{3} $

풀이2) 수직선으로 풀기

1. (절댓값 안의 식)=0 되는 값 기준 수직선 범위 나눔 ($x=0, x=2$ 기준 범위 나눔)

2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다.

$|x-2|$ : 2기준 왼쪽은 $-(x-2)$, 오른쪽은 $(x-2)$

나머지 식 써줌

$|x|$ : 0기준 왼쪽은 $-(x)$, 오른쪽은 $(x)$
앞의 마이너스 부호까지 고려하면, 0기준 왼쪽은 $+(x)$, 오른쪽은 $-(x)$

3. 이후 각각의 해를 구해줌.

4. 수직선 범위(처음 $x$ 범위)에 맞는 해만 걸러줌

5. 최종해를 써준다. ( 실수전체 집합에서 가능한 $x$ 값 )

풀이1 과정에서 처럼 각각의 범위에서 "절댓값 부호 판단 → 식 판단 → 식적기" 를 3번 반복하는 것보다 풀이2 과정처럼 절댓값 부호 판단을 한번만 하고 세 영역의 식을 쭉 적어주는 것이 속도와 정확성에서 둘다 좋습니다.

정리하자면,

절댓값이 1개인 경우에는 식적으로 풀이, 수직선 풀이 모두 좋지만 절댓값이 2개 이상인 경우에는 수직선 풀이가 훨씬 좋다 정리할 수 있습니다.

2. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 109p) 백지테스트.pdf

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 104p~108p) 백지테스트.hwp

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공통수학 1 - 2 - 10. 일차 방정식과 이차 방정식

단디 티쳐 — Thu, 6 Mar 2025 10:00:19 +0900

2단원-2. 이차방정식

이차방정식은 고등 수학에서 매우 중요한 개념 중 하나로, 다양한 문제 해결과 실생활 응용에 필수적인 내용을 포함하고 있습니다. 이 글에서는 중학교 때 배운 일차방정식 개념을 복습하고, 이차방정식의 기본 개념, 해를 구하는 방법(인수분해, 근의 공식, 완전제곱식), 그리고 핵심 예제 풀이까지 자세히 다룹니다. 또한, 이차방정식의 근의 공식 증명 과정도 포함하여 개념을 확실히 이해할 수 있도록 구성했습니다.

개념원리 공통수학1 : 104p ~ 108p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

방정식의 목표는 식을 만족하는 근, 해를 구하는 것 입니다.

이차방정식을 보기 전에, 간단하게 중학교때 학습한 일차방정식에 대해 정리하고 넘어 가도록 해봅시다.

1. 일차방정식 $ax=b$

방정식이므로 식을 만족하는 근, 해를 구하는 것.

즉, $x$의 값을 구해 주기 위해 양변에 $a$를 나눠주면 됩니다.

미지수를 나눌 때는 해당 값이 0인지 아닌지를 확인하는 것이 매우 중요합니다. 값이 0이라면 나눗셈이 불가능하기 때문이죠. 그렇다면, $a$가 0인 경우와 아닌경우로 case 분류를 해서 $x$의 값을 구해 줄 수 있겠죠?

(1) $a \neq 0$ 인 경우 (나누기 가능) $\therefore x = \frac{b}{a}$

(2) $a = 0$ 인 경우 $(0 \cdot x = b)$

$b = 0$ 인 경우 $(0 \cdot x = 0)$,
$x$에 어느 값을 넣어도 식이 성립 $\therefore$ 해가 무수히 많다.
$b \neq 0$ 인 경우 $(0 \cdot x = b)$
$x$에 어느 값을 넣어도 식이 성립 $\therefore$ 해가 없다.

2. 이차방정식

이차방정식은 변수의 최고차가 2인 방정식입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현됩니다:

$ax^2+bx+c = 0$

a : 이차항의 계수이며, $a=0$이면 이차방정식이 아닙니다. 즉, $a \neq 0$
n차 방정식에서 근은 n개를 가지므로, 이차방정식은 근을 2개 가지게 됩니다.
실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라 합니다.
(중학교 때는 근을 실수범위에서 구했지만, 고등과정에서는 근을 복소수 범위까지 확장하여 구함)
근이 $\alpha$ 또는 $\beta$인 경우 $(x-\alpha)$와 $(x-\beta)$를 인수로 가짐. $a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

이차방정식 $ax^2+bx+c = 0$ 의 2개의 근을 $ \alpha, \beta$라 하면,

$x$에 $\alpha$ 또는 $\beta$ 대입시 주어진 식이 성립합니다.
인수정리에 따르면, 다항식 $f(x)$에 대해 $f(a)=0$이면 $(x-a)$는 $f(x)$의 인수 입니다.
$a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

추가로,

이차식 $ax^2+bx+c$에 대해 $\alpha$ 또는 $\beta$ 대입시 =0이 성립하므로 $(x-\alpha)$와 $(x-\beta)$를 인수로 가집니다.

∴ $a(x-\alpha)(x-\beta)$

3. 이차방정식을 푸는 방법

인수분해가 가능한 경우
ex)
$x^2-8x-48 = 0$
$(x+4)(x-12) = 0$
→ $(x+4)=0$ 이거나 $(x-12)=0$이면 식이 성립 합니다.
∴ $x=-4$ 또는 $x=12$
근의 공식
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$b = 2b'$이면 $x = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$

ex)
$2x^2 - 4x - 6 = 0$
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$
∴ $x = \frac{4 + 8}{4} = 3$ 또는 $x = \frac{4 - 8}{4} = -1$
완전제곱식을 이용한 풀이
ex)
$x^2 - 4x + 3 = 0$
완전제곱식으로 변형
$x^2 - 4x = -3 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)^2 - 4 = -3$
$(x - 2)^2 = 1$
$x - 2 = \pm 1$
$x = 3$ 또는 $x = 1$

3가지 풀이 방법이 있지만, 대부분 인수분해나 근의 공식을 많이 이용해 주고 $x^2 = 4$와 같은 최고차와 상수항만 주어져 있는 꼴에서 완전제곱식을 많이 사용해 줍니다.

4. 근의공식 증명

$ax^2+bx+c=0$

1단계: 양변을 $a$로 나눈 후 상수항을 이항
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
2단계: 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$을 더한다.
$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
3단계: 좌변을 완전제곱식으로 정리하고 우변은 통분
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
4단계: $x^2 = A$이면 $x = \pm\sqrt{A}$ 임을 이용한다.
분모는 $\sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = 2a$ (절댓값 $2a$이지만, 앞에 +,- 두 부호 모두 봐주기 때문에 생략)
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
5단계: $x$에 대해 정리하면 다음과 같다.
$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

특히 $x$의 계수 $b$가 짝수일 때, 즉 $b = 2b'$이면
$b^2 - 4ac = (2b')^2 - 4ac = 4(b'^2 - ac)$
따라서 $x = \frac{-2b' \pm \sqrt{4(b'^2 - ac)}}{2a} = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$

5. 예제문제

개념원리 107p 필수예제 01

(1)번 문제
$(x-2)(2x+1) = (x+3)^2 - 1$ 에서 양변을 전개해 주면,
$2x^2 - 3x - 2 = x^2 + 6x + 8$
$x^2 - 9x - 10 = 0$

인수분해가 가능한 경우 입니다.

$(x+1)(x-10) = 0$
$\therefore x = -1$ 또는 $x = 10$

(2)번 문제
양변에 분모의 최소공배수인 $6$을 곱하여 분모를 없애줍니다.
$3(x^2+1) = 2(x^2-2x) - 6$

괄호를 이용해 적고 정리하도록 합시다.

$3x^2 + 3 = 2x^2 - 4x - 6$

$x^2 + 4x + 9 = 0$

인수분해가 불가능하므로 근의 공식을 사용해 줍니다.

마지막 단계에서 루트 안의 값이 음수이므로 $i$를 사용하여 허근을 나타낼 수 있습니다.

$\therefore x = -2 \pm \sqrt{5}i$

개념원리 107p 필수예제 02

풀이 tip:)
$x^2$의 계수가 무리수이면 양변에 적당한 무리수를 곱하여 $x^2$의 계수를 유리화한 후 방정식을 풀어줍니다.

주어진 방정식의 양변에 $\sqrt{2} + 1$을 곱하여 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$을 이용하여 유리화
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)x^2 - (\sqrt{2}+1)^2x + 2(\sqrt{2}+1) = 0$
$x^2 - (2\sqrt{2}+3)x + 2\sqrt{2}+2 = 0$

이후 인수분해를 해줍니다.

$\therefore x = 1$ 또는 $x = 2\sqrt{2}+2$

다른 풀이:)

이 문제의 경우 꼭 유리화 하지 않고 바로 인수분해를 해줄 수도 있습니다.

하지만, 항상 기본 원리는 알아두도록 합시다.

개념원리 108p 필수예제 03

문제에서 "이차"방정식이라 하였고 최고차항 $x^2$의 계수가 미지수로 주어져 있는 경우, 최고차계수는 0이 아님 조건을 적고 시작해 줍니다.

$(a-1)x^2-(a^2-1)x+2(a-1)=0$은 $x$에 대한 이차방정식이므로
$a-1 \neq 0$

$\therefore a \neq 1$

이차방정식의 두가지 성질을 이용해 구해보도록 할께요.

풀이1)

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 한 근이 $\alpha$이다.
$\Rightarrow x=\alpha$를 $ax^2+bx+c=0$에 대입하면 등식이 성립한다.

이차방정식의 한 근이 $1$이므로 $x=1$을 대입하면
$a-1-(a^2-1)+2(a-1)=0$
$a^2-3a+2=0$

$(a-1)(a-2)=0$
$\therefore a=1$ 또는 $a=2$

그런데 $a \neq 1$이므로 $a=2$

$x^2-2x+a^2=0$에 $a=2$를 대입
$x^2-2x+4=0$

인수분해가 불가능한 경우이므로 근의 공식을 사용해 줍니다. ($x$의 계수가 짝수 $b=-2, , b'=-1$ )

$x = -(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 1 \cdot 4}$
$x = 1 \pm \sqrt{-3}$
$x = 1 \pm \sqrt{3}i$

∴ $x = 1 \pm \sqrt{3}i$

풀이2)

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근이 $\alpha$ 또는 $\beta$인 경우
$\Rightarrow (x-\alpha)$와 $(x-\beta)$를 인수로 가짐
$\Rightarrow a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

$(a-1)x^2 - (a^2-1)x + 2(a-1) = 0$ 에서 $(a-1)$ 공통 묶음
$(a-1)$ $\left( x^2 - (a+1)x + 2 \right)$ $= 0$

한 근이 $1$이므로 $(x-1)$ 인수로 가짐
최고차, 상수항 맞춰 바로 식세우기

$(a-1)$ $(x-1)(x-2)$ $= 0$

$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ 이므로 $a+1=3 \therefore a=2$

$x^2 - 2x + 4 = 0$

인수분해가 불가능한 경우이므로 근의 공식을 사용해 줍니다. ($x$의 계수가 짝수 $b=-2, , b'=-1$ )

$x = -(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 1 \cdot 4}$
$x = 1 \pm \sqrt{-3}$
$x = 1 \pm \sqrt{3}i$

∴ $x = 1 \pm \sqrt{3}i$

6. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 104p~108p) 백지테스트.pdf

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 95p~99p) 백지테스트.pdf

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 9. 복소수 - RPM 주요 문제 풀이 3

단디 티쳐 — Tue, 4 Mar 2025 10:00:23 +0900

2단원 - 1. 복소수

복소수 개념 및 문제 풀이 | RPM 공통수학 1 (53p~54p) 핵심 정리

복소수 개념을 이해하고 문제를 정확히 푸는 것은 서술형 시험과 실전 수학 실력 향상의 핵심입니다. 이번 글에서는 RPM 공통수학 1 (53p~54p) 복소수 개념 정리 및 문제 풀이법을 다룹니다.

이 글에서 다룰 내용
✔ 복소수 연산법 및 순환성 개념 정리
✔ 서술형 문제 풀이 과정 작성법
✔ 실전 대비! 자주 실수하는 부분과 해결 전략

이 정리를 통해 복소수 개념을 체계적으로 익히고 문제 풀이 실력을 높일 수 있습니다.

RPM 공통수학 1 : 53p~ 54p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 53p 362번

$f(1,3)$, $f(2,6)$, $f(3,9)$, $f(4,12)$, $f(5,15)$ 를 하나하나 계산하기에는 매우 귀찮습니다.

이 값들의 특징을 보면, 전부 $f(a,b)$에서 $3a=b$의 관계라는 특징을 먼저 뽑아냈다면 간편했을 문제 입니다.

$f(a, b) = \frac{a - b i}{a + b i}$ 식에 $3a=b$ 관계를 대입하여 정리

$f(a, 3a) = \frac{a - 3a i}{a + 3a i} = \frac{1 - 3i}{1 + 3i} = \frac{1 - 6i - 9}{10} = \frac{-8 - 6i}{10}$

즉, $f(a, 3a) = \frac{-8 - 6i}{10}$

구하고자 하는 값 $f(a, 3a)$가 5개 있음

$5 \times \frac{-8 - 6i}{10} = \frac{-8 - 6i}{2} = -4 - 3i$

$\therefore -4 - 3i$

RPM 53p 364번

먼저 주어진$z$를 실수부분과 허수부분이 보이도록 정리해 줍니다.

$z = (2+i)(x-i) = (2x+1) + (x-2)i$

간단하게 $z = c + di$ 라 두고 정리해 보면,

$z^2 = (c^2 - d^2) + 2cdi$

$z^2$이 양의 실수이기 위해 $c \neq 0$, $d = 0$ 입니다.

$2x+1 \neq 0$, $x-2 = 0$
$\therefore x = 2$
$a=2$

$z^2$이 음의 실수이기 위해 $c = 0$, $d \neq 0$ 입니다.

$2x+1 = 0$, $x-2 \neq 0$
$\therefore x = -\frac{1}{2}$
$b= -\frac{1}{2}$

$a = 2$, $b = -\frac{1}{2}$ 이므로 $\frac{a}{b} = -4$

RPM 53p 366번

자주 본 조건이 나온다면 바로 풀이에 들어갈 수 있어야해요.

혹시나 이 내용이 기억나지 않는다면 $z = a + bi$라 두고 조건을 봐주시면 되고 복소수 단원을 한번더 정리하시길 추천드려요!

$z = (x^2 - 5x + 4) + (x - 2)i$ 이므로 실수부 $ x^2 - 5x + 4 $ 가 0이여야함

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1 , \text{or} , x = 4$

$\therefore$ $1 + 4 = 5$

RPM 54p 369번

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
$i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기
$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$
...

$\sqrt{}$ 안의 부호를 먼저 판단 해 줍니다.

$b < a < 0$ 의 양변에 $-b$

$0 < a - b < -b$

$\therefore , a - b$ 양수

풀이 1) $i$이용해 루트안 양수로 정리 후 계산

풀이 2) 공식 바로 적용

RPM 54p 370번

ㄱ.

켤레부호 각각 적용가능 (쪼개기 가능)

$\therefore$ 참

ㄴ.

$z^2$이 실수면 ($z$의) 실수부분 = 0 또는 허수부분 = 0 입니다.

$z = a + bi$라 하면, $a = 0$ 또는 $b = 0$입니다.

이때, $(z-1)^2$도 무조건 실수가 되는지 보도록 하겠습니다.

$(z-1)^2$이 실수이려면, ($z-1$의) 실수부분 = 0 또는 허수부분 = 0 이여야 하는데,

$z - 1 = (a - 1) + bi$로

$a = 0$이고 $b \neq 0$인 경우에서 ($z-1$의) 실수부분 = 0 또는 허수부분 = 0이 성립하지 않으므로 무조건

$z^2$이 실수가 된다고해서 $(z-1)^2$가 실수라고 할 수 없습니다.

결론 :)

$z^2$이 실수이면 ( $a = 0$ 또는 $b = 0$ 이면) $(z-1)^2$은 ($a = 0$이고 $b \neq 0$인 경우 때문에) 무조건 실수라 할 수는 없음

$\therefore$ 거짓

ㄴ. 다른 풀이 )

"$z^2$이 실수이면 $(z-1)^2$도 실수이다"라는 명제의 거짓을 보이기 위해 반례를 생각하는 방법도 있습니다.

"$z^2$이 실수이면 $(z-1)^2$도 실수가 아니다"의 예를 찾아주면 되는 것 입니다.

반례:
$z = i$ 이면 $z^2 = -1$ 실수

↓
$z - 1 = -1 + i$ 이므로 $(z - 1)^2 = -2 i$ 로 실수가 아니다.

$\therefore$ 거짓

ㄷ.
$z$와 $w$가 켤레관계이면 합, 곱 모두 실수 (RPM 52p 355번 참고)
$\therefore$ 참

RPM 54p 372번

$z = (x + y - 2) + (x - y + 6)i$

$z = a + bi$라 하면 $z \overline{z} = a^2 + b^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0, b = 0$

$ z \overline{z} = (x + y - 2)^2 + (x - y + 6)^2 = 0$

$x + y - 2 = 0, \quad x - y + 6 = 0$

두 식을 연립하면,

$\therefore$ $x^2 + y^2 = 4 + 16 = 20$

RPM 54p 373번

$\sqrt{a} \sqrt{b} = -\sqrt{ab}$
$\Rightarrow a < 0, b < 0 \quad \text{또는} \quad a = 0 \quad \text{또는} \quad b = 0$
$\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{c}} = -\sqrt{\frac{d}{c}}$
$\Rightarrow c < 0, d > 0 \quad \text{또는} \quad d = 0$

$0$이 아닌 네 실수 $a, b, c, d$이므로 $a < 0, b < 0, c < 0, d > 0$

$\therefore$ $-d$

RPM 54p 374번

풀이1) 규칙성

하나씩 구조를 보면서 규칙을 파악해 줍니다.

$z_n$에서

$n$이 홀수인 경우) $ z_1 $에 $(1-i)$부터 $(1+i)$가 번갈아가며 $n-1$번 더해지게 됩니다.
$n$이 짝수인 경우) $ \overline{z_1}$에 $(1+i)$부터 $(1-i)$가 번갈아가며 $n-1$번 더해지게 됩니다.

이를 식으로 일반화 해보도록 할께요.

구하고자하는 $z_100$을 구해주면, 100은 짝수이므로

$z_{100} = \overline{z_1} + (98) + (1 + i)$

$= 1 - 2i + (98) + (1 + i)$

$= 100 - i$

$\therefore$ $100 - i$

위의 풀이는 규칙에 집중해서 일반화 시킨 것이고 물론 하나하나 값을 구해가며 일반화 시키는 방법도 있습니다.

다른풀이:) 값을 일반화

$z_1 = 1 + 2i \text{이므로}$

$z_2 = \overline{z_1} + (1 + i) = (1 - 2i) + (1 + i) = 2 - i$

$z_3 = \overline{z_2} + (1 + i) = (2 + i) + (1 + i) = 3 + 2i$

$z_4 = \overline{z_3} + (1 + i) = (3 - 2i) + (1 + i) = 4 - i$

$z_5 = \overline{z_4} + (1 + i) = (4 + i) + (1 + i) = 5 + 2i$

$\vdots$

결과에서 실수부분은 $n$의 값과 같고 허수부분은 $n$이 짝수일때 -1, $n$이 홀수일 때 $2i$로 정리 됩니다.

$z_n = \begin{cases} n + 2i & (n \text{은 홀수}) \ n - i & (n \text{은 짝수}) \end{cases}$

$\therefore z_{100} = 100 - i$

RPM 54p 375번

규칙성을 봐주기 위해 $n$에 값을 넣어가며 계산해 줍니다.

값이 1로 초기화 되므로 결국 순환성을 가진다는 것을 알 수 있겠죠.

$z_1 = \frac{\sqrt{2}}{1 + i}, z_2 = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$라 하면,
$(z_1)^n + (z_2)^n = 2$ 이기 위해
$(z_1)^n = 1, (z_2)^n = 1$

$(z_1)^n = 1$ 이기 위해 $n$은 8의 배수

$(z_2)^n = 1$ 이기 위해 $n$은 12의 배수

따라서,

$n \text{은 } 8 \text{과 } 12 \text{의 공배수, 즉 } n \text{은 } 24 \text{의 배수}$

$n$은 8과 12의 공배수인 것이므로 $n$은 24의 배수일 때 $(z_1)^n + (z_2)^n = 2$ 만족

문제에서 최솟값 $n$을 구하라 하였으므로 $n=24$

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공통수학 1 - 2 - 8. 복소수 - RPM 주요 문제 풀이 2

단디 티쳐 — Sun, 2 Mar 2025 10:00:03 +0900

2단원 - 1. 복소수

✅ 복소수 문제 풀이 | RPM 공통수학 1 (52p) 핵심 정리 & 실전 대비

복소수 개념을 완벽하게 이해하기 위해서는 핵심 개념을 익히고 다양한 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 RPM 공통수학 1 (52p)의 복소수 문제 풀이를 통해 기본 개념을 정리하고, 실전에서 빠르고 정확하게 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.

이 글에서 다룰 주요 내용
✔ 복소수의 기본 개념 및 연산법 정리
✔ 복소수의 순환성과 거듭제곱 패턴 분석
✔ 서술형 문제에서 감점 없이 정확한 풀이 과정 작성법
✔ 실전 대비! 자주 실수하는 부분과 해결 전략

이번 정리를 통해 복소수 문제 풀이에 대한 체계적인 접근법을 익히고, 서술형 시험에서도 감점 없이 정답을 도출하는 연습을 할 수 있습니다.

RPM 공통수학 1 : 52p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 52p 354번

두 복소수 $\alpha = a + bi$ , $\beta = c + di$ 라고 두고 조건을 봐줄 준비를 합시다.

ㄱ.

$\bar{\alpha} = \alpha \Rightarrow a + b i = a - b i \Rightarrow b = 0$

즉, $\alpha = \bar{\alpha}$이면 $\alpha = a$로 실수

$\therefore $ 참

ㄴ.

ㄱ,ㄴ,ㄷ 문제에서 참 거짓을 밝힐 때 식적으로 보기 힘들다면 반례를 이용해 참 거짓을 밝혀 주는 방법도 있습니다.

" 'p' 이면 'q'이다." 라는 문장의 참 거짓을 생각해 준다면, 'p'이지만 'q'가 아닌 예를 찾으면 p이면 전부 q라고 할 수 없으므로 거짓이라는 것을 알 수 있겠죠.

$\alpha^2 + \beta^2 = 0$

$(a^2 - b^2 + c^2 - d^2) + (2ab + 2cd)i = 0$

식적으로 $a,b,c,d$의 값을 구하기 어렵습니다.

반례를 찾아주는 풀이로 생각해보면,

$\alpha^2 + \beta^2 = 0$이면 $\alpha = \beta = 0$ 이냐고 물었으므로

$\alpha^2 + \beta^2 = 0$이지만 $\alpha = \beta = 0$이 아닌 예를 생각

$\alpha = 1$, $\beta = i$라 하면

$\alpha^2 + \beta^2 = 1 + i^2 = 0$ 이지만 $\alpha = \beta = 0$이 아님

$\therefore $ 거짓

ㄷ.

복소수는 각각 적용 가능하다. 개념7. 켤레 복소수의 성질을 이용하여 식을 차근차근 하나씩 전개해 주시면 됩니다.

켤레 적용 전 먼저 전개 후 켤레를 각각 적용시켜 주셔도 좋습니다.

$\therefore $ 거짓

RPM 52p 355번

$z = a + b i$, $\omega = c + d i$ 라 하면

조건 1
실수 아닌 두 복소수이므로 $b \neq 0$, $d \neq 0$
조건 2
$z + \omega = (a + c) + (b + d)i$ = 실수
$\therefore b + d = 0$
$\Rightarrow$ $z = a + b i$, $\omega = c - b i$
조건 3
조건 2의 결론을 적용시켜 구하면 $z \omega = (a + b i)(c - b i) = a c + b^2 + (b c - a b)i$ = 실수
$\therefore b c - a b = 0$
$b c - a b = b(c - a) = 0$ → $b \neq 0$ 또는 $c - a = 0$
조건 1에 의해 $b \neq 0$ 이므로 $c = a$
$\therefore z = a + b i$, $\omega = a - b i$

둘의 관계를 보면 서로 켤레관계인 것을 알 수 있습니다.

즉, 실수가 아닌 복소수가 $z + \omega$ , $z \omega$ 값이 실수라면 서로 켤레 관계인 것이죠.

켤레 관계의 두 복소수 ↔ 합&곱 실수

$\therefore \bar{z} = \omega$, $\bar{\omega} = z$

ㄱ.

$\overline{z - \omega} = \overline{z} - \overline{\omega} = \omega - z \quad (\neq z + \omega)$

$\therefore $ 거짓

ㄴ.

$\overline{z} - \omega = z - \overline{\omega}$

$\omega - \omega = z - z$

$0 = 0$

$\therefore $ 참

ㄷ.

$\overline{\left( \frac{\omega}{z} \right)} = \frac{\overline{\omega}}{\overline{z}} = \frac{z}{\omega}$

$\therefore $ 참

RPM 52p 356번

★ ★ 복소수 $\alpha$가 실수이면 $\alpha = \overline{\alpha}$ ★ ★

이 생각을 이용해서 풀어주는 문제가 고난도 문제에서 꽤 자주 등장하는 편입니다.

문제의 주어진 $z$를 식으로 두고 실제로 $\frac{1}{z^2 - 1}$의 값이 실수가 되게 미지수를 정하여 풀어 줄 수도 있겠지만, 풀이가 복잡해지므로 이 개념을 이용해 풀어보도록 하겠습니다.

$\frac{1}{z^2 - 1}$가 실수이므로 $\frac{1}{z^2 - 1} = \overline{\left( \frac{1}{z^2 - 1} \right)}$

양변 역수 취해주면

$z^2 - 1 = \overline{z^2 - 1}$

켤레 각 각 적용 가능

$z^2 - 1 = \overline{z}^2 - 1$

$z^2 = \overline{z}^2$

참고 : ) $x^2 = A \Rightarrow x = \pm\sqrt{A}$
$z^2 = \overline{z}^2 \Rightarrow z = \pm\sqrt{\overline{z}^2} \Rightarrow z = \pm \overline{z}$

$\therefore z = \overline{z}$ 또는 $z = -\overline{z}$

$z = \overline{z}$은 $z$가 실수라는 의미인데
문제에서 허수 $z$라 하였으므로

$\therefore z = -\overline{z}$

$\therefore z + \overline{z} = 0$

답: ④

RPM 52p 358번

구하고자 하는 식을 전개하면,

$(z_1 - 1)(2z_2 - 1)$
$= 2z_1z_2 - (z_1 + 2z_2) + 1$

$z_1z_2$와 $z_1 + 2z_2$의 값을 구하기 위해
주어진 식의 양변을 켤레를 시켜줍니다.
개념7. 켤레 복소수의 성질에 의해 켤레 각각 적용 가능

$= 2(3 + 4i) - (2 - 5i) + 1$
$= 5 + 13i$

$\therefore $ $= 5 + 13i$

RPM 52p 359번

풀이1)

곱 관계가 조건으로 나왔을 때 역수관계로 바꿔 풀어주는 경우가 많습니다. (참고 : 개념원리 94p 연습문제 182번)

$\overline{\alpha} \beta = -1$ → $\overline{\beta} = -\frac{1}{\alpha}$

이를 이용하여 첫번째 주어진 식에 대입해 주면,

$\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} - \frac{1}{\alpha} = i$

이후 구하고자 하는 것을 구해주면,

$\therefore $ 4번

풀이2)

분수꼴 식이 주어지면 통분하여 값을 구해 주는 풀이도 많이 하죠.

늘 구하고자 하는게 무엇인지 생각하고 식을 등호를 이용해 꼴을 변형해가며 이어적을 수 있어야 합니다.

$\therefore $ 4번

RPM 52p 360번

곱 관계가 주어졌을 때, 역수 관계로 바꾸는 것! 자주 쓰이니 늘 인지해 두도록 합시다.

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 7. 복소수 - RPM 주요 문제 풀이 1

단디 티쳐 — Fri, 28 Feb 2025 10:00:31 +0900

2단원 - 1. 복소수

✅ 복소수 문제 풀이 |

복소수 개념을 확실히 이해하려면 다양한 유형의 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 RPM 공통수학 1 (44p~51p)의 복소수 연습문제 풀이를 통해 핵심 개념을 정리하고, 실전에서 빠르고 정확한 문제 해결 방법을 배웁니다.

이 글에서 다룰 주요 내용
✔ 복소수의 순환성과 $i$의 거듭제곱 패턴 분석
✔ 복소수 연산 시 자주 실수하는 부분과 해결 전략
✔ RPM 연습문제 (44p~51p) 풀이 및 핵심 개념 적용 방법
✔ 서술형 문제에서 감점 없이 정확한 풀이 과정 정리하는 방법

복소수 문제 풀이를 통해 실력을 향상하고, 서술형 시험에서도 감점을 피할 수 있도록 체계적인 풀이 과정과 다양한 해설 방법을 제공합니다.

RPM 공통수학 1 : 44p~ 51p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 47p 318번

구하고자 하는 식의 차수가 높아 하나하나 계산하기 힘들어 '차수 낮춰주는 풀이'를 이용할 것 입니다.

(개념원리 88p 필수예제 06(1) 참고)

'차수 낮춰주는 풀이'를 하도록 해보겠습니다.

우변에 루트 또는 허수만 두고 나머지 이항
양변 제곱 후 '=0' 으로 정리
최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

풀이1)

1. 주어진 복소수를 실수화 하고 우변에는 허수만 두고 나머지 이항

$z - 2 = i$

2. 양변 제곱 후 '=0'으로 정리

$z^2 - 4z + 4 = -1$

$\therefore z^2 - 4z + 5 = 0$

3.최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

$z^3 - 4z^2 + 5z + 3$

$= z(z^2 - 4z + 5) + 3$ ( 상쇄 안해도 바로 표현 가능)

$= 3$

$\therefore z^3 - 4z^2 + 5z + 3 = 3$

추가 다른 풀이 :) 직접 나누기 이용

직접나누기를 이용하여 (나누는식)X(몫)+(나머지) 관계로 표현하면,

$z^3 - 4z^2 + 5z + 3 = ( z^2 - 4z + 5 )(z) + 3$

$z^2 - 4z + 5 = 0$ 이므로

$z^3 - 4z^2 + 5z + 3 = 3$

$\therefore z^3 - 4z^2 + 5z + 3 = 3$

RPM 47p 319번

구하고자 하는 식의 차수가 높아 하나하나 계산하기 힘들어 '차수 낮춰주는 풀이'를 이용할 것 입니다.

1. 주어진 복소수를 실수화 하고 우변에는 허수만 두고 나머지 이항

$x^2 - 1 = -2i$

2. 양변 제곱 후 '=0'으로 정리

$x^4 - 2x^2 + 1 = -4$

$x^4 - 2x^2 + 5 = 0$

"개념원리 94p 181번"에서도 분모에 $x$가 있는 항이 있었습니다.

$x = 0$이면 $x^2 \neq 1 - 2i$이므로 $x \neq 0$
양변을 $x$로 나눠주면 $x^3 - 2x + \frac{5}{x} = 0$

여기까지 미리 구해두고 풀이에 들어가도록 하겠습니다.

3.최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

$x^4$ $+ x^3 - 2x^2 - 2x + \frac{5}{x}$

$= 1(x^4 - 2x^2 + 5) + 2x^2 - 5$ $+ x^3 - 2x^2 - 2x + \frac{5}{x}$ ← $x^4 - 2x^2 + 5 = 0$ 이용

$= x^3 - 2x - 5 + \frac{5}{x}$

$= \left( x^3 - 2x + \frac{5}{x} \right) - 5$ ← $x^3 - 2x + \frac{5}{x} = 0$ 이용

$= -5$

$\therefore -5$

RPM 48p 326번

'$z^2$이 실수'라는 조건이 나왔습니다.

주어진 $z$가 복잡하므로 일단 간단하게 $z = b + ci$라 두고 조건을 봐주도록 하겠습니다.

$z^2 = (b^2 - c^2) + 2bci$

실수가 되기 위해 $b = 0$ 또는 $c = 0$

$z = (a^2 - 3a + 2)+(a^2 + a - 2)i$ 이므로

$b = 0$ (실수부 = 0)
$a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) = 0$ $\therefore a = 1, a = 2$
$c = 0$ (허수부 = 0)
$a^2 + a - 2 = (a + 2)(a - 1) = 0$ $\therefore a = 1, a = -2$

$\therefore a = 1$ 또는 $-2$ 또는 $2$, 모든 실수 $a$ 값의 합 = $1$

$\therefore 1$

RPM 48p 327번

'$z^2$이 양의 실수'라는 조건이 나왔습니다.

주어진 $z$가 복잡하므로 일단 간단하게 $z = b + ci$라 두고 조건을 봐주도록 하겠습니다.

$z^2 = (b^2 - c^2) + 2bci$

실수가 되기 위해 $b = 0$ 또는 $c = 0$

양의 실수가 되기 위해 $c = 0$ 이여야 하고, $b=0$이면 $z=0$ 되므로 $b \neq 0$

$z = (a^2 + 3a - 4) + (a^2 + a - 12)i$ 이므로

$b \neq 0$ (실수부 $\neq 0$)
$a^2 + 3a - 4 = (a + 4)(a - 1) \neq 0$ $\therefore a \neq -4, a \neq 1$
$c = 0$ (허수부 = 0$)$
$a^2 + a - 12 = (a + 4)(a - 3) = 0$ $\therefore a = -4, a = 3$

두 조건을 모두 만족하는 $a$는 $3$

$\therefore a = 3$

RPM 48p 330번

켤레 복소수를 구할 때 $i$앞의 부호만 바뀌도록 주의 합시다.

$\overline{(x - 5) - 3xyi} = 9i - y$

$(x - 5) + 3xyi = -y + 9i$

$\therefore x - 5 = -y$, $3xy = 9$

$x + y = 5$, $xy = 3$

구하고자 하는 것이 $x^2+y^2$이므로 굳이 각각의 값을 구하지 않고 곱셈공식을 이용해 줍니다.

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 25 - 6 = 19$

$\therefore x^2 + y^2 = 19 $

RPM 49p 332번

$z = a + bi$, $\overline{z} = a - bi$라 두면 ($a, b$ 실수)

ㄱ.

$z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$

즉, $a^2 + b^2 = 0$이면 $a = 0$이고 $b = 0$이므로 $Z = 0$
$\therefore$ 참

ㄴ.

풀이1)

순허수는 켤레해도 순허수이므로 바로 참

풀이2)

$\overline{z} = a - bi$

$a - bi$가 순허수면 $a = 0, b \neq 0$이므로 $\overline{z} = -bi$ (순허수)

$\therefore$ 참

ㄷ.

풀이1)

$\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{a + bi} + \frac{1}{a - bi} = \frac{(a - bi) + (a + bi)}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{2a}{a^2 + b^2}$이므로 실수이다.

풀이2)

$\frac{1}{z}$를 새로운 복소수 $c + di$라 하면 $\frac{1}{\overline{z}} = c - di$

$\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = (c + di) + (c - di) = 2c$로 실수이다.

$\therefore$ 거짓

추가로 333번과 334번에서 주어진 문제의 조건만 보도록 할께요.

333번 :) $\overline{z} = -z \Leftrightarrow 0$ 또는 순허수

$\overline{z} = -z$

$a - bi = -(a + bi)$

$2a = 0$

$\therefore a = 0$이고 $b$의 값 제한은 없음. (즉, $b = 0$, $b \neq 0$ 둘 다 가능)

$a = 0$일 때 $b = 0$이면 $Z = 0$
$a = 0$일 때 $b \neq 0$이면 $Z = bi$ (순허수)

$\therefore \overline{z} = -z \Leftrightarrow 0$ 또는 순허수

334번 :) $\therefore z = \overline{z} \Leftrightarrow $ 실수

$z = \overline{z}$

$a + bi = a - bi$

$b = 0$이고 $a$의 값 제한 없음. (즉, $a = 0$, $a \neq 0$ 둘 다 가능)

$b = 0$일 때 $a = 0$이면 $Z = 0$
$b = 0$일 때 $a \neq 0$이면 $Z = a$ (실수)
$a = 0$이든 $a \neq 0$이든 그냥 실수가 되는 것

$\therefore Z = \overline{Z} \Leftrightarrow $ 실수

RPM 49p 337번

$z \cdot \overline{z} = 7$, $z + \frac{7}{z} = 4$

두 조건의 관계를 보기 위해
$z \cdot \overline{z} = 7 \Rightarrow \overline{z} = \frac{7}{z}$
식 변형 후 두번째 식에 대입 해 줍니다.

$\therefore z + \overline{z} = 4$

$z = a + bi$, $\overline{z} = a - bi$ 라 하면

$z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = 7$
$z + \overline{z} = 2a = 4$

$\therefore a = 2$, $b^2 = 3$ $(b = \pm \sqrt{3})$

$\therefore z = 2 \pm \sqrt{3}i$

RPM 50p 342번

복소수의 순환성을 이용한 문제 입니다.

4개씩 $i$의 거듭제곱이 반복되고 분자의 숫자가 2씩 차이가 나므로 주어진 식도 4개씩의 합이 $-2+2i$로 일정하게 됩니다.

$4 \times 25 = 100$이므로 $-\frac{100}{i^{100}}$까지의 합이 $(-2 + 2i)$가 25개

(주어진 식)
$= 25 \times (-2 + 2i) + \frac{101}{i^{101}} - \frac{102}{i^{102}}$

$\cdot \frac{101}{i^{101}} = \frac{101}{i} = \frac{101 \cdot i}{i \cdot i} = -101i$
$\cdot \frac{-102}{i^{102}} = \frac{-102}{i^2} = 102$

$= -50 + 50i - 101i + 102$

$= 52 - 51i$

$a = 52$, $b = -51$

$a - b = 52 + 51 = 103$

RPM 50p 346번

$f(x) = \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^{1002}$ 문제의 주어진 $f(x)$가 복잡하지만 구하고자 하는 것에 집중하여 하나씩 차근차근 해결해 보도록 합시다.

늘 좌변과 우변이 같은 값인지 생각하며 등호를 이용하여 식을 이어가며 써보도록 합시다.

$f\left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)$ 값 구하기

$\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = -i$

이 식을 이용하여 정리해 주면,

$f\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)$ 값 구하기

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = i$

이 식을 이용하여 정리해 주면,

$f\left( \frac{1 - i}{1 + i} \right) + f\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right) = -2$

식을 차근차근 정리하다보면 생각보다 쉽게 풀리는 문제가 많으니 겁먹지 말고 하나씩 간단하게 정리해보도록 합시다.

RPM 51p 347번

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
$i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기
$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$
...

위의 개념을 사용하는 문제 입니다. 어느 경우인지 판단 후 바로바로 정리해서 넘어가줘야 하는 문제 입니다!

$a = -2, b = 3$ 이라하면 $a < 0, b > 0$로 그 외의 경우: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{(-2) \times (3)} = \sqrt{-6} $

$a = -2, b = -3$ 이라하면 $a < 0, b < 0$ 인 경우 : $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
$ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = -\sqrt{(-2) \times (-3)} $

$a = 3, b = -2$ 라하면 $a > 0, b < 0$이므로 그 외의 경우 : $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$
$ \frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{-\frac{2}{3}} $

$a = -3, b = -2$ 라하면 $a < 0, b < 0$이므로 그 외의 경우 : $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$
$ \frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{-2}{-3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $

$a = -3, b = 2$ 라하면 $a < 0, b > 0$ 인 경우 : $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{-\frac{2}{3}} $

$\therefore $ 5번.

RPM 51p 349번

$i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀어보도록 할께요.

바로 위의 문제 처럼 바로 공식을 이용해 정리해 주셔도 됩니다.

$\therefore 0$

RPM 51p 350번

개념원리 101p 연습문제 208에서 한번 했던 문제 입니다.

이때 두가지 방법으로 풀이를 했었는데요, 이번 문제에서도 두가지 풀이 모두 정리하도록 하겠습니다.

루트 안의 부호 먼저 판단해주면,

$-2 < x < 2$

양변에 $+2$ : $0 < x + 2 < 4$, 여기에서 $-1$을 곱하면 $0 > -(x + 2) > -4$
양변에 $-2$ : $-4 < x - 2 < 0$, 여기에서 $-1$을 곱하면 $4 > -(x - 2) > 0$

풀이 1)

기본 법칙은 $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기 입니다.

루트안이 양수가 되게 식을 정리
$\sqrt{A^2} = |A|$로 정리
절댓값 안의 식이 양수면 그대로, 음수면 $-$ (마이너스) 부호를 달고 나오는데,
둘다 절댓값 안이 양수이므로 그대로 절댓값 기호를 괄호로 바꿔줍니다.

풀이2)

$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

이 공식만 사용하여 계속 정리하는 방법 입니다. 어떤 것을 같이 하던 상관없다 했었죠?

이번에는 주어진 식 순서로 차례대로 계산해 보도록 할께요.

처음은 " 그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ "을 써주지만
그 다음은 $a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$을 사용하여 정리 후
$\sqrt{A^2} = |A|$로 정리
절댓값 안의 식이 양수면 그대로, 음수면 $-$ (마이너스) 부호를 달고 나오는데,
$x^2-4$는 음수 이므로 앞의 부호 바꾸면서 절댓값 기호 괄호로 바꿔 줍니다.

RPM 51p 353번

$\sqrt{A^2} = |A|$ 정리

절댓값 안의 식 양수 → 절댓값 기호 대신 괄호

절댓값 안의 식 음수 → 앞의 부호 바꾸고 절댓값 기호 대신 괄호

위의 개념을 계속 생각하면서 익숙해 지도록 합시다.

$\sqrt{a} \sqrt{b} = -\sqrt{ab} \Rightarrow a < 0, b < 0$ 또는 $a = 0$ 또는 $b = 0$

$0$이 아닌 두 실수이므로 $a < 0, b < 0$

식을 차근차근 써가며 연습하다보면 손에 익을꺼에요!

나중에 자연스럽게 풀이과정이 생략되니 처음에는 자꾸 써보면서 손이 기억하도록 연습합시다.

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 6. 방정식과 부등식 - 복소수 예제 문제. 연습 문제 풀이 6

단디 티쳐 — Wed, 26 Feb 2025 10:00:14 +0900

2단원 - 1. 복소수

✅ 복소수 문제 풀이

복소수 개념을 확실히 익히려면 직접 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1 (95p~101p)의 복소수 연습문제 풀이를 통해 핵심 개념을 정리하고, 실전 문제 해결력을 높이는 방법을 배웁니다.

✔ 복소수의 순환성과 $i$의 거듭제곱 패턴 정리
✔ 복소수 연산 시 실수하기 쉬운 부분 분석 및 해결 전략
✔ 개념원리 연습문제 95p~101p 풀이 및 해설 제공

복소수 문제 풀이를 통해 실력을 높이고, 서술형 시험에서도 감점을 피할 수 있도록 풀이 과정을 체계적으로 정리했습니다. 이 글을 통해 복소수를 완벽하게 이해하고, 문제 해결 능력을 키워보세요!

개념원리 공통수학 1 : 95p~ 101p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 확인체크

개념원리 97p 확인체크 190

복소수의 순환성을 이용하는 문제입니다. 순환성이 보이도록 정리해 보도록 할께요.

결국 계산은 첫번째 세로줄과 세번째 세로줄이 계산되고, 두번째 세로줄과 네번째 세로줄이 계산되게 됩니다.

분자도 2씩 차이가 나게 되기 때문에 4개씩의 합은 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

$\frac{4k + 1}{i^{4k + 1}} + \frac{4k + 3}{i^{4k + 3}} = \frac{4k + 1}{i} - \frac{4k + 3}{i} = \frac{-2}{i}$
$\frac{4k + 2}{i^{4k + 2}} + \frac{4k + 4}{i^{4k + 4}} = -(4k + 2) + (4k + 4) = 2$

$48$은 $4 \times 12$이므로 $2 - \frac{2}{i} = 2 + 2i$가 $12$개 있음

$\frac{49}{i} = -49i$

(주어진 식)

$= 12 \times (2 + 2i) - 49i - 50$

$= 24 + 24i - 49i - 50$

$= -25i - 26$

$a + bi = -26 - 25i$ → $a = -26, b = -25$

$b - a = -25 + 26 = 1$

$\therefore 1$

개념원리 98p 확인체크 193

$\frac{i + 1}{i - 1} = \frac{(i + 1)(i + 1)}{(i - 1)(i + 1)} = \frac{2i}{i^2 - 1} = -i$

$(-i)^n = i$를 만족시키는 자연수 $n$

$(-i)^1 = -i$, $(-i)^2 = -1$, $(-i)^3 = i$, $(-i)^4 = 1$, $\cdots$

문제에서 최솟값 n 구하라 하였으므로 답은 3

추가 설명:)
$(-i)^4 = 1$로 값을 1을 가지게 되면서 순환성 가지게 됨 (1로 초기화 됨)
$-i, -1, i, 1$ 로 반복됨
일반화 하면, $(-i)^n = i$를 만족시키는 자연수 $n = 4k + 3$ 꼴

$\therefore 3$

개념원리 99p 확인체크 196번

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
...
(추가)
$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ → $a < 0, b > 0$ 또는 $b=0$

위의 개념을 사용하는 문제 입니다.

$\sqrt{a - 4} \sqrt{1 - a} = -\sqrt{(a - 4)(1 - a)}$

$\sqrt{a} \sqrt{b} = -\sqrt{a \cdot b}$ 이면 $a < 0, b < 0$ 또는 $a = 0$ 또는 $b = 0$

$a - 4 < 0, 1 - a < 0$ 또는 $a - 4 = 0$ 또는 $1 - a = 0$

$1 < a < 4$ 또는 $a = 4$ 또는 $a = 1$

하지만, 문제에서 $a \neq 4$, $a \neq 1$이라 하였으므로 $1 < a < 4$

절댓값 정리는 3step으로 정리 한다고 지난 글에서 설명하였습니다.

$\therefore 3$

1-2. 연습문제

개념원리 100p 연습문제 197

$28 = 4 \times 7$이므로 $-2i - 2$가 7개 있습니다.

(주어진 식)

$= 7 \times (-2i - 2) + 29i + 30$

$= -14i - 14 + 29i + 30$

$= 15i + 16$

$p + qi = 16 + 15i$이므로 $p = 16, q = 15$

$p - q = 16 - 15 = 1$

개념원리 100p 연습문제 198

식을 거듭제곱해보고 간단한 꼴을 찾아야 합니다. 여기서는 문제에 주어진 지수가 $4n$, $4n+2$ 입니다.

$\left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right)^1 = \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right)$

$\left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{(1 + i)^2}{\sqrt{2}^2} = \frac{2i}{2} = i$ ← 간단

$\left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right)^{4n} = \left( \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right)^2 \right)^{2n} = (i)^{2n}$

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^1 = \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)$

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{(1 - i)^2}{\sqrt{2}^2} = \frac{-2i}{2} = -i$

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^{4n + 2} = \left( \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^2 \right)^{2n+1} = (-i)^{2n+1}$

항상 좌변과 우변의 값이 같은지 생각하면서 식을 이어쓸 수 있어야해요.

어렵더라도 꼭 이렇게 연습하도록 합시다!

(주어진 식)

$i^{2n} + (-i)^{2n + 1}$

$= i^{2n} + (-1)^{2n + 1} \cdot (i^{2n + 1})$

$2n$은 $4$의 배수이므로
$i^{2n} = i^{4k} =1$
$i^{2n + 1} = i^{4k + 1} = i$
$2n + 1$은 홀수이므로 $(-1)^{2n + 1} = -1$

$= 1 + (-i)$

$\therefore 1 - i$

개념원리 100p 연습문제 200

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
$i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기
$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

위의 개념을 사용하는 문제 입니다. 어떤 경우인지 판단하고 바로 참 거짓을 판단할 수 있어야 합니다!

ㄱ.

$-2$를 $a$, $-5$를 $b$라 하면

$a < 0, b < 0$이므로 $a < 0, b > 0$ 이외의 경우에 해당 됩니다.

→ $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{-5}{-2}}$

$\frac{\sqrt{-5}}{\sqrt{-2}} =$ $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$ $= \sqrt{\frac{-5}{-2}}$

$\therefore$ 참

ㄴ.

$2$를 $a$, $-5$를 $b$라 하면

$a > 0, b < 0$이므로 $a < 0, b > 0$ 이외의 경우에 해당 됩니다.

→ $\frac{\sqrt{-5}}{\sqrt{2}} =$ $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$ $= \sqrt{\frac{-5}{2}}$

$\therefore$ 참

ㄷ.

$-2$를 $a$, $5$를 $b$라 하면

$a < 0, b > 0$이므로

→ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-2}} =$ $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = -\sqrt{\frac{b}{a}}$ $= -\sqrt{\frac{5}{-2}}$

$\therefore$ 거짓

ㄹ.

$-2$를 $a$, $5$를 $b$라 하면

$a < 0, b > 0$이므로 $a < 0, b > 0$이외의 경우에 해당 합니다.

→ $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{5} =$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ $= \sqrt{(-2) \times 5}$

$\therefore$ 참

ㅁ.

$-2 = a, -5 = b$라 하면

$a < 0, b < 0$이므로

→ $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-5} =$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = -\sqrt{ab}$ $= -\sqrt{(-2) \times (-5)}$

$\therefore$ 거짓

개념원리 100p 연습문제 202

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
...
(추가)
$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ → $a < 0, b > 0$ 또는 $b=0$

위의 개념을 사용하는 문제 입니다.

0이 아닌 실수라 했으므로 0이 되는 경우는 생략하고 결론을 뽑아주면,

$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{c}{b}}$ → $b < 0, c > 0$

차례 차례 식을 써가면서 하도록 합시다!!

$\therefore$ $-2a + 2c$

개념원리 101p 연습문제 204

복소수의 순환성! 이제 익숙해 졌죠? 이제 따로 쓰지 않고 바로 식정리를 해주도록 하겠습니다.

$\therefore z = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2i}{2} = i$

$\therefore z^3 + z + 7 = i^3 + i + 7 = -i + i + 7 = 7$

개념원리 101p 연습문제 205

$z^n = (1 - i)^n$이 양의 정수가 되도록 하는 $n$의 최솟값을 구하라고 하였습니다.

거듭제곱을 직접해보며 규칙성을 찾아줘야 합니다.

$(1 - i)^1 = 1 - i$

$(1 - i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

$(1 - i)^4 = \left( (1 - i)^2 \right)^2 = (-2i)^2 = -4$

$(1 - i)^8 = \left( (1 - i)^4 \right)^2 = (-4)^2 = 8$

$\therefore$ 양의 정수가 되는 자연수 $n$의 최댓값 = $8$

개념원리 101p 연습문제 206

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
...
(추가)
$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ → $a < 0, b > 0$ 또는 $b=0$

위의 개념을 사용하는 문제 입니다.

조건 ①

0이 아닌 실수라 했으므로 0이 되는 경우는 바로 생략하고 결론을 뽑아주면,

$\sqrt{x} \sqrt{y} =$ $-$ $\sqrt{xy}$ → $x < 0, y < 0$

조건 ② $z^2 = -16$ 조건

간단하게 $z = a + bi$라 하면

$z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi = -16$

$a^2 - b^2 = -16$
$2ab = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ 또는 } b = 0$

두 결론을 모두 만족하기 위해, $a = 0$, $b^2 = 16$ $(b = \pm 4)$

$z$를 정리하여 조건 ②의 결론을 대입해주면,

$z = (x^2 + 3x - 18) + (1 - y)i$,

$a = 0$, $x^2 + 3x - 18 = 0$ → $(x + 6)(x - 3) = 0$ → $x = -6$ 또는 $x = 3$
조건 ①에서 $x < 0$이므로 $x = -6$

$b = \pm 4$ → $1 - y = +4$ 또는 $1 - y = -4$ → $ y = -3$ 또는 $y = 5$
조건 ①에서 $y < 0$이므로 $y = -3$

$\therefore xy = (-6)(-3) = 18$

차근차근 조건을 하나씩 쳐주시면 됩니다! 할만하죠!?

개념원리 101p 연습문제 207

좌변을 정리하면,

$(1 - i)^{2n} = ((1 - i)^2)^n = (-2i)^n$

$(-2i)^n = 2^n \cdot i$

우변에 $2^n$이 있어 좌변도 $2^n$이 보이게 정리해 줄 것 입니다.
최대한 좌변과 우변을 같은 꼴이 보이도록 정리하도록 할께요.
$(ab)^n = a^n \cdot b^n$을 이용 → $(2)^n \cdot (-i)^n$

즉 , $(2)^n \cdot (-i)^n = 2^n \cdot i$

좌변과 우변이 같기 위해서는 $(-i)^n = i$

좌변의 식에 $n$을 1부터 대입해보며 거듭제곱 값을 구해보도록 하겠습니다.

$n = 1$: $-i$
$n = 2$: $(-i)^2 = i^2 = -1$
$n = 3$: $(-i)^3 = -i^3 = i$
$n = 4$: $(-i)^4 = i^4 = 1$

$n = 4$일 때 1로 값이 초기화되므로 $-i, -1, i, 1$이 순환한다는 것을 알 수 있습니다.

$n = 4k + 3$일 때 $(-i)^n = i$이 성립하게 되겠죠?

갯수만 구하는 것이므로 가능한 $k$ 갯수를 구해주면,

$4k + 3 \leq 100$

$4k \leq 97$

$k \leq \frac{97}{4} = 24.xx$

$k = 0$ ($n=3)부터 $k=24$($n=99)까지 $25$개가 됩니다.

개념원리 101p 연습문제 208

두가지 풀이로 풀어보도록 하겠습니다. 결국 같은 풀이긴하지만 혹시나 문제를 못푼 친구들이라면 기본 법칙부터 접근했어야 합니다.

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
$i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기
$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

루트 안의 부호 먼저 판단해주면,

$-1 < x < 1$이므로

양변에 $+1$: $0 < x + 1 < 2$, 여기에 $-1$을 곱하면 $0 > -(x + 1) > -2$
양변에 $-1$: $-2 < x - 1 < 0$, 여기에 $-1$을 곱하면 $2 > -(x - 1) > 0$

풀이 1)

기본 법칙은 $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기 입니다.

(ㄱ)→(ㄴ) : 루트 안이 양수가 되도록 정리 후 계산해 주도록 하겠습니다.

(ㄷ)→(ㄹ) : $\sqrt{A^2} = |A|$입니다. 절댓값 안의 식이 양수면 그대로, 음수면 $-$ (마이너스) 부호를 달고 나옵니다.
(ㄹ) : 둘다 절댓값 안이 양수이므로 그대로 절댓값 기호를 괄호로 바꿔줍니다.
제일 뒤의 -(마이너스)를 앞으로 정리해 줍니다.

(ㅁ)→(ㅂ) : $-(1-x) = x -1$ 정리
$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ 공식을 이용하여 식을 정리해 줍니다.

$\therefore x^2-1$

이렇게 기본 법칙을 이용해 접근해 주도록 합시다.

풀이2) 특수한 경우만 생각

$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

이것만 사용하여 계속 정리하는 방법 입니다.

파란색은 파란색끼리 노란색은 노란색 끼리 계산해 줍니다. (어느 것을 같이 하던 상관 없습니다.)
한개는 양수, 한개는 음수로 "그 외의 경우의 경우"에 해당하므로 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

(ㄴ) → (ㄷ) : 루트안이 음수 & 음수
$a < 0, b < 0$ 인 경우에 해당하므로 $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$

(ㄷ) → (ㄹ) : $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ 공식을 이용하여 식을 정리해 줍니다.
$(1-x)(1+x) = 1 - x^2$ 입니다.
(ㄹ) → (ㅁ) : $\sqrt{A^2} = |A|$입니다. 절댓값 안의 식이 양수면 그대로, 음수면 $-$ (마이너스) 부호를 달고 나옵니다.
(ㅁ) → (ㅂ) : 절댓값 안이 양수이므로 절댓값 부호가 괄호로 바뀝니다.
이후 식을 정리해 주시면 됩니다.

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 5. 방정식과 부등식 - 복소수 개념정리

단디 티쳐 — Mon, 24 Feb 2025 10:00:47 +0900

2단원 - 1. 복소수

복소수 개념정리

복소수 개념을 확실히 익히려면 직접 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1 (95p~99p)의 복소수 연습문제 풀이를 통해 핵심 개념을 정리하고, 실전 문제 해결력을 높이는 방법을 배웁니다.

✔️ 복소수의 순환성과 $i$의 거듭제곱 패턴 정리
✔️ 복소수 연산 시 실수하기 쉬운 부분 분석
✔️ 개념원리 연습문제 95p~99p 풀이 및 해설 제공

개념원리 공통수학 1 : 95p~ 99p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 복소수의 순환성

허수단위 $i$는 $i^2 = -1$을 만족하는 수입니다.

$i$는 순환성을 가지며, 거듭제곱을 하나씩 계산해보면 다음과 같은 패턴이 나타납니다.

$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = i \times i^2 = i \times (-1) = -i$
$i^4 = i^2 \times i^2 = (-1) \times (-1) = 1$

$i^4 = 1$ 값이 1로 초기화가 되면서 순환성을 가진 다는 것을 알 수 있습니다.

$i^5 = i^4 \times i = (1) \times (i) = i$
$i^6 = i^4 \times i^2 = (1) \times (i^2) = -1$
$i^7 = i^4 \times i^3 = (1) \times (i^3) = -i$
$i^8 = i^4 \times i^4 = (1) \times (i^4) = 1$

이처럼 $i^4 = 1$ 을 기준으로 $i$ 거듭제곱의 값이 $i, -1, -i, 1$ 순서로 반복됩니다.

결국 $i$는 이와 같은 순환성을 가지게 됩니다.

$i$의 값을 가지는 지수를 보면, 1,5,9,13,...으로 4로 나누었을때 나머지가 1인 경우입니다.
이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+1 형태로 표현할 수 있습니다.
$-1$의 값을 가지는 지수를 보면, 2,6,10,14,...으로 4로 나누었을때 나머지가 2인 경우입니다.
이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+2 형태로 표현할 수 있습니다.
$-i$의 값을 가지는 지수를 보면, 3,7,11,15,...으로 4로 나누었을때 나머지가 3인 경우입니다.
이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+3 형태로 표현할 수 있습니다.
$1$의 값을 가지는 지수를 보면, 4,8,12,16,...으로 4로 나누었을때 나머지가 4 , 즉 나누어 떨어지는 경우입니다.
이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+4 (즉, 4n) 형태로 표현할 수 있습니다.

이에 의해 만들어지는 성질 3가지도 함께 정리하도록 합시다.!

개념 8.복소수의 순환성
$i = i^1 = i^5 = \cdots = i^{4n+1}$
$-1 = i^2 = i^6 = \cdots = i^{4n+2}$
$-i = i^3 = i^7 = \cdots = i^{4n+3}$
$1 = i^4 = i^8 = \cdots =i^{4n+4 \approx 4n}$

◎성질
1) $i^{4n+1} + i^{4n+3} = 0$
2) $i^{4n+2} + i^{4n} = 0$
3) $i^{4n+1} + i^{4n+2} + i^{4n+3} + i^{4n} = 0$

1-2. 복소수들간의 사칙 연산시 주의해야 할점

지금까지 배운 복소수들간의 연산에 대해 생각해보자면,

개념1. 허수의 도입에서 주의해야 할 점으로 $i$를 이용해 정리해 줄 때 , $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수여야 한다고 언급한 적이 있습니다.

그러고 간단하게 학교에서 자주 출제되는 유형으로 잘못계산했을 때 1이 -1과 같다는 결론이 나오므로 $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 먼저 정리 한 후 계산해줄 것을 강조 했었습니다. (이전글 보러가기)

이 글에서 이 부분에 대해서 좀 더 자세하게 다뤄보도록 할께요.

몇가지 예를 보도록 하겠습니다.

$i$를 이용해 정리하지 않고 루트안의 수를 바로 곱해 푸는 잘못된 풀이와, $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 푸는 정확한 풀이 2가지로 풀고 비교해 보도록 하겠습니다.

예제1) $\sqrt{-3} \times \sqrt{2}$

정확한 풀이 $= \sqrt{3}i \times \sqrt{2} = \sqrt{6}i \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{-6} = \sqrt{6}i \quad (\text{X})$

결론적으로는 값이 같다는 것을 알 수 있습니다.

예제2)$\sqrt{-3} \times \sqrt{-2}$

정확한 풀이 $= \sqrt{3}i \times \sqrt{2}i = -\sqrt{6} \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{(-3)(-2)} = \sqrt{6} \quad (\text{X})$

여기서는 결론 값이 다르다는 것을 알 수 있습니다.

잘못된 풀이를 생각해보면 루트 안의 수끼리 곱해주면서 마이너스 부호가 사라지게 됩니다.

문자로 정리하면 다음과 같습니다.

$a < 0, b < 0$ 인 경우: $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

간단하게 정리하자면, $\sqrt{a} \sqrt{b}$ 를 계산할때 둘다 음수 인경우 $-$ $\sqrt{ab}$가 결론으로 나오고, 이외의 경우는 사실 잘못계산해줘도 사실 결론은 같구나 라고 정리할 수 있습니다.

예제3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

정확한 풀이 $= \frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{-\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{X})$

결론적으로는 값이 같다는 것을 알 수 있습니다.

예제 4) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}$

정확한 풀이 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}i} \times \frac{i}{i} = \sqrt{\frac{2}{3}} \frac{i}{i^2} = -\sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{\frac{2}{-3}} = \sqrt{-\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{X})$

여기서는 결론 값이 다르다는 것을 알 수 있습니다.

잘못된 풀이를 생각해보면, 분모의 $i$를 실수화 시키는 과정에서 -(마이너스)가 생긴다는 것을 알 수 있습니다. 그러면서 부호가 바뀌게 되는데요.

문자로 정리하면 다음과 같습니다.

$a < 0, b > 0$ 인 경우: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

간단하게 정리하자면, $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$를 계산할때 분모가 음수고 분자가 양수인 경우 $ -\sqrt{\frac{b}{a}}$라는 결론이 나오고, 이외의 경우는 잘못 계산해줘도 사실 결론은 같구나 라고 정리할 수 있습니다.

이처럼 어떤때에는 값이 다르고 어떤때에는 값이 같기 때문에 정확한 풀이를 위해서는 루트안에 음수가 나온경우 $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀어주자 라는 결론이 나오게 됩니다.

특수 케이스만 외워서 문제를 푸셔도 되지만, 기본 규칙은 무엇인지 알고 푸는 것이 중요합니다.

나중에 개념원리 99p 필수예제 11번 문제에서도 이 두가지로 설명하도록 해볼께요!

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
$i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기
$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

(추가)
$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ → $a < 0, b > 0$ 또는 $b=0$

(추가)를 보면

$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ 식을보고 반대로 $a,b$의 부호를 뽑을 수 있습니다.

그런데, 여기서는 방정식이기 때문에,

$a=0$인 경우 좌변 우변이 0이되서 성립하고
$b=0$인 경우도 좌변 우변이 0이 되면서 등호가 성립하게 됩니다.

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ 식을 보고도 $a,b$의 부호를 뽑을 수 있습니다.

여기서도 방정식이기 때문에,

$b=0$인 경우도 좌변 우변이 0이 되면서 등호가 성립하게 됩니다.
$a$는 분모에 있으므로 분모는 0이 될 수 없어 $b=0$만 가능하게 됩니다.

반대로 해석시에는 방정식 특성상 0인 경우도 등호가 성립하니 꼭 주의 하도록 합시다!

1-3. 예제문제

개념원리 97p 필수예제 09

(1)번 문제

복소수의 순환성이 보이도록 정리해 줍니다.

$i^{4n+1} + i^{4n+2} + i^{4n+3} + i^{4n} = 0$ 이므로 각각의 가로줄의 합은 0
즉, $i + i^2 + \cdots + i^{200} + i^{201}$ 에서 $i^{200}$까지의 합은 $0$
$i + i^2 + \cdots + i^{200} + i^{201} = i^{201}$
$201$은 $4$로 나누었을 때 나머지 $1$이므로 $i^{201} = i^{4n+1} = i$

∴$i$

(2)번 문제

여기서도 복소수의 순환성이 보이도록 정리해 주면 좋습니다.

$i$와 $i^3$, $i^2$과 $i^4$는 서로 부호 반대 관계라서 역수를 시켜줘도 합이 $0$이 됩니다.

$\frac{1}{i} + \frac{1}{i^3} = \frac{1}{i} + \frac{1}{-i} = \frac{1}{i} - \frac{1}{i} = 0$
$\frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^4} = \frac{1}{-1} + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0$
이렇게 4개씩의 합은 0이 됩니다.

이렇게 1을 따로 빼두고 계산하면 바로 4의 배수인 $\frac{1}{i^{48}}$까지의 합이 딱 0이 되므로 계산하기가 편리합니다.

남은 계산을 마무리 해주면,

$= 1 + \frac{1}{i^{49}} + \frac{1}{i^{50}}$

$49$는 $4$로 나누었을 때 나머지 $1$, $i^{49} = i^{4n+1} = i$
$50$은 $4$로 나누었을 때 나머지 $2$, $i^{50} = i^{4n+2} = i^2$

$= 1 + \frac{1}{i} + \frac{1}{i^2}$

실수화 : $\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = -i$
$\quad i^2 = -1$

$= 1 - i - 1$

$= -i$

$\therefore$ (주어진 식) $= -i$

개념원리 98p 필수예제 10

(1),(2)풀이 처럼 간단한 형태가 나올때 까지 거듭제곱을 직접 한 후 주어진 식을 계산하는 방법과

(3) 풀이 처럼 괄호안의 식을 간단하게 먼저 정리하고 난 후 주어진 식을 계산하는 방법 2가지 풀이로 나뉘게 됩니다.

(1)번 풀이

$(1 + i)^1 = (1 + i)$

$(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음 / 이를 이용하여 주어진 식 표현

$(1 + i)^{10} = ((1 + i)^2)^5 = (2i)^5 = 32i^5 = 32i$

∴$32i$

(2)번 풀이

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^1 = \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)$

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1 - 2i - 1}{2} = -i$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음 / 이를 이용하여 주어진 식 표현

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^{50} = \left( \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^2 \right)^{25} = (-i)^{25} = -i^{25} = -i^1 = -i$

∴$-i$

(3)번 풀이

괄호 안의 식을 실수화하여 간단하게 정리해 줍니다.

괄호안의 값만 정리한 것입니다. 지수에는 영향이 없어요.

$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{502} + \left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^{502}$

$= (i)^{502} + (-i)^{502}$

$= i^2 + i^2$

$= -2$

∴$-2$

(3)번도 (1),(2)번 풀이 처럼 계산이 가능합니다.

(3)번풀이 추가

$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^2 = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)^2} = \frac{1 + 2i - 1}{-2i} = \frac{2i}{-2i} = -1$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음

$\left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^2 = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)^2} = \frac{1 - 2i - 1}{2i} = \frac{-2i}{2i} = -1$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음

$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{502} + \left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^{502}$

$= \left( \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^2 \right)^{251} + \left( \left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^2 \right)^{251}$

$= (-1)^{251} + (-1)^{251}$

$= -2$

∴$-2$

이 문제에서 방법 두가지를 섞어 풀면서 실수가 많이 나더라구요.

등호가 성립하도록 식을 이어적는 것을 계속 연습하도록 합시다.

개념원리 99p 필수예제 11

복소수의 사칙연산시 주의해야할 점을 생각하며 개념설명에서 언급한 두가지 방법으로 풀어보도록 하겠습니다.

방법1) $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기

$\sqrt{-3} \sqrt{12} + \sqrt{-3} \sqrt{-12} + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} + \frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}}$

$i$를 이용해 루트 안에 양수만 남도록 정리

$= \sqrt{3}i \sqrt{12} + \sqrt{3}i \sqrt{12}i + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}i} + \frac{\sqrt{12}i}{\sqrt{3}i}$

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{12} \cdot i}{\sqrt{3}i \cdot i} = -\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}i = -\sqrt{\frac{12}{3}}i$
$\frac{\sqrt{12}i}{\sqrt{3}i}$에서 $i$는 약분되고 $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}}$

$= \sqrt{36}i + \sqrt{36}i^2 - \sqrt{\frac{12}{3}}i + \sqrt{\frac{12}{3}}$

$= 6i - 6 - 2i + 2$

$= 4i - 4$

∴$-4 + 4i$

방법2) 특수한 케이스만 외워서 풀기

$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

$\sqrt{-3} \sqrt{12} + \sqrt{-3} \sqrt{-12} + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} + \frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}}$

$\sqrt{-3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{-36} = 6i$ ← 그 외의 경우 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-12} =$ $-$ $\sqrt{(-3)(-12)} = -6$ ← $a < 0, b < 0$ 인 경우 $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$$\sqrt{ab}$
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} =$ $-$ $\sqrt{-\frac{12}{3}} = -\sqrt{-4} = -2i$ ← $a < 0, b > 0$ 인 경우 $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
$\frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{-12}{-3}} = \sqrt{4} = 2$ ← 그 외의 경우 $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

$= 6i - 6 - 2i + 2$

$= 4i - 4$

∴$-4 + 4i$

둘중 꼭 하나만을 공부해야한다면 개인적으로 첫번째 풀이방법을 연습하는게 맞다고 생각합니다.

방법1)의 경우 몇번 제대로 써가며 연습하다보면 자연스럽게 계산과정도 생략되고 빨라질 것입니다.

그렇다고 방법2)의 경우가 안좋은 풀이라는 것은 아니고 둘다 해두시는게 제일 좋습니다.

개념원리 99p 필수예제 12

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
...
(추가)
$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ → $a < 0, b > 0$ 또는 $b=0$

위의 개념을 사용하는 문제 입니다.

$\sqrt{a} \sqrt{b} = -\sqrt{ab}$ 조건이 주어졌습니다.

$a < 0, b < 0$ 또는 $a = 0$ 또는 $b = 0$으로 3가지 경우가 가능한데,

이 아닌 두 실수 $a, b$라 하였으므로 $a < 0, b < 0$인 경우입니다.

$\sqrt{A^2} = |A|$입니다. 절댓값 안의 식이 양수면 그대로, 음수면 $-$ (마이너스) 부호를 달고 나옵니다.

★계산 실수가 많은 학생이라면,

절댓값 안의 식이 양수면 절댓값 기호를 괄호로, 음수면 절댓값 기호를 괄호로, 괄호 앞 부호 바꾸기 이렇게 생각하며 익숙해지도록 합시다.

이게 더 복잡한데요? 하는 학생들도 있을 수 있겠지만 많은 학생들한테 여러가지 방법으로 알려줘 봤을 때 이렇게 연습하는것이 계산실수가 가장 적고 효과가 좋더라구요..! 계산실수가 많은 학생이라면 속는셈 치고 한번 해보도록 해봐요!!

절댓값을 계산할 때는 이 STEP 3개로 팍팍 치고 넘어가도록 합시다.

처음에는 조금 안익숙 하더라도 3가지 스탭이 익숙해지면 식을 어떻게 쓸지 판단하는 과정이 줄기 때문에 속도도 엄청 빨라질꺼에요.

1-4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 95p~99p) 백지테스트.hwp

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 82p~87p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 4. 방정식과 부등식 - 복소수 연습문제 풀이

단디 티쳐 — Sat, 22 Feb 2025 10:10:49 +0900

2단원 - 1. 복소수

✅ 복소수 문제 풀이

복소수 문제를 제대로 풀어보며 개념을 확실히 익혀보세요! 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1 (92p~94p)의 복소수 연습문제 풀이를 진행하며, 실력 UP 모든 문제까지 완벽히 해결할 수 있도록 정리했습니다.

✔️ 복소수의 기본 연산과 실수화 방법
✔️ 켤레 복소수 활용 및 차수 낮추기 전략
✔️ 복소수 응용 문제 풀이 및 해설 제공

복소수 개념을 확실히 익히고 문제 해결력을 키우려면 다양한 풀이법을 비교하며 최적의 접근법을 찾아가는 과정이 중요합니다. 이 글을 통해 복소수를 완벽하게 이해하고, 실전 문제 해결력을 키워보세요!

개념원리 공통수학 1 : 92p~ 94p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

개념원리 92p 172번

주어진 조건 : $ z - \overline{z} = 2i $, $ z \overline{z} = 17 $

구하고자 하는 것 : 복소수 $z$

$z$식을 직접 구해야 하므로 $ z = a + bi $ 라 두고 (당연히 a,b는 실수)

개념 4. 복소수가 서로 같을 조건
$a, b, c, d$가 실수일 때, $a + bi = c + di$이면 $a = c$, $b = d$

위의 개념을 이용해 $a,b$의 값을 구해 줄 것 입니다.

$ z - \overline{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi \quad \therefore b = 1 $

$ z \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2 = 17 \quad \therefore a^2 = 16, \quad a = \pm 4 $

$ \therefore z = 4 + i \quad \text{이거나} \quad z = -4 + i $

개념원리 93p 176번

주어진 조건 : $z + w = 3 + 6i$, $\overline{z} - \overline{w} = 1 - 4i$

구해야 하는 것 : $ p+q $

$z,w$에 관한 식이 2개가 나왔으므로 연립하여 각각의 $z,w$를 구해주도록 하겠습니다.

개념7. 켤레 복소수의 성질
(1) $\overline{z} = z$
(2) $z$= 실수 $ \iff z = \overline{z}$= 실수
(3) $\overline{z} = -z \iff z$는 순허수 또는 0
켤레 복소수의 성질 - 켤레 부호를 쪼개서 각각 적용 가능

$z + w = 3 + 6i$ 조건의 양변에 켤레를 시켜주면,

좌변은 $\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$ , 우변은 $3 - 6i$ 입니다.

$z + w = 3 + 6i$
양변 켤레 : $\overline{z} + \overline{w} = 3 - 6i$ ---(ㄱ)
$\overline{z} - \overline{w} = 1 - 4i$ ---(ㄴ)

두 식을 연립해주면

(ㄱ)+(ㄴ) : $2z = 4 - 10i$
(ㄱ)-(ㄴ) : $2w = 2 -2i$

$\overline{z} = 2 - 5i$, $\overline{w} = 1 - i$ 이므로 $z = 2 + 5i$, $\overline{w} = 1 - i$

복소수의 계산

새로운 실수부의 경우 '퐁당퐁당' , 새로운 허수부는 '무지개' 기억하시죠 ?

문제에서 $p+q$의 값을 물었으니 꼭 계산해서 답을 적어주도록 합시다.

항상 문제를 다 풀고나면 한번더 구하고자 하는게 무엇인지 확인 후 답을 써줍시다.

∴ $p+q = 10$

개념원리 93p 177번

문제에서, 복잡한 $z$의 식이 나왔고, $z\overline{z}=0$ 이라 하였는데, 주어진 $z$로 계산해 주기에는 복잡합니다.

그래서 복잡한 $z$를 간단히 $z = a + bi$ ($a,b$ 실수)라 두고 조건을 먼저 생각해 줍니다.

$z = a + bi$

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = 0$

실수를 제곱하면 항상 0보다 크거나 같습니다.
0보다 크거나 같은 수 2개를 더해서 0이 되기 위해서는 둘다 0이여야 합니다.

$\rightarrow a = 0$ , $b = 0$ (해석 : 실수부 = 0, 허수부 = 0)

주어진 $z$를 정리하면,

$z = (x + y - 3) + (x - y + 5)i$

$x + y - 3 = 0$
$x - y + 5 = 0$

두 식을 연립하면 $x = -1$, $y = 4$ $\Rightarrow x^2 + y^2 = 17$

개념원리 93p 178번

주어진 $z$가 간단하므로 이를 바로 이용해 문제의 주어진 조건 $\overline{z} = \frac{z^2}{4i}$을 바로 생각해 줍니다.

$z = a + 2i$

$\overline{z} = \frac{z^2}{4i}$

$\Rightarrow a - 2i = \frac{a^2 + 4ai - 4}{4i}$

양변에 $4i$를 곱해서 정리

$\Rightarrow 4ai + 8 = 4ai + (a^2 - 4)$

허수부분은 이미 같음. 실수부분만 같으면 등호 성립

$\therefore a^2 - 4 = 8$, $a^2 = 12$

$i^2=-1$을 이용하면서 바로바로 계산해 주시면 됩니다.

∴ $a^2 = 12$

(잔소리)

문제 풀이에만 집중하지 마시고 식을 이렇게 정리하네 ? 등의 생각도 가지면 좋을 것 같습니다.

풀이를 보시면 전의 식에서 그 다음식을 쓸 때 항상 꼴을 최대한 유지하면서 이어 정리하려고 합니다.

즉 $\overline{z}$ 밑에는 $a - 2i$를 딱 써주고 세로로 식을 이어 가는 것이죠.

대부분 학생들이 그냥 막 여기 저기 쓰면서 풀이를 하곤 하는데 그러고 학교 서술형 시험에서는 답은 맞는데 풀이 과정을 잘 못쓴거 같다, 감점되었다 이런이야기를 많이 합니다. 지금 조금 오래 걸리더라도 서술형 시험을 대비해 식을 어떻게 쓰지? 어떻게 이어나가지 ? 내 풀이, 내 생각을 어떻게 보여주지 ? 라는 고민을 하면서 공부하신다면 속도, 정확성, 서술형 시험까지 좋을 것입니다. 많이 쓴다고 해서 느린 것은 아닙니다. 정확히 푸는 연습을 하다보면 나중에는 빨라집니다.

개념원리 94p 179번

‘$z^2$가 실수가 되도록’이라는 조건이 나왔습니다.

주어진 $z$는 복잡
간단하게 $z = b + ci , (b, c , \text{실수})$라 두고 조건을 보도록 할께요.
$a$는 문제에 사용되어 $b,c$를 사용

$z^2 = (b + ci)^2 = b^2 + 2bci - c^2 = (b^2 - c^2) + 2bci$

$z^2$이 실수가 되기 위해 허수부분 사라져야함.(0되어야 함) $2bc = 0$

$\therefore b = 0$ 또는 $c = 0$

즉, $z$의 실수부분 $b = 0$ 이거나 허수부분 $c = 0$

이제 조건을 봐줬으니, 문제에서 주어진 $z$에 적용해 줍니다.

$z = (2a - 1) + (a + 2)i$

$\Rightarrow 2a - 1 = 0$ 또는 $a + 2 = 0$

$\therefore a = \frac{1}{2}$ 또는 $a = -2$

따라서 모든 $a$ 값의 곱은 $\frac{1}{2} \times (-2) = -1$

개념원리 94p 180번

$z^2 = -16$는 처음보는 조건이고 계산하기에는 $z$도 복잡하게 주어졌으므로 $z = c + di$ 라 간단히 두고 조건을 생각해 보도록 하겠습니다.

두번째 조건을 보면, $c,d$둘 다 0 이거나 둘중 하나가 0이여야 하는데,
첫번째 조건에서 $(\text{제곱수}) \geq 0$ 이므로 -16이 나오기 위해
$c = 0$, $d^2 = 16$ 이어야 합니다.

$\therefore$ 실수부분 $c = 0$, 허수부분 $d = \pm 4$

이제 주어진 $z$를 보면,

$z = (3a - b) + (-a - b)i$

실수부분: $3a - b = 0 \quad \therefore 3a = b$

허수부분: $-a - b = \pm 4$

$-4a = \pm 4$

$a = 1, b = 3 \quad \Rightarrow a^2 + b^2 = 1 + 9 = 10$
$a = -1, b = -3 \quad \Rightarrow a^2 + b^2 = 1 + 9 = 10$

어짜피 문제에서는 $a^2 + b^2$을 구하라 하였고

두가지 케이스의 경우 모두 10이 나오니 $a$가 1인지 -1인지는 안중요하게 됩니다.

$\therefore a^2 + b^2 = 10$

개념원리 94p 181번

차수 낮추기 했던 거 기억하시나요 ?! 개념원리 88p 필수예제 06 (1)

'차수 낮춰주는 풀이'

우변에 루트 또는 허수 만 두고 나머지 이항
양변 제곱 후 '=0' 으로 정리
최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

(무슨 조건이 나올지 알고 다 푸는 풀이가 아닌 학생들 입장에서 이렇게 접근했을 때 어디서 막혔고, 어떻게 생각하고 해결하는지 생각의 흐름을 따라 풀이해 보도록 하겠습니다.)

이항 후 양변 제곱

$ x^2 + 3 = 2i $

$(x^2 + 3)^2 = (2i)^2$

$x^4 + 6x^2 + 9 = -4$

$\therefore x^4 + 6x^2 + 13 = 0$ ← 0의 값을 이용

0을 이용해 이제 차수를 낮춰 주도록 하겠습니다.

최고차항 $x^4$을 $x^4 + 6x^2 + 13 = 0$를 이용해 표현하기 위해 $= 1(x^4 + 6x^2 + 13)$
추가 되는 $ + 6x^2 + 13 $ 제거 위해 $ - 6x^2 - 13 $ 추가하여 상쇄
남은 항들인 $+ x^3 + 8x^2 + 6x + \frac{13}{x}$ 추가
정리

그렇다면, 여기서 삼차가 남게 되는데, 이 경우 $x^4 + 6x^2 + 13 = 0$를 바로 사용해 표현이 안되게 됩니다.

$x^3$를 표현 하고 싶고 $x^4 + 6x^2 + 13 = 0$를 알고 있으니 $x$로 양변을 나눠줄까? 라는 생각으로 이어집니다.

미지수로 나눠줄 때 주의할 점. 판단 과정

미지수로 나눠주는 경우 0으로 나눠줄 수 없으니 나누고 싶다면 0이 아님을 판단하고 나눠줘야합니다.

정말 중요한 내용이니 꼭 기억하도록 합시다.

$x^3 + 6x + \frac{13}{x} = 0$을 이용해 풀이를 계속해보면,

$= x^3 + 2x^2 + 6x + \frac{13}{x} - 13$

$= 1 \cdot (x^3 + 6x + \frac{13}{x}) - 6x - \frac{13}{x} + 2x^2 + 6x + \frac{13}{x} - 13$

최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리

$= 2x^2 - 13$

$ x^2 = -3 + 2i $

$= 2(-3 + 2i) - 13$

$= -19 + 4i$

$\therefore -19 + 4i$

이렇게 매 순간 필요한게 무엇인지 생각하며 풀이 할 수 있고, 다음부터는 차수낮추는 풀이를 하려는데 주어진 식에 역수가 보인다면 미리 나눠서 구해 준 후 풀이를 해줄 수 있습니다.

개념원리 94p 182번

주어진 조건

$\alpha\overline{\alpha} = \beta\overline{\beta} = 2 $
$\alpha + \beta = 2i$

구하고자 하는 것 : $\alpha\beta$

두 번째 조건에 $\alpha, \beta$에 관한 식이 나왔고, 첫 번째 조건에 $\alpha, \overline{\alpha}, \beta, \overline{\beta}$ 관계가 나왔으므로 첫 번째 식을 정리 후 두 번째 식에 대입하여 관계를 보도록 할게요.

$\alpha\overline{\alpha} = 2 \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{2}{\overline{\alpha}}$

$\beta\overline{\beta} = 2 \quad \Rightarrow \quad \beta = \frac{2}{\overline{\beta}}$

이렇게 곱하기로 주어진 경우 오른쪽과 같이 분수를 이용해 정리해주는 것은 심화 문제에서 가끔 출제되니 기억하도록 합시다.

$\alpha + \beta = \frac{2}{\overline{\alpha}} + \frac{2}{\overline{\beta}} = 2i$

양변에 켤레

$\overline{\left( \frac{2}{\overline{\alpha}} + \frac{2}{\overline{\beta}} \right)} = 2i$ → $\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = -2i$

통분해 주면, 문제에서 주어진 $\alpha + \beta = 2i$ 꼴과 구하고자 하는 $\alpha\beta$ 꼴 나옴

$\frac{2(\beta + \alpha)}{\alpha\beta} = -2i$

$\frac{4i}{\alpha\beta} = -2i$

$\therefore -2 = \alpha\beta$

개념원리 94p 183번

풀이 1)

복소수 $z$를 구해야하는데, $z$ 식을 세워 주어진 조건이 성립하도록 미지수 값을 구하는 풀이가 가능합니다.

$z = a + bi $, ($a, b$는 실수)라 하면

$\frac{z + 2\overline{z}}{z\overline{z}} = 3 + 2i$

$\frac{3a}{a^2 + b^2} -\frac{b}{a^2 + b^2} = 3 + 2i$

$\frac{3a}{a^2 + b^2} = 3$, $-\frac{b}{a^2 + b^2} = 2$

두 식을 연립해 주기 위해 정리하면,

복소수 z를 구하기 위한 식 정리

$\Rightarrow a = -\frac{b}{2}$ 이므로 다시 식(1)에 대입시

$\Rightarrow a = a^2 + (-2a)^2$

$5a^2 - a = 0$

$a(5a - 1) = 0 \quad \therefore a = 0$ 또는 $a = \frac{1}{5}$

두가지 case 비교

$\therefore z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$

풀이 2)

위의 풀이처럼 계산을 해줄 수도 있지만 이 문제의 경우 켤레와 연립을 이용하여 $z$를 바로 구해 줄 수 있습니다.

분수를 쪼갤때 생각하는 방법

식을 쪼개서 정리할 때 실수하지 않도록 주의해 주세요.
양변 켤레를 시키면, $ \frac{1}{z} + \frac{2}{\overline{z}} = 3 - 2i \quad \cdots \text{식②} $

두 식을 연립해 줍니다.

분모에 복소수가 있는경우 연립하는 과정

양변을 나누기 3 해주면,
$ \frac{1}{z} = 1 + 2i $
역수시켜 실수화
$ z = \frac{1}{(1 - 2i)} = \frac{1 \times (1 - 2i)}{(1 + 2i) \times (1 - 2i)} = \frac{1 - 2i}{1 + 4} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i $

이렇게 하면 $z$를 한 번에 구할 수 있습니다.

많은 문제를 연습하고 다양한 풀이 과정을 경험하다 보면, 자연스럽게 이런 풀이법이 떠오르게 됩니다. 정답을 맞췄다고 그냥 넘어가지 말고,

다른 풀이 방법이 있을지 고민해 보고,
해설지 풀이와 비교하며 차이를 분석하고,
"나는 이렇게 풀었는데, 해설지는 이렇게 접근했네" 같은 생각을 하며 학습하면 더욱 효과적입니다.

이런 연습 과정을 통해 문제 해결 능력을 확실히 키울 수 있습니다!

개념원리 94p 183번

문제에서 주어진 조건 : $a, b, c, d$ 자연수, $z_1\overline{z_1}= 10$

일단, 문제에서 주어진 조건을 먼저 더 구체적으로 해석해보도록 하겠습니다.

$a,b$가 자연수인데, 각각을 제곱하여 더한 값이 10이 되기 위해서는 1과 3의 조합밖에 되지 않습니다.

즉 두가지 케이스가 나오게 되는데, 둘 중 딱 하나로 판단할 다른 조건은 없기 때문에 ㄱ,ㄴ,ㄷ에서 두가지 조건을 매번 모두 고려해 줘야 합니다.

ㄱ.

$z_1 \overline{z_1} = a^2 + b^2 = 10$ 이므로 $\therefore$ 참

ㄴ. '$z_1 + z_2 = 3i$이면' 이라 하였으므로 처음 나왔던 두가지 케이스를 각각 고려하여 조건을 보도록 하겠습니다.

$z_1 = 1 + 3i$인 경우

$z_1 + z_2 = (1 + c) + (3 - d)i = 3$
$1 + c = 3$, $3 - d = 0$ 이므로 $c = 2$, $d = 3$, $z_2 = 2 + 3i$

$z_1 = 3 + i$인 경우

$z_1 + z_2 = (3 + c) + (1 - d)i = 3$
$3 + c = 0$, $1 - d = 0$ 이므로 $c = 0$, $d = 1$

$c$와 $d$가 자연수가 아니므로 이 경우는 제외.

즉, $(z_1 + z_2 = 3i)$이면 $(\Rightarrow z_1 = 1 + 3i, z_2 = 2 + 3i)$ 이므로 $c + d = 5$다.
$\therefore$ 참

ㄷ.

참고로, ㄴ에서 $z_1 = 3 + i$인 경우는 안되었다고 여기서 이 경우를 제외 시켜버리면 안됩니다.

ㄴ에서는 '$z_1 + z_2 = 3i$이면' 이라는 특수한 경우만 본 것이기 때문에 ㄷ에서는 다시 두가지 경우 모두 고려해 줘야 합니다.

$(z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2})$

$= { (a + c) + (b + d)i } { (a + c) - (b + d)i }$
$= (a + c)^2 + (b + d)^2$ $= 41$

즉, $z_2 \overline{z_2} = 17$ 이 최대입니다.

$\therefore$ $z_2 \overline{z_2} = 17$

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공통수학 1-2-3. 방정식과 부등식 - 복소수 필수예제 풀이

단디 티쳐 — Thu, 20 Feb 2025 10:00:11 +0900

2단원 - 1. 복소수

복소수 문제 풀이와 개념 정리

복소수의 개념을 배운 후, 이를 활용하여 다양한 문제를 풀어보는 과정이 중요합니다. 이번 글에서는 복소수의 실수화, 차수 낮추기, 켤레 복소수 활용법 등을 자세히 다루며, 여러 가지 풀이법을 소개합니다. 특히, 복소수 연산에서 실수부와 허수부를 정확하게 다루는 방법을 학습하고, 문제를 빠르고 효율적으로 해결하는 전략을 익힐 수 있습니다.

✔️ 복소수의 기본 연산과 활용법
✔️ 복소수 문제 풀이를 통한 개념 적용
✔️ 다양한 풀이법을 비교하며 최적의 접근법 찾기

이 글을 통해 복소수 연산을 깊이 이해하고, 문제 해결 능력을 향상시켜 보세요!

개념원리 공통수학 1 : 88p~ 91p

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지난 글에서 배웠던 복소수 개념을 이용해 마지막 남은 문제들을 설명하도록 해볼께요.

1-1. 예제

개념원리 88p 필수예제 06 (1)

주어진 식을 먼저 실수화 해줍니다.

$z = \frac{(1 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i$

$z^3$, $z^2$ 등을 계산하기 귀찮아 차수를 낮춰주는 풀이를 해볼 거예요.

이전에 1단원을 할때 했던 내용입니다. 개념원리 연습문제 35p 60번 내용과 비교하며 공부해 보도록 합시다.

'차수 낮춰주는 풀이'

우변에 루트 또는 허수 만 두고 나머지 이항
양변 제곱 후 '=0' 으로 정리
최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

$z = -1 + 2i$

$z + 1 = 2i$

양변을 제곱하면

$z^2 + 2z + 1 = -4$

$z^2 + 2z + 5 = 0$

이항하여 우변에는 순허수만 있게 정리한 후 양변을 제곱하면 순허수는 $i^2 = -1$ 계산에 의해 실수가 되게 됩니다.

$z^2 + 2z + 5 = 0$의 $0$을 이용해 줄 것 입니다.

풀이 ① 차수 낮추기

$z^3$ $+ 2z^2 + 6z + 1$

$= $ $z(z^2 + 2z + 5) - 2z^2 - 5z$ $+ 2z^2 + 6z + 1$

$z^3$을 $z^2 + 2z + 5$를 이용해 표현해 주면서 $z^3$ 이외에 추가된 항은 상쇄시켜 $(등호)$가 성립하도록 정리
$z^3 = z(z^2 + 2z + 5) - 2z^2 - 5z$
$z^2 + 2z + 5 = 0$ 이므로 $z(z^2 + 2z + 5)$ 항 사라짐
남은 항들 계산&정리

$= z + 1$

$= 2i$

∴$2i$

이렇게 최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 → 최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 과정을 반복하며 차수를 낮춰주는 풀이 입니다.

풀이 ② 주어진 조건을 활용
$z^3 + 2z^2 + 6z + 1$
$= z(z^2 + 2z + 5) + z + 1$ 로 정리가 가능하고 $z^2 + 2z + 5 = 0$ 이므로
$= z + 1$
$= 2i$

∴$2i$

풀이 ③ 직접 나누기 이용
$z^3 + 2z^2 + 6z + 1$ 을 $z^2 + 2z + 5$ 로 나누었을 때를 생각해 보면, 나눠지는 식 $z^3 + 2z^2 + 5z$ 와 곱해지는 몫은 $z^2 + 2z + 5$ 가 0이므로 사라지게 되고 나머지만 남게 됩니다.

다항식 나누기를 이용한 풀이

∴$2i$

풀이 ②가 가장 간단해 보이죠?
굳이 풀이 ①과 ③을 설명한 이유는

혹시나 차수가 4차, 5차 등의 고차식이 주어진 경우 풀이 ①번처럼 최고차항부터 표현 → 상쇄 → 정리 → 차수를 낮춰가는 풀이, 또는 풀이 ③처럼 나머지를 구하는 풀이가 더 효율적일 수 있습니다.

한 문제를 여러 가지 풀이로 공부하면서 효율적으로 공부할 수 있도록 합시다.

개념원리 88p 필수예제 06 (2)

$x = 1 + 3i$, $y = 1 - 3i$ 켤레 관계가 등장했죠?

켤레 관계 등장시 합-차-곱 이용!

▷▶$x + y = 2$, $x - y = 6i$, $xy = 1 + 9 = 10$ 을 최대한 이용해 줍니다.

$x^3 - x^2 y - xy^2 + y^3$
$= x^2 (x - y) - y^2 (x - y)$
$= (x - y)(x^2 - y^2)$

$= (x - y)(x - y)(x+y)$
$= (x - y)^2 (x + y)$
$= (6i)^2 (2)$
$= -72$

∴$-72$

개념원리 89p 필수예제 07

$Z_1 + Z_2 = \overline{Z_1} + \overline{Z_2}$
bar를 따로 적용이 가능한 것처럼, 따로 있는 것을 합쳐줄 수도 있습니다.
$\overline{\alpha} + \overline{\beta} = \overline{\alpha + \beta}$

$\alpha + \beta = -2 - 2i$ 이므로
$\overline{\alpha + \beta} = -2 + 2i$

∴$8i$

개념원리 89p 필수예제 08

이차식은 $ax^2 + bx + c$ 로 미지수 두는 것처럼 복소수 $z$는 $a + bi$ 로 미지수 둡니다.

$\Rightarrow z = a + bi, \overline{z} = a - bi$ , ($a,b$는 실수)

$(1 + 2i)(a - bi) + 3i (a + bi) = -2 + 6i$

$(a + 2b) + (2a - b)i + 3a i^2 - 3b = -2 + 6i$

$(a - b) + (5a - b)i = -2 + 6i$

$a, b$는 실수이므로 등식이 성립하기 위해 $a - b = -2, \ 5a - b = 6$ 입니다.

둘을 연립해주면 $a = 2, b = 4$

$\therefore a = 2, b = 4$

개념원리 90p 예제

켤레 복소수 성질의 활용 파트 입니다.

90p를 보면 몇가지 식이 있고 전부 실수라는 내용이 나와있는데, 이것을 외워서 풀기보다는 어떤 조건이 나와도 $z = a + bi $라 두고 참/거짓을 판별하는 힘을 기르도록 연습하는 것이 중요합니다. 그래도 자주 나오는 형태는 문제를 풀면서 조금 정리하도록 하겠습니다.

ㄱ.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 $

$ a^2 + b^2 $은 실수

$ \therefore \text{(참)}$

$z\overline{z}$= 실수는 잘 나오는 조건입니다.
복소수 $z$의 형태가 복잡하더라도 켤레 복소수와 곱해주면 실수가 되니 꼭 기억하도록 합시다.

ㄴ.

$(z + \overline{z})(z - \overline{z}) = (2a)(2bi) = 4abi$

허수 꼴이므로 무조건 실수가 되는 것은 아닙니다.

$a = 0$ 또는 $b = 0$ 이면 $0$ (실수)
$a \neq 0, b \neq 0$ 이면 $4abi$ (순허수)

즉, $(z + \overline{z})(z - \overline{z})$은 0(실수)이거나 순허수 입니다.

순허수도 될 수 있으니 문제의 조건은 틀렸네요!

$ \therefore \text{(거짓)}$

$z + \overline{z} = 2a$(실수)는 잘 나오는 조건입니다.

ㄷ.

"$z - \overline{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi = 0$ 이면" 이라는 뜻은 $b = 0$ 이라는 의미입니다.

즉, 주어진 조건을 정리해 보면 "$b = 0$이면 $z$는 순허수이다" 라고 되어 있는데,

$b = 0$ 이면 $z = a$ 이므로 실수입니다.

$ \therefore \text{(거짓)}$

ㄹ.

"$z = a + bi$ 가 허수이면" 이라는 뜻은 $b \neq 0$ 이라는 의미 입니다.

$z = a + bi, \quad -\overline{z} = -(a - bi) = -a + bi$ 이므로

$\Rightarrow b \neq 0$ 일 때

$a = 0$ 이면 $z = -\overline{z}$ 가 성립
$a \neq 0$ 이면 $z = -\overline{z}$ 가 성립하지 않음

$ \therefore \text{(거짓)}$

결론적으로 옳은 것은 ㄱ뿐 입니다.

개념원리 91p 특강 01

ㄱ.

$z - \overline{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi$

$b = 0$ 이면 $0$, 실수
$b \neq 0$ 이면 $2bi$, 순허수

$\therefore$ 항상 실수라고는 할 수 없으므로 (거짓)

ㄴ.

$i(a - bi) = ai + b$

$a = 0$ 이면 $b$, 실수
$a \neq 0$ 이면 $ai + b$, 허수

$\therefore$ 항상 실수라고는 할 수 없으므로 (거짓)

ㄷ.

$(z + i)(\overline{z} - i)$

$= z\overline{z} - (\overline{z} - z)i + 1$
$= a^2 + b^2 - (2bi)i + 1$
$= a^2 + b^2 + 2b + 1$

$\therefore$ $a, b$의 값에 상관없이 항상 실수 (참)

ㄷ. 추가 설명

90p 예제 7에서 '$z \times \overline{z} = $ 실수'라고 했죠?

$z + i$를 새로운 복소수 $\alpha$로 봤을 때,
$\overline{\alpha} = \overline{z + i} = \overline{z} - i$ 이므로

$(z + i)(\overline{z} - i) = \alpha \overline{\alpha}$로 볼 수 있습니다.

$z \times \overline{z} = $ 실수 이므로 $\alpha \times \overline{\alpha} = $ 실수입니다.

$\therefore$ 항상 실수 (참)

이 ㄷ 풀이에서 생각해 볼 점은

어떤 형태의 복소수든 (복소수)X(켤레복소수) = (실수)라는 점
복잡한 형태의 복소수를 새로운 복소수로 두는 아이디어

두가지가 중요하다고 생각합니다.

특히 고난도 문제에서 복잡한 형태의 복소수를 새로운 복소수로 두고 풀어주면 풀이가 매우 간편해지는 경우가 많습니다.

이번 ㄷ 풀이처럼요!

문제를 그냥 풀기고 답만 채점하기 보다는 문제를 풀고 중요한 생각 아이디어를 하나씩 정리해 나가는 것이 좋아요.

ㄹ.

$\frac{z}{1 + i} + \frac{\overline{z}}{1 - i} = \frac{(a + bi)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} + \frac{(a - bi)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}$
$= \frac{a - ai + b + bi}{2} + \frac{a + ai - b + bi}{2}$
$= \frac{2a + 2b}{2} = a + b \Rightarrow$ 항상 실수

$\therefore$ $a, b$의 값에 상관없이 항상 실수 (참)

이렇게 계산을 이용해 생각해 볼 수 있지만"$z + \overline{z} = $ 실수"라는 개념을 이용해 추가 설명을 해보도록 할께요.

ㄹ. 추가 설명

$\overline{\left( \frac{z}{1 + i} \right)} = \frac{\overline{z}}{1 + i} = \frac{\overline{z}}{1 - i}$

두 복소수가 서로 켤레관계입니다.

켤레관계의 두 복소수의 합을 묻고 있으므로 실수라는 것을 바로 알 수 있습니다.

$ \alpha = \frac{z}{1 + i}$ 라 하면,
$\overline{\alpha} = \frac{\overline{z}}{1 - i} $
$\frac{z}{1 + i} + \frac{\overline{z}}{1 - i} = \alpha + \overline{\alpha} = \text{실수}$

개념원리 91p 확인체크 166

ㄱ.

$z^2 - z$ 가 실수이므로, 실수를 켤례시켜도 그대로 실수입니다. 바뀌는 부호가 없으니 둘의 값도 같겠죠!
$z^2 - \overline{z} = \overline{z^2} - z = \text{실수}$

$\therefore$ 참

ㄴ.

$z + \overline{z} = 2a$ 인데 구체적인 값을 제시하였으니 귀찮되더라도 $z^2 - z$ 가 실수이기 위한 조건을 생각해 봅시다.

$z^2 - z $
$= (a + bi)^2 - (a + bi) $
$= a^2 + 2abi - b^2 - a - bi$
$= (a^2 - b^2 - a) + (2ab - b)i$
실수이기 위해 허수부분은 0이여야 합니다.

$2ab - b = 0$
$b(2a - 1) = 0 $
$b=0$ 또는 $a= \frac{1}{2}$
$a,b$가 0이아닌 실수라 하였으므로 $a= \frac{1}{2}$

그렇다면, $z + \overline{z} = 2a = 1$

$\therefore$ 참

ㄷ.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = \frac{1}{4} + b^2 $

$b^2$은 0이 아닌 '실수' 이므로 항상 0보다 크거나 같습니다.

$b^2$>0

$ \frac{1}{4} + b^2 $ > $ \frac{1}{4}$

$\therefore$ 참

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 2. 방정식과 부등식 - 복소수 개념정리 2

단디 티쳐 — Tue, 18 Feb 2025 10:00:55 +0900

2단원 - 1. 복소수

복소수의 사칙연산은 실수와 허수 부분을 구분하여 계산하는 것이 핵심입니다. 덧셈과 뺄셈은 실수끼리, 허수끼리 계산하고, 곱셈은 다항식 전개처럼 진행하면 됩니다. 나눗셈에서는 분모의 허수를 없애기 위해 켤레 복소수를 활용하여 실수화하는 과정이 필요합니다. 또한, 복소수 연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 적용되므로 이를 이해하면 계산 속도를 높일 수 있습니다. 이번 글에서는 복소수 연산의 개념과 실전 활용법을 쉽게 정리해 보겠습니다.

개념원리 공통수학 1 : 82p~ 87p

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1-1. 복소수의 사칙 연산

◎덧셈, 뺄셈

$(3+2x) + (5+7x) = (3+5) + (2+7)x$ 계산과 같이

복소수의 덧셈, 뺄셈은 허수단위 $i$를 문자처럼 생각하면 편합니다.

실수부분은 실수끼리, 허수부분은 허수끼리 계산합니다.

a,b,c,d가 실수일 때

덧셈 : $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$
뺄셈 : $(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$

◎ 곱셈

복소수의 곱셈에서도 다항식의 계산처럼 전개해 주시면 됩니다.

복소수의 곱셈에서 새로운 실수부와 새로운 허수부

이 식을 새로운 실수부와 새로운 허수부가 만들어지는 과정에 초점을 두면
무지개 모양으로의 전개는 새로운 허수부를 만들고
퐁당퐁당 전개는 새로운 실수부를 만든다는 것을 알 수 있습니다.
( 무지개, 퐁당퐁당 너무 유치한가요 ,, ㅎ 유치해도 잘 기억해주세요..ㅎ)

복소수의 곱셈에서 새로운 실수부와 새로운 허수부가 만들어 지는 과정

이제는 복소수의 곱셈에서 굳이 하나하나 전개하지 말고 바로 결과를 쓸 수 있도록 연습합시다.

복소수의 곱셈 계산

무지개와 퐁당퐁당을 그려주고 더하여 결과를 적어줍니다.
이렇게 계수들만 적고 합을 우변에 적어주니 계산실수도 줄고 빨라지더라구요!
처음에는 무지개와 퐁당퐁당을 그려가며 연습해주세요.
나중에는 바로 2,-3,-1 이런식으로 바로바로 계산이 될 것입니다.

◎ 나눗셈

분모에 허수가 있는 경우 켤레 복소수를 분모, 분자에 곱하여 분모를 실수화합니다.
$\sqrt{}$를 배울 때, 유리화하던 과정과 비슷합니다.

분모에 루트가 있는 경우 분모를 유리화 하는 과정

유리화 하는 과정에서 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 공식을 이용해 유리화 해주었습니다.
이와 같이 분모에 허수가 있는 경우도 마찬가지로 이 원리를 이용해 줍니다.

분모에 허수i가 있는 경우 분모를 실수화 하는 과정

괄호를 꼭 적어줘야 합니다. 괄호를 정확히 안 적으면 학교 서술형에서도 감점이 될 수 있습니다.

개념 6. 복소수의 사칙 연산

○ 덧셈 : $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$

○ 뺄셈 : $(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$

○ 곱셈 : $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
▶▷( 새로운 실수부 : $ac - bd$, 새로운 허수부 : $ad + bc$)

○ 나눗셈 (실수화) : $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi) \times (c - di)}{(c + di) \times (c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i \quad (\text{단}, c + di \neq 0)$

★주의★
괄호 쓰는 습관

◎ 복소수의 사칙 연산에 대한 성질

세 복소수 $z_1, z_2, z_3$에 대하여

교환법칙
$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$, $z_1 z_2 = z_2 z_1$
결합법칙
$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$, $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$
분배법칙
$z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3$, $(z_1 + z_2) z_3 = z_1 z_3 + z_2 z_3$

다항식 성질과 같아 복소수 계산도 아마 금방 익숙해질 것입니다!

1-2. 켤레 복소수의 성질

켤레 복소수 성질들을 하나씩 보면서 증명해 보도록 할께요. 정말 자주 쓰이고 (제 기준) 중요한 것들로만 구성하려고 했으니 문제를 풀기 전에 아래의 성질은 꼭 따라 써보고 들어가도록 합시다.

(1) $\overline{z} = z$
$z = a + bi$ 라 하면 $\overline{z} = (a - bi) = a + bi = z$

(2) $z$= 실수 $ \iff z = \overline{z}$= 실수
$z = a$ (실수) 이면 허수가 없으므로 $\overline{z} = a$ (실수)

(3) $\overline{z} = -z \iff z$는 순허수 또는 0
$\overline{z} = -z$ 가 성립한다는 것은
$a - bi = -(a + bi)$
$a - bi = -a - bi$
$2a = 0$
∴ $a = 0$ 이면 $\overline{z} = -z$ 성립한다는 것이고 $b$에 대한 조건은 없음
→ $a = 0$ 이면서 $b = 0$ 이면 $z = 0$
→ $a = 0$ 이면서 $b \neq 0$ 이면 $z = bi$ (순허수)

(4) $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ 라 하면
$z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
$\overline{z_1 + z_2} = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i$
합쳐서 한 번에 항의 부호를 바꿔주나, 따로 i항의 부호를 바꿔주고 합쳐주나의 차이라 결국 결론은 같게 됩니다.

(5) $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2}$
$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ 라 하면
$z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i$
$\overline{z_1 z_2} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (bc + ad)i$

새로운 실수부분을 만드는 데에서는 $a \times c + (bc)(di)$ 계산과 $a \times c + (-b)(-d)$ 계산으로 i항 부호변화에 영향을 받지 않습니다.
새로운 허수부분을 만드는 데에서는 $(b \times c) + (a \times d)i$ 계산과 $(-b)(c) + (a)(-d)i$ 계산으로 허수부분의 부호차이만 있게 됩니다.
허수부분의 부호차이만 있으므로 통째로 켤레를 해주면 허수부분의 부호가 같아지면서 $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2}$ 가 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

(4)번과 (5)번을 보면, 결국 켤레 부호 bar는 쪼개서 각각 적용이 가능하다 생각해 주시면 됩니다.

켤레 복소수의 성질 - 켤레부호를 쪼개서 각각 적용이 가능

개념7. 켤레 복소수의 성질
(1) $\overline{z} = z$
(2) $z$= 실수 $ \iff z = \overline{z}$= 실수
(3) $\overline{z} = -z \iff z$는 순허수 또는 0
켤레 복소수의 성질 - 켤레부호를 쪼개서 각각 적용 가능

1-3. 예제 문제

예제문제를 보며 지금까지 배웠던 복소수의 성질을 익혀 보도록 합시다.

개념원리 85p 필수예제 03

복소수의 사칙 연산 예제문제 1

(1)의 경우 괄호를 쓰는 것을 꼭 주의해 주세요.
$ \overline{3+2i} $ 는 켤레를 의미하는 bar(-)로 묶여 있으므로 한 덩어리로 생각해 주셔야 합니다.
(2)의 경우 $(1 + i)^2 = 2i$, $(1 - i)^2 = -2i$ 입니다.
(결론을 외울 필요는 없지만 자주 나오기 때문에 한번 더 언급했습니다. )

복소수의 사칙 연산 예제문제 2

(3)의 경우 괄호 사용이 중요합니다.
$\dfrac{1 + i}{2 + i}$ 를 실수화 하는 과정에서 괄호 없이 $\dfrac{1 + i \times (2 - i)}{2 + i \times (2 - i)}$ 라고 쓰면
분자는 $1 + i \times (2 - i)$ 로 $i$에만 $(2 - i)$가 곱해지게 되고,
분모는 $2 + i \times (2 - i)$ 로 $i$에만 $(2 - i)$가 곱해지게 됩니다.
즉, $(2 + i)$에 통째로 $(2 - i)$를 곱해 주어야 하기 때문에 괄호 쓰는 습관이 중요합니다.
(4) 복소수의 곱셈이 나온 경우 무지개와 꽁당꽁당을 이용해 바로 전개해 주면 됩니다.
학생들이 자주하는 실수 중에 분수에서 약분을 할 때 실수가 많이 나오니 주의해 주세요.

개념원리 86p 필수예제 04

개념 3. 복소수의 분류
복소수의 분류

이 개념을 이용해 문제를 풀어보도록 합시다.

(1)번 문제

복소수라 하였으므로 $a + bi$ 꼴로 정리해 줍니다.
$(x^2 - 2x - 3) + (x^{-1})i$
⇒ 실수부분 $(a) = x^2 - 2x - 3$, 허수부분 $(b) = x^{-1}$

이 복소수가 실수이기 위해 $b = 0$이어야 합니다.
$a$의 경우 0이든 아니든 실수 이므로 상관 없습니다.

$x^{-1} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
∴ $x = \pm 1$

(2)번 문제

복소수라 하였으므로 $a + bi$ 꼴로 정리해 줍니다.
$(x^2 - 5x + 6) + (x^2 + x - 6)i$
⇒ 실수부분 $(a) = x^2 - 5x + 6$, 허수부분 $(b) = x^2 + x - 6$

이 복소수가 순허수이기 위해 $a = 0$, $b \neq 0$이어야 합니다.

① $a = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$
$(x - 2)(x - 3) = 0$
∴ $x = 2$ 또는 $x = 3$

② $b \neq 0$

$x^2 + x - 6 \neq 0$
$(x + 3)(x - 2) \neq 0$
∴ $x \neq -3$ 또는 $x \neq 2$

① 조건을 만족하는 $x$ 값 = $2$ 또는 $3$ 이 중 ② 조건도 만족하는 $x$ 값 = $3$

∴ $x = 3$

개념원리 86p 확인체크 158번

'$z^2$이 음의 실수가 되도록' 이라는 조건이 나왔습니다.

이렇게 모르는 조건이 나왔을 때에는 복수수 $z$에 대해 간단하게 식을 세워두고 문제의 조건을 생각해 보면 됩니다.

$z=b + ci$라 두고 생각해 볼게요 ($a$는 문제에서 쓰여서 $b, c$를 이용하였습니다.)
$z^2 = (b + ci)^2 = b^2 + 2bci - c^2 = (b^2 - c^2) + 2bci$이 음의 실수가 되어야 합니다.

음의 실수이기 위해 $2bci$ 항은 제거되어야 하므로 $bc = 0$ $\Rightarrow b = 0$ 또는 $c = 0$입니다.

$b = 0 이면 $z^2 = -c^2$ ---(1)
$c = 0$ 이면 $z^2 = b^2$ ---(2)

(1)번 꼴 $z^2 = -c^2$이 되어야 합니다.

$c=0$이면 $z^2 = 0$으로 음의 실수가 되지 않기 때문에 $ c \neq 0$ 이여야 합니다.

정리하자면, $z=b + ci$에서 $b = 0, c \neq 0$으로 순허수가 되어야 한다는 것을 의미합니다.

문제의 주어진 복소수 $z = (a^2 - a - 2) + (a^2 - 3a + 2)i$이 순허수가 되기 위해서는

$a^2 - a - 2 = 0$
$(a - 2)(a + 1) = 0$
$\therefore a = -1$ or $a = 2$
$a^2 - 3a + 2 \neq 0$
$(a - 1)(a - 2) \neq 0$
$\therefore a \neq 1, a \neq 2$

두 조건을 모두 만족하는 $a = -1$

문제를 마치며 한번 더 상기해야 할 점은,

"복소수 $z$가 음의 실수" ↔ "$z$는 순허수"

이 조건은 자주 나오는 조건입니다.

왜 순허수여야 하는지, 순허수 이외에 $z$의 음수가 되는 경우는 없다는 확신!
문제에서 모르는 조건이 나온 경우 복수수 $z$에 대해 간단하게 식을 세워두고 문제의 조건을 생각해 보는 것이 중요합니다.

개념원리 87p 필수예제 05

개념 4. 복소수가 서로 같을 조건
$a, b, c, d$가 실수일 때, $a + bi = c + di$이면 $a = c$, $b = d$

지난 글에서 배운내용으로 해결해 보도록 합시다.

실수 $x, y$ 조건! ← 중요★ (지난글 참고)

복소수 $a+bi$ 꼴이 보이게 정리해 줍니다.

(1)번 문제 풀이 :

$(x + y - 2) + (x - y - 4)i = 0 = 0 + 0i$

실수 $x, y$ 조건이 있으므로
$x + y - 2 = 0$, $x - y - 4 = 0$ 이라 결론을 바로 낼 수 있습니다.
둘을 연립해주면 $x = 3$, $y = -1$
$\therefore x = 3, y = -1$

(2)번 문제 풀이 :

$\frac{x (1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} + \frac{y (1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = 1 - 3i$

유리화 할 때는 괄호 쓰는 것을 주의해 주세요.

$\frac{x - xi}{2} + \frac{y + yi}{2} = 1 - 3i$

양변에 $\times 2$

$(x + y) + (-x + y)i = 2 - 6i$

$x, y$는 실수이므로
$x + y = 2$, $-x + y = -6$

둘을 연립해주면
$\therefore x = 4, y = -2$

너무 어렵지는 않았죠? 다음글에서는 조금 더 활용된 문제를 만나보도록 하겠습니다.

1-4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 82p~87p) 백지테스트.pdf

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 78p~81p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 2 - 1. 방정식과 부등식 - 복소수 개념정리 1

단디 티쳐 — Sun, 16 Feb 2025 10:00:41 +0900

2단원 - 1. 복소수

복소수란 무엇일까요? 실수로 해결할 수 없는 수학적 계산을 위해 허수(i)가 도입되었습니다. 복소수는 수학적 계산을 확장하고 다양한 문제를 해결하는 데 필수적인 개념입니다. 이번 글에서는 복소수의 정의, 허수의 개념, 복소수의 분류와 활용법을 쉽게 정리해 보겠습니다. 개념을 정확히 이해하면, 복소수를 활용한 계산이 훨씬 쉬워질 것입니다.

개념원리 공통수학 1 : 78p~ 81p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 허수 도입

중학교 2학년 때 까지만 해도, $x^2 = 2$라는 방정식을 풀 수 없었습니다.
제곱하여 2가 되는 수는 배우지 않았었죠.
하지만 중학교 3학년 때 제곱근, 루트의 도입으로 $x^2 = 2$의 $x$값을 표현할 수 있게 되었습니다.

오늘 배울 내용도 비슷하게 생각할 수 있습니다.

우리는 지금까지 $x^2 = -1$이라는 방정식을 풀 수 없었습니다.
실수안에서는 어떤 수를 제곱하더라도 결과는 항상 0보다 크거나 같기 때문에 $x^2$이 음수가 될 수 없죠.
그래서 새로운 숫자의 개념이 필요해 졌어요. 이렇게 등장한 개념이 바로 허수 입니다.

$\sqrt{}$ 안의 음수를 표현하기 위해 허수 단위 $i = \sqrt{-1}$ 가 도입되면서
$x^2 = -1$ 방정식의 근도 표현이 가능해 졌습니다.
추가로, $x^2 = -1$의 근이므로 $(i)^2 = -1$이라는 것도 알 수 있습니다.

이렇게 $x^2 = -3$의 근도 허수단위 $i$를 이용해 표현이 가능해 집니다.

여기서 주의해야 할 점은,
중학교 3학년 때 제곱근 $\sqrt{}$ 기호는 기본적으로 양수의 값에 적용이 되는 것이라고 배웠기 때문에
$i$를 이용해 정리해 줄 때 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수여야 한다는 것을 주의해 줍시다.

개념 1. 허수의 도입
허수 단위 $i = \sqrt{-1}$, $(i)^2 = -1$

★주의★
◎ $i$를 이용해 정리해 줄 때 , $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수 --- (몇번 개념과 이어짐)
◎ 허수는 대소 비교 불가능 --- (81p 필수예제 01)

예제1)

아래의 내용은 학교 교과서에서 '틀린부분'을 찾는 문제로 많이 출제되는 유형입니다.

$1$ ---(ㄱ)

$= \sqrt{1}$ ---(ㄴ)

$= \sqrt{(-1)(-1)}$ ---(ㄷ)

$= \sqrt{-1} \cdot i$ ---(ㄹ)

$= i^2$ ---(ㅁ)

$= -1$ ---(ㅂ)

그렇다면, $ 1 = -1 $이라는 결론이 나오게 됩니다. 이상하죠 ? 틀린부분은 (ㄹ)입니다.

(ㄹ)의 식을 보면 $\sqrt{}$ 안에 음수 남기면서 $i$로 정리하였는데, $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수여야 하죠? 여기서 오류가 생기면서 $ 1 = -1 $이라는 결론이 나오게 된 것 입니다.

' $i$ 이용해 정리하고 남은 $\sqrt{}$ 안의 수는 양수여야 한다' 는 것을 꼭 생각해주세요!

이렇게 허수를 배우는 이유는 수학적 계산의 필요성상 배워야 하는 것 입니다.

실수 : 세상에 존재하는 숫자
허수 : 세상에 존재하지 않는 숫자

'실'제로 존재하는 '수'를 실수라 하고, '거짓'말을 '허'언이라고 하듯이 '거짓말'인 수를 '허'수라고 이야기 합니다.

이 실수와 허수를 통틀어 우리는 복소수라고 합니다.

< 수의 체계 >

1-2. 복소수의 정의

복소수는 실수 부분과 허수 부분으로 이루어진 수 입니다.

$i$와 곱해지지 않는 부분을 실수부분, $i$와 곱해지는 부분을 허수부분 이라고 합니다.

허수부분은 $bi$가 아니라 $b$ 입니다.

개념 2. 복소수의 정의
$a+bi$ ($a,b$는 실수)
$a$ : 실수 부분, $b$ : 허수부분

예제 : $3 - 7i$의 실수부분과 허수부분을 구하시오.
답 : 실수부분 = $3$, 허수부분 = $-7$
예제 : $6i$
답 : $0 + 6i$ 꼴로 보면, 실수부분 = $0$, 허수부분 = $6$
예제 : $\sqrt{2} - 1$
답 : $(\sqrt{2} - 1) + 0i$ 꼴로 보면, 실수부분 = $\sqrt{2} - 1$, 허수부분 = $0$

개념 3. 복소수의 분류
복소수의 분류

$b=0$ 인 경우, $a$만 남고 이 수는 실수 입니다.
허수 중에서도 $bi$ 항만 있다면, 우리는 순수하게 $i$항만 있다 해서 순허수라고 합니다.
$a+bi$꼴의 복소수는 순허수가 아닌 허수라 합니다.

이렇게 복수수의 분류까지 배워봤는데 새로운 수의 도입이라 어색하고 어렵다 느껴질 수 있지만, 아마 처음에도 제곱근 루트를 쓸때도 그랬을꺼에요. 많이 보다보니 익숙해진 것 처럼 복소수도 얼른 익숙해져 보도록 합시다!

1-3. 예제 문제

몇가지 예제 문제들을 보면서 남은 개념들을 배우고 적용하는 연습을 해보도록 하겠습니다.

80p 개념원리 익히기 148번

개념 4. 복소수가 서로 같을 조건
$a, b, c, d$가 실수일 때, $a + bi = c + di$이면 $a = c$, $b = d$

$a, b, c, d$가 실수일 때만 이런 결론을 내릴 수 있습니다.
$a + bi = 2 + 3i$에서 $a, b$가 실수라는 조건이 없는 경우,
$a = 3i$이고 $b = -2i$도 가능해지고, $a + bi = (3i) + (-2i)i = 3i - 2i^2 = 3i + 2$
$a = 2i$, $b = -2i + 1$도 가능해지기 때문에, $a + bi = (2i) + (-2i + 1)i = 2i - 2i^2 + i = 2 + 3i$
...
따라서 $a$와 $b$의 값은 딱 하나의 값으로 정해지지 않습니다.

즉, 실수 조건에서만 $a + bi = 2 + 3i$에서 $a = 2$, $b = 3$이라는 결론을 낼 수 있게 됩니다.

148번 풀이를 보면서 정리해보도록 할께요.

문제에서 실수 $x,y$라는 조건이 나왔으므로 '개념4. 복소수가 서로 같을 조건'을 사용해 주시면 됩니다.

80p 개념원리 익히기 149번

이전 글에서 $x = 1+\sqrt{3}$과 $y = 1-\sqrt{3}$ 이런 관계가 나오면 비슷하게 생겼다고 켤레 관계라 지칭하며 $x+y, x-y, xy$를 이용해서 계산해라는 내용이 있었는데 기억나시나요?

비슷하게 켤레복소수란 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 입니다. $a+bi$와 $a-bi$가 켤레 관계라고 하는 것이죠.

매번 $a+bi$의 켤레 복소수는 간단하게 기호로 복소수 위에 bar(-)로 표시 해주기로 약속한 것 입니다.

개념 5. 켤레 복소수
허수부분의 부호를 바꾼 복소수
$a+bi$의 켤레 복소수 = $\overline{a+bi} = a - bi$

149번 풀이를 보면서 정리해 보도록 할께요.

추가 설명 :)

복소수 $a+bi$ 를 $z$ 라 하면 $(z = a+bi)$

(2)번과 같이 $z = -5i$ 로 $z$가 순허수의 경우 $z = -\overline{z}$
(4)번과 같이 $z = 1+\sqrt{5}$ 로 $z$가 실수인 경우 $z = \overline{z}$

켤레 복소수 성질에 대해서는 나중에 좀 더 자세하게 다루도록 하겠지만, 이 두가지는 문제에서 많이 사용되는 내용라 먼저 익숙해 지고자 언급했습니다.

(5)번 같은 경우, 켤레 복소수를 구하는 것이 중간부호를 바꾼다고 생각했다면 틀렸겠죠 ?

$i$앞의 허수부분의 부호를 바꿔줘야 합니다. 실수하지 않도록 주의 합시다 !

81p 필수예제 01

개념 1. 허수의 도입
허수 단위 $i = \sqrt{-1}$, $(i)^2 = -1$

★주의★
◎ $i$를 이용해 정리해 줄 때 , $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수 --- (몇번 개념과 이어짐)
◎ 허수는 대소 비교 불가능 --- (81p 필수예제 01)

위의 개념1에서 언급했던 '허수는 대소 비교 불가능' 이라는 내용에 대해 설명하도록 하겠습니다.

대소 비교는 수직선상의 순서 관계를 기반으로 정의되는데

수직선상에는 실수만 표현 할 수 있고 허수는 실수의 범위 밖에서 정의된 수이기 때문에 표현이 불가능합니다.

이렇게만 알아두셔도 되고 아래의 내용은 참고로만 읽어봐 주세요.

<참고>
만약 대소를 비교가 가능하다고 하면 허수단위 $i$에 대하여 $i>0$, $i=0$, $i<0$ 중 어느 하나가 여야 하는데,
(i) $i>0$이면 $i\times i > i \times 0 ;\therefore -1>0$ 성립하지 않음
(ii) $i=0$이면 $i\times i = i \times 0 ;\therefore -1=0$ 성립하지 않음
(iii) $i<0$이면 (음수 곱하면 부등호 방향 바뀜) $i\times i > i \times 0 ;\therefore -1>0$ 성립하지 않음
즉, $i$는 양수도 아니고, 음수도 아니고, $0$도 아니므로 실수와 대소비교 또는 허수끼리 대소비교가 불가능하게 되는 것입니다.

① $-5i < 0 ;\rightarrow;$ 허수는 대소 비교 불가
② $\sqrt{9} = 3$은 복소수이다. $;\rightarrow;$ 실수는 복소수 $(a+bi$ 에서 $a=3,b=0)$
③ $6i > 3i ;\rightarrow;$ 허수는 대소 비교 불가
④ $x^2 = -1$이면 $x = \pm i$ 둘 다 언급해야함!
⑤ $3-i$의 실수 부분 $=3$, 허수 부분 $=-1$

$\therefore ;$ 옳은 것은 ②

학생들이 많이 실수하는 부분은 $x^2 = A$ → $x = \pm \sqrt{A}$ 입니다.

대부분 +로만 답을 적는데 꼭 +,-로 뽑아주는 습관을 가지도록 합시다.

81p 필수예제 02

개념 3. 복소수의 분류
복소수의 분류

위의 그림을 항상 떠올리며 문제를 풀도록 합시다.

순허수가 아닌 허수이기 위해 $a+bi$ $(a\neq0, b\neq0)$ 꼴

① $-3$: 실수
② $0$: 실수
③ $-5i$: 순허수
④ $1-i$: 순허수가 아닌 허수
⑤ $\sqrt{3}i$: 순허수

$\therefore ;$ 옳은 것은 ④

81p 확인체크 150번

필수예제에서 연습한문제를 이 문제로 정리해 보도록 할께요.

① $i^2 < 0$
허수는 대소 비교 불가라고 바로 X 치고 넘어가면 안됩니다.
$i^2 = -1$ 이므로 주어진 조건을 정리하면 $-1 < 0$ 이므로 참입니다.

이렇게 $i^2 = -1$을 이용해 정리 후 대소 비교를 해주세요. 최종적인 부등식에 $i$가 있어야 대소 비교 불가 입니다.

② $7 + 0i$ 의 허수부분 = 0

③ $-4i$ 는 순허수 ($i$ 항만 있음)

④ $1 + i2$ 는 순허수가 아닌 허수 ($a=1$, $b=1$ 로 $a \neq 0$, $b \neq 0$ 임)

⑤ $a + (b-3)2i$ 는 $b = 3$ 일 때 실수이다.
$a$, $b$가 실수라는 조건이 없으므로 $a = i$, $b = 3$ 인 경우 순허수도 가능해 $b$가 3이라고 무조건 실수인 것은 아닙니다.

이렇기에 개념설명에서 $a+bi$ (a,b는 실수) 라는 조건이 계속 붙었던 것 입니다.

복소수 파트 문제에서는 디테일한 개념을 많이 물어보기 때문에 개념정리를 꼭 한번 하시는 것을 추천드려요.

1-4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 78p~81p) 백지테스트.pdf

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 23. 인수분해 RPM 주요 문제 풀이 2

단디 티쳐 — Fri, 14 Feb 2025 11:49:43 +0900

1단원 - 3. 인수분해

인수분해는 수학 문제 해결의 기본 중 하나로, 개념을 확실히 이해하면 계산 속도와 문제 풀이 능력을 크게 향상시킬 수 있습니다. 이번 RPM 공통수학 1 (39~41p) 인수분해 연습문제에서는 복이차식, 차수 낮은 문자 기준 정리, 공통 인수 묶기, 조립제법 활용 등의 다양한 풀이법을 익힐 수 있습니다. 문제를 풀며 수학적 사고력을 키우고, 실전에서 빠르게 접근할 수 있도록 연습해 봅시다!

RPM 공통수학 1 : 39p ~ 41p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 39p 262번

$a^3 + a^2b - ac^2 + ab^2 + b^3 - bc^2 = 0$

문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a: 3$차, $b: 3$차, $c: 2$차

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준으로 내림차순 정리:

$(-a-b)c^2 + a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 = 0$

상수항의 식이 긴 경우, 상수항도 차수낮은 문자기준 내림차순 정리해줍니다.
상수항의 항이 4개인 경우, 2개 2개 묶어 주는 경우가 많습니다.

$-(a+b)c^2 + a^2(a+b) + b^2(a+b) = 0$

$(a+b)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
$(a+b)(-c^2 + a^2 + b^2) = 0$

삼각형 세 변의 길이: $a > 0, b > 0, c > 0$ 이므로 $a + b \neq 0$
$-c^2 + a^2 + b^2 = 0$

$\therefore a^2 + b^2 = c^2$ (피타고라스)

∴ 빗변의 길이가 $c$인 직각 삼각형

RPM 39p 263번

$b^2 - ba - c^2 + ca = 0$

문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a: 1$차, $b: 2$차, $c: 2$차

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준으로 내림차순 정리:

$-(b - c)a + b^2 - c^2 = 0$

$-(b - c)a + (b - c)(b + c) = 0$

$(b-a)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
$(b - c)(-a + b + c) = 0$

삼각형 세 변의 길이 $a \neq b + c$
삼각형 조건에 의해 한변의 길이가 나머지 두 변의 길이 합 보다 커야 합니다.
$a > b + c$
$b - c = 0$

∴ $b = c$ 인 이등변 삼각형

RPM 40p 270번

풀이1)

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ 이 공식을 이용하여 생각해보면,

$x-y$를 $a$로 보고, $y-z$를 $b$로, $z-x$를 $c$로 보면
$a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = 0$ 입니다.

즉, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 $

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 - 3(x-y)(y-z)(z-x) = 0$ 입니다.

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$로 인수분해가 된다는 것을 바로 알 수 있습니다.

이전글 RPM 38p 257번과 비교해보며 공부하면 더 좋을 것 같아요.

이 풀이는 첫회독을 할 때부터 떠올리기에는 무리가 있을 수 있지만, 연습을 많이하다보면 식을 보는 눈이 생겨 이런 풀이도 가능하다는 참고용이였습니다. 아래의 풀이2번이 정석적인 풀이이니 이런 풀이도 있구나 참고만 해주세요!

풀이2)

전부 전개하면,

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + y^3 - 3y^2z + 3yz^2 - z^3 + z^3 - 3z^2x + 3zx^2 - x^3$

$= -3x^2y + 3xy^2 - 3y^2z + 3yz^2 - 3z^2x + 3zx^2$

문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$x: 2차$, $y: 2차$, $z: 2차$ ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $x$ 기준으로 내림차순 정리

$= -3(x^2y + y^2z + z^2x - xy^2 - yz^2 - zx^2)$ ← $-3$이 공통이므로 한번에 묶음

$= -3((y-z)x^2 - (y^2 - z^2)x + yz(y - z))$ ← 내림차순 정리

$(y - z)$ 공통 묶기
$= -3(y-z)(x^2 - (y + z)x + yz)$
한번 더 인수분해 가능 $= -3(y-z)(z-x)(x-y)$
$= -3(y-z)(z-x)(x-y)$

$=$ $-$ $3(y-z)(x-y)($ $x-z$ $)$ ← $-(x-z)=(z-x)$ 이므로 $= 3(y-z)(x-y)$ $(z-x)$

∴ $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

RPM 40p 271번

$x^3 - x^2 + 3x - 2 = (x+2)P(x) + ax$

$x$에 대한 항등식이므로 좌변과 우변의 식이 같아야 합니다.

(이 문제는 "RPM 41p 276번"과 비교해서 공부하면 좋을 것 같아요.)

문제에서 구하고자 하는 것은 $P(-2)$ 입니다.

그래서 $x=-2$를 대입하게 되면 $P(x)$와 곱해져 있는 $(x+2)$가 0이 되면서 수치대입법을 이용해 $P(-2)$를 구할 수 없게 됩니다. 그렇다면 $P(x)$의 식을 직접 구해야 한다는 결론이 나오게 됩니다.

두가지 풀이로 설명해 보도록 할께요.

풀이1) $P(x)$식 세운 후 계수비교법 이용

좌변이 삼차식이므로 $P(x)$는 이차식입니다.
최고차 계수와 상수항을 고려해 식을 바로 세우면 $P(x) = x^2 + kx - 1$

이후 전개하여 계수 비교법 이용:
$x^3 - x^2 + 3x - 2 = (x+2)(x^2 + kx - 1) + ax$
$= x^3 + kx^2 - x^2 + 2x^2 + 2kx - 2 + ax$
$= x^3 + (k+2)x^2 + (2k + a - 1)x - 2$

$\therefore k + 2 = -1, 2k + a - 1 = 3$
$\therefore k = -3, a = 10$

$P(x) = x^2 - 3x - 1 \quad \therefore P(-2) = 9$

풀이 2) 조립제법 이용

우변의 $ax$를 좌변으로 이항하여 정리해 주면

$x^3 - x^2 + (3-a)x - 2 = (x+2)P(x)$

→ 해석 : $x^3 - x^2 + (3-a)x - 2$는 $(x+2)$로 나누어떨어지고 몫은 $P(x)$

→ 조립제법은 일차식으로 나눈 몫과 나머지 둘다 구할 수 있는 방법이므로 이를 이용하여 줍니다.

$P(x) = x^2 - 3x - 1 \quad \therefore P(-2) = 9$

RPM 41p 273번

두 자연수 $a,b$라 하였으므로 주어진 식을 인수분해 하여 곱꼴로 나타내고,

주어진 수는 소인수 분해하여 양변을 곱꼴로 표현해줄 것입니다.

(주어진식) =

$ab^2 + 2ab + b^2 + a + 2b + 1$

문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.
이후 공통 인수를 묶어 인수분해

$= (b^2 + 2b + 1)a + (b^2 + 2b + 1)$

$= (b^2 + 2b + 1)(a+1)$

$= (b+1)^2(a+1)$

(주어진 수) = $275 = 5^2 \times 11$

즉,

$(b+1)^2(a+1) = 5^2 \times 11$ 이므로

$b = 4, a = 10$

∴ $a-b = 6$

RPM 41p 276번

이 문제는 위에서 "RPM 40p 271번"과 같이 비교해가며 공부하면 좋을 것 같다고 했었죠?

$x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x - 4 = (x-1)(x-2)Q(x)$

주어진 식은 이렇게 정리가 되는데,

구하고자 하는 $Q(-3)$을 위해 양변에 $x = -3$을 대입하여도
$Q(x)$의 식은 사라지지 않게 됩니다.
"RPM 40p 271번"에서는 대입시 $P(x)$가 사라짐 → 직접 식을 구해줘야 함
이문제는 대입해도 $Q(x)$의 식은 사라지지 않음 → 수치대입법으로도 정답을 구할 수 있음

$x = -3$ 대입 시 $81 - 27a + 9b + 12 - 4 = 20Q(-3)$으로
$Q(-3)$의 값을 구하려면 $a, b$ 값만 알면 됩니다.

$a, b$ 값 구하기:

$x = 1$ 대입 시
$1 + a + b - 4 - 4 = 0 \therefore a + b = 7$
$x = 2$ 대입 시
$16 + 8a + 4b - 8 - 4 = 0 \therefore 8a + 4b = -4$

두 식을 연립하면, $a=-8, b=15$

최종 계산 :

$81 - 27a + 9b + 12 - 4 = 20Q(-3)$ ← $a=-8, b=15$ 대입

$216 + 135 + 89 = 20Q(-3)$
$440 = 20Q(-3)$
$\therefore Q(-3) = 22$

추가문제 :) $Q(2)$의 값은?

이 경우 양변에 $x=2$ 대입시 $Q(x)$가 $(x-2)$에의해 사라지기 때문에 위와 같은 과정으로 풀 수 없습니다.

그렇다면, $Q(x)$의 직접적인 식을 구해야 하니 바로 조립제법을 이용해 줍니다.

참고로, 조립제법을 하면서 바로 $a,b$도 구해주는 것!!

굳이 수치대입법을 이용해 $a,b$를 구해주고 조립제법을 할 필요는 없습니다.

$x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x - 4 = (x-1)(x-2)Q(x)$

→ $x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x - 4$를 $(x-1)(x-2)$로 나누었을 때 몫은 $Q(x)$, 나머지는 0

$Q(x) = x^2 - 5x -2 $ 이므로

∴ $Q(2) = -8$

RPM 41p 277번

세 양수 $a,b,c$ 입니다.

주어진 식의 $=0$을 이용하기 위해 인수분해 꼴로 만들어줄 것 입니다.

$ab(a+b) - bc(b+c) + ca(a-c) = 0$

문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.
이후 공통 인수를 묶어 인수분해

$(b+c)a^2 + (b^2-c^2)a - b^2c - bc^2 = 0$
$(b+c)a^2 + (b-c)(b+c)a - bc(b+c) = 0$
$(b+c){a^2 + (b-c)a - bc} = 0$

$(b+c)(a+b)(a-c) = 0$

이때 세 양수 $a,b,c$ 라서 $b+c>0$, $a+b>0$ 이므로 $a-c=0 \therefore a=c$ 라는 결론이 나오게 됩니다.

$a=c$를 $a^2-ac+c^2=4$에 대입하면
$a^2=4$

$a=+2$ or $-2$

$a>0$ 이므로 $a=+2$

$a=c=2$

따라서,

∴ $a^3+c^3=16$

RPM 41p 278번

정육면체의 총 부피는 모든 블럭의 부피의 합이 됩니다.

$\sqrt{5}$와 $\sqrt{2}$가 반복되어 $x, y$라 두면

$A = x^3 \quad \rightarrow 1개$
$B = x^2y \quad \rightarrow 6개$
$C = xy^2 \quad \rightarrow 12개$
$D = y^3 \quad \rightarrow 8개$

정육면체 총 부피

$= 1x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$
$= (x)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3$
$= (x+2y)^3$
$= (\sqrt{5} + 2\sqrt{2})^3$ $= (a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3$

따라서 $a=2$, $b=1$, $a+b=3$

조금 추가로 이야기 해볼만한 것은 블럭의 개수가 1, 6, 12, 8이라는 점을 보면,

이를 $1$, $6 = 3 \cdot 2^1$, $12 = 3 \cdot 2^2$, $8 = 2^3$로 표현할 수 있습니다.

이 구조를 통해 $x$와 $y$를 이용한 다항식인 $(x)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3$의 형태가 자연스럽게 떠오른다면 아주 좋습니다!!!

곱셈 공식과 인수분해 문제를 많이 연습한 학생이라면 이 블럭의 개수를 보고 "많이 본 숫자인데?"라는 생각을 했을 가능성이 높아요. 식을 자꾸 써가며 많은 연습을 한다면, 문제를 빠르게 풀 수 있는 직관을 키우는 데 큰 도움이 될꺼에요 :)

추가 ) - 안읽고 넘어가도 됨

몇몇 학생들이 치환하지 않고 직접 A부피, B부피 등을 계산해주는 방법을 사용하여 풀었는데 답이 나오지 않아 질문을 많이 합니다.

정육면체 총 부피 = 모든 블록의 부피 합 = $(a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3$

$A$ 부피 = $(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$ → 1개
$B$ 부피 = $\sqrt{5} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{2}$ → 6개
$C$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ → 12개
$D$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ → 8개

정육면체의 총 부피 = 모든 블록의 부피 합

= $5\sqrt{5} \times 1 + 5\sqrt{2} \times 6 + 2\sqrt{5} \times 12 + 2\sqrt{2} \times 8$
$= 5\sqrt{5} + 30\sqrt{2} + 24\sqrt{5} + 16\sqrt{2}$
$= 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$

정육면체의 총 부피 = 정육면체의 한 모서리 길이의 세제곱

$(a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3 = 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$

$(a\sqrt{2})^3 + 3(a\sqrt{2})(b\sqrt{5})^2 + 3(a\sqrt{2})^2(b\sqrt{5}) + (b\sqrt{5})^3 = 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$
$2a^3\sqrt{2} + 6a^2b\sqrt{5} + 15ab^2\sqrt{2} + 5b^3\sqrt{5} = 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$

$\sqrt{2}$의 계수와 $\sqrt{5}$의 계수를 비교해주면,

$(2a^3 + 15ab^2) = 46$
$6a^2b + 5b^3 = 29$

이 두 식이 나오게되는데 연립이 어려워 막히게 되는 것이죠.

일단 반복되는 숫자가 있는 경우 문자로 치환해주는 것이 가장 기본적인 풀이입니다.

막힌다면 가장 기본 개념을 생각해보세요.

또한 위에서 언급했듯이 많은 연습을 통해 숫자의 감각을 키우는 것이 가장 좋습니다. 어떤 식으로 풀어야할지 길이 보이게 되니까요! 만약 $(x)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3$ 형태가 떠올랐다면, 굳이 값을 계산하지 않고 바로 식의 꼴이 보이도록 적어줬을 것입니다.

굳이 치환 하지 않고 풀겠다면 , 구조는 보이도록 적어 주셔야 합니다.

$A$ 부피 $= (\sqrt{5})^3 \rightarrow 1 \text{개}$
$B$ 부피 $= \sqrt{5} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 (\sqrt{2}) \rightarrow 6 \text{개}$
$C$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = (\sqrt{5})(\sqrt{2})^2 \rightarrow 12 \text{개}$
$D$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 \rightarrow 8 \text{개}$

총 부피 $= 1 \cdot (\sqrt{5})^3 + 6 \cdot (\sqrt{5})^2 (\sqrt{2}) + 12 \cdot (\sqrt{5})(\sqrt{2})^2 + 8 \cdot (\sqrt{2})^3$
$= (\sqrt{5})^3 + 3 \cdot (\sqrt{5})^2 (2\sqrt{2}) + 3 \cdot (\sqrt{5})(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^3$
$= (\sqrt{5} + 2\sqrt{2})^3$ $= (a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3$

따라서 $a=2$, $b=1$, $a+b=3$

RPM 41p 278번

이제 너무 자주나와서 외워졌을까요?

삼각형이라 $a,b,c$가 양수이기 때문에 $a^3+b^3+c^3=3abc$ 인 경우 $a=b=c$

즉, 정삼각형이라는 결론이 나오게 됩니다.

둘레의 길이가 6이라 하였으므로 한변의 길이는 2 입니다.

$a=2, b=2, c=2$

한변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이 구하는 공식은 생각보다 자주 나오니 공식처럼 암기해 두도록 합시다.

즉, 이 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}(2)^2 = \sqrt{3} $

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 22. 인수분해 RPM 주요 문제 풀이 1

단디 티쳐 — Wed, 12 Feb 2025 10:00:50 +0900

1단원 - 3. 인수분해

인수분해는 공통인수, 복이차식, 조립제법, 곱셈공식 등을 활용하여 다항식을 단순화하는 중요한 개념입니다. 특히, 고등수학에서 인수분해 공식을 정확히 적용하는 능력은 이차방정식 풀이, 다항식 정리, 함수 분석과 같은 다양한 문제 해결에 필수적입니다. 이번 글에서는 RPM 공통수학 1 (34p~39p) 연습문제를 통해 복이차식의 활용, 조립제법을 이용한 인수분해, 특수한 인수분해 공식 등을 단계별로 분석하며 효율적인 풀이법을 제공합니다.

RPM 공통수학 1 : 34p ~ 39p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 34p 224번

$16x^4 + 36x^2y^2 + 81y^4$

$x$의 짝수차수, $y$의 짝수 차수로 이루어져 있으므로 복이차식 풀이를 해줍니다.

복이차식 풀이에서 가장 먼저 생각할 점은 인수분해가 가능한지 불가능한지 판단하는 것 입니다.
인수분해가 불가능해 보이므로 $A^2 - B^2$ 꼴로 만들어주기 위한 후보를 생각해 봅시다.

후보1) $16x^4$ $+ 72x^2y^2$ $+ 81y^4$ $- 36x^2y^2$ $\rightarrow A^2 - B^2$ 꼴 만들기 좋음

후보2) $16x^4$ $- 72x^2y^2$ $+ 81y^4$ $+ 108x^2y^2$

후보1)을 이용하여 풀이를 계속 해줍니다.

$16x^4 + 72x^2y^2 + 81y^4$ $- 36x^2y^2$

$= (4x^2 + 9y^2)^2$ $- (6xy)^2$
$= (4x^2 + 9y^2 - 6xy)(4x^2 + 9y^2 + 6xy)$

$a=6 , b=-6$ 또는 $a=-6 , b=6$ 인데,

결국 $ab$의 값을 구하는 것이기 때문에 둘 중 어느것인지 판단해줄 필요는 없습니다.

∴$a \cdot b = -36$

RPM 35p 235번

$a^4 + 0 \cdot x^2 + 4$ 꼴로 정리하면 복이차식이라는 것을 알 수 있습니다.

바로 인수분해는 불가능하므로 $A^2 - B^2$ 꼴로 만들어주기 위한 후보를 생각해 봅시다.

후보1) $a^4$ $+ 4a^2$ $+ 4$ $- 4a^2$ → $A^2 - B^2$ 꼴 만들기 좋음

후보2) $a^4$ $- 4a^2$ $+ 4$ $+ 4a^2$

후보1)을 이용하여 풀이를 계속 해줍니다.

$a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2$
$= (a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a)$

→ $(a^2 + 2 + 2a)$를 인수로 가지므로

∴ 답 : 5번

RPM 36p 242번

$[a,b,c] = a^2(b-c)$,
$[b,c,a] = b^2(c-a)$,
$[c,a,b] = c^2(a-b)$ 이므로

$[a,b,c] + [b,c,a] + [c,a,b]$

$= a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$
$= a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리:
$= (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-a)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
$= (b-c)\left(a^2 - (b+c)a + bc\right)$
한번 더 인수분해
$= (b-c)(a-b)(a-c)$

인수인 것은

∴ 답 : 1번

RPM 37p 246번

반지름 길이가 $x+a$, 높이가 $x+b$인 원기둥

우변의 식을 좌변의 식처럼 곱꼴로 만들어주기 위해 인수분해를 해줘야 합니다.
문자가 $x$ 1개이고 항은 여러개인 고차식이므로 조립제법을 이용하여 인수분해 해줍니다.

항상 조립제법을 할때는 짝수차 계수합, 홀수차 계수합을 꼭 확인해 주세요!

∴ $a=3, b=4$ 이므로 $a+b = 7$

RPM 37p 248번

주어진 조건 :

$x^2$의 계수가 1인 이차식 $f(x), g(x)$
$f(x) \cdot g(x) = x^4 + 3x^3 - 4x = x(x^3 + 3x^2 - 4)$

이처럼 곱꼴이 주어진 경우 인수개념을 이용해 식을 구할 수 있었죠?

조립제법을 한 후 식을 분할 해주시면 됩니다. ( $ x^3 + 3x^2 - 4 $만 따로 조립제법 해주도록 할께요 :)

①조립제법

② 식의 분할

둘 다 최고차 계수가 1인 이차식이므로 인수를 2개씩 나누어 가져야 함

가능한 모든 경우 case 분류

$\rightarrow x$입장에서는 $(x-1)$과 묶이거나 $(x+2)$와 묶일 수 밖에 없으니 2가지의 case가 나오게 됩니다.

$x(x-1), (x+2)^2$
$x(x+2), (x-1)(x+2)$

$f(-2) > 0$ 조건을 위해 $x = -2$ 을 대입해 보면,

$6, 0$
$0, 0$

이므로 양수의 값을 가지는 것은 $x(x-1)$ 뿐이므로 $f(x) = x(x-1), g(x) = (x+2)^2$ 인 경우 $f(-2) > 0$ 성립

$f(3) = 6, g(2) = 16$ 이므로

∴ $f(3) + g(2) = 22$

RPM 37p 249번

두가지 풀이로 진행해 보도록 하겠습니다.

풀이1:)

" $(x+1)^2$를 인수로 가진다." → 바로 식세우기

$x^3$ $+ ax^2 + bx$ $+ 2$ $= (x+1)^2$ $($ $x$ $+2$ $)$

좌변이 삼차이고 최고차 계수 1, 상수항 2이므로 바로 $x+2$ 식 세우기가 가능합니다.

$x^2$의 계수와 $x$의 계수를 구해야 하므로,

$\therefore a \times b = 4 \times 5 = 20$

풀이2:)

"$(x+1)^2$를 인수로 가진다." → 조립제법 $-1$로 2번 연속 가능, 나머지는 $0$

$1-b+a=0$과 $b-2a+3=0$ 식을 정리하여 연립해 주면 $a=4, b=5$
$\therefore a \times b = 4 \times 5 = 20$

같은 인수를 가진다 조건이라도 어떻게 해석을 하냐에 따라 풀이과정이 달라집니다.

두가지 해석 모두 중요하니 모두 연습해 주도록 합시다!

RPM 37p 250번

자주 나오는 공식이니 알아두도록 합시다.

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$
$x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)$
$\dots$
$x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1)$ ← 일반화 시킨 식

조립제법을 이용하여 이를 증명해보면,

$x^n-1$을 $(x-1)$로 나누었을 때를 조립제법 해보면,

몫의 계수는 계속 1이 나온다는 것을 알 수 있습니다.
그러다 상수항의 $-1$을 만나면 제거되어 나머지 0이 나오게 되는 것이죠.

이처럼 $x^n-1$을 $(x-1)$로 나누었을 때, 몫은 $(x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1)$ , 나머지는 0이 됩니다.

자주 나오는 공식이므로 꼭 알아두도록 합시다.

이제 이 공식을 적용하여 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

풀이1:)

$x^{20} - 1 = (x-1) \cdot (x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1)$ ← 위의 공식 이용

$(x-1)$로 나누었을 때 몫 $ x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 $, 나머지 0

$(x-1)^2$으로 나누었을 때의 나머지를 구해야 하는 것이므로

몫인 $ x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 $을 $(x-1)$로 한 번 더 나눠주면

$x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 = (x-1)Q(x) + R$

$x=1$ 대입: $20 = R$

$x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1 = (x-1)Q(x) + 20$

즉,

$x^{20} - 1$

$= (x-1)($ $x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1$ $)$

$= (x-1)($ $(x-1)Q(x) + 20$ $}$

$= (x-1)^2 Q(x) + 20(x-1)$

$(x-1)^2$로 나누었을 때 나머지 $20x - 20$ ← 나누는 식 차수 $>$ 나머지 차수이므로 성립

$\therefore R(x)= 20x - 20$

풀이2:)

풀이1의 과정은 $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1)$ 공식으로 시작해 준 것이고

풀이2의 과정은 모르는 몫과 나머지를 미지수를 이용해 식을 세워 구하고 공식을 이용해 준 차이 입니다.

어떤식으로 시작을 하느냐에 차이가 있을뿐 풀이1과 같은 과정이라 생각하시면 됩니다.

$x^{20} - 1$을 $(x-1)^2$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $ax + b$ (a, b는 상수)라 하면

$x^{20} - 1 = (x-1)^2 Q(x) + ax + b$

이 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면
$0 = a + b$
$\therefore b = -a$
나머지 : $ax+b = ax - a = a(x-1)$

$x^{20} - 1 $

$= (x-1)^2 Q(x) + a(x-1)$

$= (x-1)$ $((x-1)Q(x) + a)$

이 식은, $x^{20} - 1 = (x-1) \cdot (x^{19} + x^{18} + \dots + x + 1)$ 식과 같으므로
$x^{19} + x^{18} + \cdots + x + 1 = (x-1)Q(x) + a$ 입니다.

$x^{19} + x^{18} + \cdots + x + 1 = (x-1)Q(x) + a$

이 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면

$a = 20$ → $b = -20$

$\therefore R(x) = ax + b = 20x - 20$

RPM 38p 252번

$z = 1 - xy$을 이용하여 주어진 식의 문자를 줄여줍니다.

$2xy - x^2y - xy^2 - xy$ $z$

$2xy - x^2y - xy^2 - xy$ $(1 - xy)$

문자 여러 개, 항 여러 개 $\rightarrow$ 차수 낮은 문자 기준 내림차순 정리

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$x: 2차$, $y: 2차$ ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $x$ 기준으로 내림차순 정리:

$=(-y + y^2)x^2 + (y - y^2)x$

$(-y + y^2)$ 공통 묶기
$= (y^2 - y)(x^2 - x)$
한번 더 인수분해 가능
$= y(y - 1)(x)(x - 1)$
$= x \cdot y \cdot (x - 1)(y - 1)$

주어진 식 $= x \cdot y \cdot (x - 1)(y - 1)$ 이라는 결론이 나오나,

정답이 없으므로 $z = 1 - xy$를 한번 더 이용하여 주어진 식을 $x, y, z$에 대한 식이 되도록 정리해 줍니다.

$ x \cdot y \cdot (x - 1)(y - 1)$

$= (1 - z)(x - 1)(y - 1)$ ← $xy = 1 - z$ 대입

$= (1 - z)( - (1 - x))( - (1 - y))$ ← $ (x - 1) = - (1-x)$ , $(y-1) = - (1-y)$ 로 바꿔 답이 보이도록 정리

$= (1 - z)(1 - x)(1 - y)$

∴ 정답 : 3번

RPM 38p 255번

$x = 2 + \sqrt{3}, , y = 2 - \sqrt{3} \rightarrow$ 켤레관계 주어졌습니다.

이런경우 합, 차, 곱을 이용해 줍니다.

$x + y = 4$, $x - y = 2\sqrt{3}$, $xy = 1$ 이 세가지 식을 사용할 준비를 하셔야 합니다!

$\rightarrow x+y, x-y, xy$ 보이도록 식 정리

$x^4 - x^3y - xy^3 + y^4$

$= x^3(x-y) - y^3(x-y)$

$= (x-y)(x^3-y^3)$

$= (x-y)((x-y)^3 + 3xy(x-y))$ ← $x - y = 2\sqrt{3}$, $xy = 1$ 이므로

$= (2\sqrt{3})((2\sqrt{3})^3 + 3 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3})$

$= 2\sqrt{3} \cdot (24\sqrt{3} + 6\sqrt{3})$

$= 60 \cdot 3 = 180$

∴ 180

RPM 38p 257번

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz + zx)$ 공식에서

$x+y+z = 0$ 이므로 우변이 전부 0이 됩니다.

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$

$\therefore x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$

최종계산 :)

$\frac{5xyz}{x^3 + y^3 + z^3} = \frac{5xyz}{3xyz} = \frac{5}{3}$

∴ $\frac{5}{3}$

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$ 이라는 조건 대신, $x+y+z = 0$이라는 조건을 주면서 조건을 살짝 돌려 말한 것입니다.

공식을 바로 떠올릴 수 있어야합니다.!!

RPM 39p 259번

주어진 식을 두 항씩 묶어 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 공식을 이용해 줍니다.

그러면 수가 $2$ 차이씩 나기 때문에 $2$가 공통되어 나오게 되고 이를 묶어 계산하면 편리해 집니다.

$(15^2 - 13^2) + (11^2 - 9^2) + (7^2 - 5^2) + (3^2 - 1^2)$

$= (15-13)(15+13) + (11-9)(11+9) + (7-5)(7+5) + (3-1)(3+1)$

$= 2 \cdot 28 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 4$

$= 2 \cdot (28 + 20 + 12 + 4)$

$= 2 \cdot 64$

$= 128$

∴ 128

RPM 39p 260번

$f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2$이 주어져있고, $f(11)$의 값을 구하는 것이 목표입니다.

그냥 대입하여 계산하기에는 계산과정이 복잡하기 때문에 인수분해를 하여 식을 정리해 준 후 대입해 줄 것입니다.

$f(x)$의 식이 항은 여러개, 문자는 1개인 고차식이므로 조립제법을 이용하여 인수분해 해줍니다.

여기서, "개념원리 74p 연습문제 141번" 문제의 설명을 참고하여 생각해보면,

10의 배수가 계산이 편리하기 때문에 $11$에 $-1$을 해주면 계산이 편리해지겠죠?
$11=x$라 하면, 원하는 식은 $(x-1)$을 인수로 가지는 식이므로
조립제법의 후보가 1이 되지 않을까? 추측을 해보고 들어갈 수 있습니다.
혹시나 1을 조립제법 해봤는데 아니라면, 조립제법 후보를 확인해 주시면 됩니다.

조립제법을 할때에 가장 먼저 생각해야할 점 : 짝수차 계수합과 홀수차 계수 합 확인

조립제법의 결과를 쓰면 $f(x) = (x-1)^3(x+2)$ 이므로

$f(11) = 10^3 \cdot (13) = 13000$

∴ 13000

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 21. 인수분해 연습문제 step3 풀이

단디 티쳐 — Mon, 10 Feb 2025 10:00:13 +0900

1 - 3. 인수분해 연습문제 step3

인수분해는 수학에서 다항식을 보다 단순한 곱의 형태로 변환하는 중요한 과정입니다. 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1(75p)의 연습문제 Step 3을 통해 이차다항식의 인수 개념, 조립제법을 활용한 인수분해, 수의 계산에서 치환을 활용하는 방법 등을 학습합니다. 특히 고차식을 조립제법으로 해결하는 과정, 삼각형의 변 길이를 활용한 응용 문제 등을 다루며, 실전에서 자주 등장하는 유형을 꼼꼼히 분석해 봅니다. 수능 및 내신 대비를 위해 핵심 개념과 문제 풀이 전략을 체계적으로 정리하여 빠르고 정확한 해결 방법을 익힐 수 있도록 합시다.

개념원리 공통수학 1 : 75p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

개념원리 74p 연습문제 144번

이 문제에는 조금 오류가 있어서 찾아봤더니 개념원리 정오표에 오류가 언급되어 있었습니다.

정오표_고등_개념원리 공통수학1.pdf

(이전글 72p 확인체크 130번과 조건이 같습니다.)

수정 전 : 모든 실수 $x$에 대하여 두 이차다항식 $P(x), Q(x)$가 ~

수정 후 : 최고차항의 계수가 양수인 두 이차다항식 $P(x), Q(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여

최고차항의 계수가 양수라는 조건이 추가되서 나오게 되죠 ?

수정 전 문제를 풀이하면서 오류에 대해 설명해 보도록 하고 수정 후 문제풀이도 하도록 하겠습니다.

수정 전 문제 풀이

두 이차다항식 $P(x), Q(x)$ → $P(x), Q(x)$ 구체적인 정보가 나왔으므로 식세울 준비

식을 직접 세우든 세우지 않던 꼭 생각해 주도록 합시다.

(가)와 (나) 조건을 이용해 ★ $P(x)Q(x)$ 곱꼴을 구해주면 인수개념을 이용해 식을 구할 수 있습니다. ★

곱꼴을 알면 인수개념을 이용해 식을 구하는 과정은 자주나오는 개념이니 꼭 기억하도록 합시다.

$(P(x))^2 + (Q(x))^2 = (P(x) - Q(x))^2 + 2P(x)Q(x)$

$2x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 18 = (6)^2 + 2P(x)Q(x)$

$\therefore 2P(x)Q(x) = 2x^4 + 8x^3 + 8x^2 - 18$

$P(x)Q(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 9$

주어진 다항식이 고차식이므로 조립제법을 활용해 인수분해를 진행합니다.

조립제법을 해줄때 생각흐름 ( 1-4. 인수정리를 이용한 인수분해 내용을 참고해주세요.)
1. 짝수차 계수합과 홀수차 계수합 확인 → 조립제법 후보 1 또는 -1
2. 조립제법 후보 확인

∴ $P(x) \cdot Q(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 9 = (x-1)(x+3)(x^2 + 2x + 3)$

$x^2 + 2x + 3$은 더 이상 인수분해가 되지 않으므로,
$P(x)$와 $Q(x)$가 각각 이차식이 되기 위해서는 $(x-1)$과 $(x+3)$이 함께 묶여야 합니다.
즉, $P(x)$가 $(x-1)$만 인수로 가져가고 $Q(x)$가 $(x+3)(x^2 + 2x + 3)$를 가져가는 식의 분할은 불가능하다는 뜻입니다.

그렇다면 가능한 식의 분할을 생각해보면 단순히 이차라고만 하였으므로, cf) $(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$

$P(x) = x^2 + 2x - 3$, $Q(x) = x^2 + 2x + 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = -6$
$P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = 6$
$P(x) = -(x^2 + 2x - 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x + 3)$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = 6$
$P(x) = -(x^2 + 2x + 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x - 3)$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = -6$

후보는 4가지이지만, (가) 조건에서 $P(x) - Q(x) = 6$이므로

$P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ 과 $P(x) = -(x^2 + 2x - 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x + 3)$ 두가지의 후보가 가능해 집니다.

$P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ 인 경우
$P(-1) = 2$, $Q(2) = 5$이므로 $P(-1) - Q(2) = -3$
$P(x) = -(x^2 + 2x - 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x + 3)$인 경우
$P(-1) = 4$, $Q(2) = -11$이므로 $P(-1) - Q(2) = 15$

이렇게 답이 2가지가 나오기 때문에 오류인 것 입니다.

많은 학생들이 식을 분할할때 최고차 계수가 음수가 되는 것은 고려려하지 않는데, 심화문제나 내신문제에서는 이러한 것을 노려 학생들이 실수하도록 합니다.

$\therefore 수정 전 답 : -3 또는 15 $

수정 후 문제풀이

∴ $P(x) \cdot Q(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 9 = (x-1)(x+3)(x^2 + 2x + 3)$

여기까지의 과정은 동일 합니다.

식을 분할하는 과정에서 최고차항의 계수가 양수인 두 이차다항식 $P(x), Q(x)$ 이므로 가능한 식의 분할은

$P(x) = x^2 + 2x - 3$, $Q(x) = x^2 + 2x + 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = -6$
$P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = 6$

두가지의 후보가 나오게 됩니다. (가) 조건에서 $P(x) - Q(x) = 6$이므로 $P(x) = x^2 + 2x - 3$, $Q(x) = x^2 + 2x + 3$ 인것을 알 수 있습니다.

$P(-1) = 2$, $Q(2) = 5$이므로 $P(-1) - Q(2) = -3$

$\therefore 수정 후 답 : -3 $

개념원리 74p 연습문제 145번

우변의 식을 보면 , $a \times b \times c \times d$ 로 곱꼴로 정리되어 있으므로 좌변의 식을 인수분해 하여 곱꼴로 정리해 줍니다.

수의 계산에서는 반복되는 수를 $x$로 치환하여 정리해주면 편리하다는거 기억하죠 ?

$14 = x$로 치환하여 정리해 줍니다.

$(x^2 + 2x)^2 - 18(x^2 + 2x) + 45$

$(x^2 + 2x)$ ----------- $-15$

$(x^2 + 2x)$ ----------- $-3$

$= (x^2 + 2x - 15)(x^2 + 2x - 3)$ ← 한 번 더 인수분해 가능

$= (x-3)(x+5)(x+3)(x-1)$

$x = 14$ 대입

$= (11)(19)(17)(13)$ = $a \times b \times c \times d$

정확하게 어떤 값이 $a,b,c,d$인지 구할 수는 없으니 문제에서 합을 구하라고 한 것입니다. 어떤 문자가 어떤 수인지는 중요하지 않은 거죠.

$\therefore a+b+c+d = 60$

개념원리 74p 연습문제 145번

식을 정리하는 과정이 복잡하지만 차근차근 한줄씩 이해하면서 따라오도록 해봅시다.

주어진 식을 $f(x)$라 하면 $(x-c)$로 나누었을 때 나누어떨어진다 하였으므로 나머지 $0$
→ $f(x) = (x-c)Q(x) + 0$ $\rightarrow f(c) = 0$

$c^3 - (a+b)c^2$ $- (a^2+b^2)c$ $+ a^3 + b^3 + ab(a+b)$ $= 0$

항 여러개, 문자 여러개 유형에서 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줘야 하는데,
모든 문자의 최고차가 3차이고 , 이미 $c$ 기준 내림차순 정리 되어있습니다.
이렇게 내림차순 정리를 했을 때 3차식이 나온경우 3차와 2차가 묶이고 1차와 상수가 묶이는 경우가 많습니다.

$c^3 - (a+b)c^2$ $- ((a+b)^2 - 2ab)c$ $ + \left( (a+b)^3 - 3ab(a+b) \right) + ab(a+b) $ $= 0$

$c^2(c-a-b)$ $- (a+b)^2c + 2abc$ $+ (a+b)^3 - 2ab(a+b)$ $= 0$

↑ $c$에 대한 3차와 2차가 묶였습니다.

$c^2(c-a-b)$ $- (a+b)^2(c-(a+b)) + 2ab(c-(a+b))$ $= 0$

남은 1차와 상수항이 묶였습니다. ↑
그러면 공통 $(c-a-b)$이 생기게 됩니다. 이를 묶고 정리해 줍니다.

$(c-a-b){c^2 - (a+b)^2 + 2ab} = 0$

$(c-a-b)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$

$c-a-b = 0 \rightarrow$ 삼각형 세 변의 길이가 이 조건 만족할 수 없음
$\therefore c^2 - a^2 - b^2 = 0$
$\rightarrow c^2 = a^2 + b^2 ;$ 빗변의 길이 $c$인 직각 삼각형

삼각형이 되기 위한 조건

삼각형 세변이 $a,b,c$인 경우 삼각형이 되기 위한 조건은

세변이 모두 양수여야 함 a>0, b>0, c>0
가장 긴 변의 길이 < 나머지 두변의 길이 합

이 개념을 바탕으로 (가장 긴변의 길이를 $c$라 하면)

둔각 삼각형이 되기 위한 조건 : $c^2 > a^2 + b^2$ 추가됨
직각 삼각형이 되기 위한 조건 : $c^2 = a^2 + b^2$ 추가됨
예각 삼각형이 되기 위한 조건 : $c^2 < a^2 + b^2$ 추가됨

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공통수학 1 - 1 - 20. 인수분해 연습문제 step 1&2풀이

단디 티쳐 — Sat, 8 Feb 2025 10:00:37 +0900

1단원 - 3. 인수분해

인수분해는 다항식을 보다 단순한 형태로 변형하여 문제 해결을 쉽게 하는 핵심 개념입니다. 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1(73p~75p)의 연습문제 풀이를 통해 조립제법, 치환법, 공통인수 묶기, 고차식의 인수분해, 완전제곱식 활용 등 다양한 유형을 학습합니다. 특히 $(x+1)^2$을 인수로 가지는 다항식의 조립제법 적용, 문자 여러 개가 포함된 인수분해, 삼각형의 변 길이를 활용한 문제 해결법, 직육면체의 부피를 이용한 응용문제 등을 집중적으로 다룹니다. 수능과 내신 대비를 위해 필요한 핵심 풀이법과 전략을 체계적으로 정리하여 빠르고 정확한 문제 해결 능력을 키울 수 있도록 돕겠습니다.

개념원리 공통수학 1 : 73p ~ 75p

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개념원리 74p 연습문제 136번

$f(x)$가 $(x+1)^2$을 인수로 가진다. → $ -1 $로 연달아 2번 조립제법 가능

$f(x) = (x+1)^2 A(x)$
$f(x) = (x+1) \cdot (x+1)A(x)$

이렇게 정리해서 보면,
$f(x)$를 $(x+1)$로 나누었을 때 몫은 $(x+1)A(x)$, 나머지 $= 0$입니다.

(몫) $= (x+1)A(x)$

이 식을 한 번 더 해석하면,
몫을 $(x+1)$로 나누었을 때, 새로운 몫 $ A(x)$ 나머지가 $0$이 됩니다.

몫으로 나온 식을 한번 더 $(x+1)$로 한번 더 나누는 것이기 때문에 조립제법을 연달아 해주는 것 입니다.

조립제법을 해주는데 결국 인수분해 하는 것이 목적이므로 이후 두가지 방법 중 하나의 방법으로 진행해 주시면 됩니다.

방법1) $-1$을 두번 조립제법하고 해석하여 끝까지 인수분해 해줌

방법2) 한번에 끝까지 조립제법을 해서 한번에 해석

개념원리 74p 연습문제 137번

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + k$

괄호가 4개이므로 공통부분이 보이도록 두 개씩 묶어 전개해 줍니다.
상수항 합이 $x$의 계수를 결정 $\rightarrow -1 - 7 = -3 - 5$이므로
$(x-1)$과 $(x-7)$, $(x-3)$과 $(x-5)$끼리 묶어 먼저 전개합니다.

$= (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + k$

$(x^2 - 8x)$이 반복되므로 A로 치환하여 정리해 주셔도 되고 굳이 치환없이 한덩어리로 묶어서만 생각해주셔도 됩니다.

$105 + k = 11^2$이 되어야 완전제곱식으로 인수분해 됩니다.

$105 + k = 11^2 = 121$

∴$\therefore k = 16$

개념원리 74p 연습문제 138번

문자여러개, 항 여러개 이므로 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리해 줍니다.

주어진 식을 $x$에 대한 내림차순 정리해 주면,

$x^2 + (ky+1)x - 3y^2 + 11y - 6$

$= x^2 + (ky+1)x - (3y^2 - 11y + 6)$

$= x^2 + (ky+1)x - (3y-2)(y-3)$

이후 인수분해하는 과정을 해줄껀데,
$x$의 계수 $ky+1$에서 1이 주어져 있으니 이를 고려하여 인수분해 조합을 생각해 줘야 합니다.

이렇게 인수분해 해주게되면 1이 맞춰지므로, $k=2$가 됩니다.

끝까지 인수분해를 해보면

$= (x + (3y - 2))(x - (y - 3))$

$= (x + 3y - 2)(x - y + 3)$

∴ $\therefore k=2$

개념원리 74p 연습문제 139번

식이 분수로 되어있고 복잡하므로 분자 먼저 따로 정리해 보도록 할께요.

(분자)

= $(b-a)c^2 + (c-b)a^2 + (a-c)b^2$

$= bc^2 - ac^2 + ca^2 - ba^2 + ab^2 - cb^2$

문자 여러개, 항 여러개 이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리:

$= -(b-c)a^2 + (b^2-c^2)a + bc^2 - cb^2$

공통부분 보이도록 정리 후 묶어주기
$= -(b-c)a^2 + (b-c)(b+c)a - bc(b-c)$
$= -(b-c){a^2 - (b+c)a + bc}$
한번 더 인수분해
$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$ 이므로
$= -(b-c)(a-b)(a-c)$

$\therefore (분자) = -(b-c)(a-b)(a-c)$

(주어진 식)

$= \frac{-(b-c)(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$ ← $-(a-c) = (c-a)$

$= 1$

∴1

개념원리 74p 연습문제 140번

많이 봤던 식이라 바로 결론을 낼 수 있을거라 생각합니다!

★ ★ ★

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$

→ 세 양수 $a, b, c$ 이므로 $a = b = c$

$a+b+c-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}$

$= a+a+a-\frac{a^2}{a}-\frac{a^2}{a}-\frac{a^2}{a}$

$= 0$

$\therefore 주어진식=0$

혹시 몰라 한번 더 언급해두도록 하겠습니다.

$ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$

세 양수 $a, b, c$ 이므로 $a+b+c \neq 0$ 입니다.

즉, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$

$ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$

$\therefore a = b = c$

세 양수 $a, b, c$ 조건이 있기 때문에 바로 성립하는 것이지 무조건 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ 가 나온다고 $a = b = c$는 아니니 꼭 주의 하도록 합시다. 세 양수 조건이 없는 경우 $ a+b+c$가 0일 수 도 있습니다!

개념원리 74p 연습문제 141번

$ f(x) = x^3 + 4x^2 - 28x + 32 $

$ 82^3 $ 등을 계산하기 힘드므로 인수분해하여 정리 후 계산해 줍니다.

문자는 1개인데, 항은 여러개인 고차식이므로 조립제법을 이용해 인수분해 해줍니다.

조립제법 인수분해 할 때를 한번 더 정리해 보자면, 짝수차 계수의 합과 홀수차 계수의 합을 꼭 먼저 봐주고

(짝수차 계수 합)+(홀수차 계수 합)=(모든계수합)=0 인경우 조립제법 후보 : 1
(짝수차 계수 합)=(홀수차 계수 합)인 경우 조립제법 후보 : -1

이후 해당 되는 것이 없다면 조립제법 후보 = $ \pm \frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차 계수의 약수}} $ 를 고려해 줍니다.

본론으로 돌아가서, 조립제법을 해석한 식을 써주면

$ f(x) = (x-2)^2(x+8) $

$ \rightarrow f(82) = (80)^2(90) = 64 \times 9 \times 10^3 = 5760000 $

즉, 각자리 숫자의 합 = $ 5 + 7 + 6 + 0 + 0 + 0 = 18 $

∴18

여기서 10의 배수 단위로 계산하면 수의 계산이 훨씬 간단해진다는 점을 알 수 있습니다.

조립제법을 활용할 때, 작은 팁을 드리자면, 주어진 수를 10의 배수에 가까운 값으로 만들 수 있는 후보를 먼저 생각해보는 것입니다.

예를 들어, 82를 계산할 때, 10의 배수에 가까운 값으로 만들기 위해 $-2$를 더하면 계산이 단순해지므로 $82=x$라 한다면 $(x-2)$가 조립제법의 한 후보가 될 가능성을 염두에 두고 문제를 시작해보세요. 이런 작은 생각이 문제 해결에 큰 도움이 될 수 있습니다.

개념원리 75p 연습문제 143번

전체 직육면체의 부피에서 한모서리 길이가 1인 정육면체 2개의 부피를 빼주시면 됩니다.

(전체 직육면체의 부피) - 2(한모서리 길이 1인 정육면체 부피)

$= x \cdot x \cdot (x+3) - 2(1)^3 $
$ = x^3 + 3x^2 - 2 $

문자가 1 개이고 항이 여러개인 "고차식" 이므로 조립제법을 이용하여 인수분해 합니다.

★ 항상 짝수차 계수합 , 홀수차 계수합을 확인 해주도록 합시다

조립제법 해석 :

$ (x+1)(x^2+2x-2) $

$ a=1, \quad b=2, \quad c=-2 $

∴ $ a \times b \times c = -4 $

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공통수학 1 - 1 - 19. 인수분해 확인체크 주요 문항 정리

단디 티쳐 — Thu, 6 Feb 2025 10:00:00 +0900

1 - 3. 인수분해 확인체크 주요 문항 정리

인수분해는 고등수학에서 필수적인 개념으로, 다양한 공식과 조립제법을 활용하여 복잡한 다항식을 간단한 곱셈 형태로 변형하는 과정입니다. 특히, 개념원리 공통수학 1의 인수분해 확인체크 문제는 수능과 내신 대비에 중요한 연습자료로, A² - B² 공식 활용, 공통인수 묶기, 치환법, 조립제법을 통한 고차 다항식 인수분해 등의 핵심 개념을 익히기에 적합합니다. 이번 글에서는 다양한 인수분해 문제 풀이법과 유형별 전략을 상세히 다루어, 보다 빠르고 정확한 계산 능력을 키울 수 있도록 연습해 봅시다.

개념원리 공통수학 1 : 60p ~ 72p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 확인체크 풀이

개념원리 64p 확인체크 121

$4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2$
$= (2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2$

$A^2-B^2$ 꼴 입니다.

$= (2ab - (a^2 + b^2 - c^2))(2ab + (a^2 + b^2 - c^2))$

정리해 주면, 각각의 괄호 내부에도 $A^2-B^2$ 꼴이 보이도록 정리해 줍니다.

$=$ $(c^2 - (a^2 - 2ab + b^2))$ $((a^2 + 2ab + b^2) - c^2)$
$=$ $(c^2 - (a - b)^2)$ $((a + b)^2 - c^2)$

$A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$를 이용하여 끝까지 인수분해 해주셔야 합니다.

$=$ $(c - a + b)(c + a - b)$ $(a + b - c)(a + b + c)$

∴$(c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c)$

혹시나 식이 너무 복잡하다고 못푼 학생들이 있을까봐 풀이를 설명했습니다.

차근차근 식을 괄호이용해 적는 습관을 가지도록 합시다.

개념원리 69p 확인체크 124 (4)

$x^2 - y^2 + 2yz + 2xz + 4x + 2y + 2z + 3$

문자 여러 개, 항 여러 개 → 차수 낮은 문자 기준 내림차순 정리!!!

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$x$: 2차, $y$: 2차, $z$: 1차

② 차수 낮은 문자 $z$ 기준 내림차순 정리

→ 상수항이 복잡한 경우 내림차순 정리하여 적어주도록 합시다. ($x$기준 내림차순 정리)

$2(y + x + 1)z + x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3$

여기서, 일차식인 경우 대부분 최고차항의 계수가 공통부분이 됩니다.

하지만, 공통부분이 보이지 않기 때문에 상수항을 인수분해하여 간단히 정리할 수 있습니다.

$z$ 1차항은 그대로 두고, 상수항을 인수분해 하는데에만 집중하시면 됩니다.

이 문제에서는 상수항 인수분해를 위해 두번 연달아 인수분해를 해야 합니다.

$2(y + x + 1)z + (x - y + 3)(x + y + 1)$

이후, $(x+y+1)$이 공통이므로 묶어주면,

∴ $(x + y + 1)(x - y + 2z + 3)$

이 문제에서 독특한점은 기준문자 $z$의 상수항이 복잡하여 인수분해를 두번 연달아 해주는 과정이였습니다.

문제의 큰 흐름이 내림차순 정리 후 → 상수항 인수분해 → 공통 묶기로 지금까지 보지 못했던 흐름이기도 합니다.

하지만, 인수분해 연습을 많이 했다면 충분히 할 수 있을 만한 문제였으니 힘내보도록 합시다!!

개념원리 70p 확인체크 126

주어진 다항식이 $x-2$를 인수로 가진다 하였습니다.

문제에서는 인수분해 하는 것이 목적이고
주어진 다항식이 문자 1개, 항 여러개의 고차식이므로
조립제법과 연관지어 생각을 해주시면 됩니다.

" $x-2$를 인수로 가진다 " 조건에서 알 수 있는 점

조립제법 후보가 2
2로 조립제법을 하면 나머지가 0

바로 $a$의 값을 알 수 있게 되고

여기서 연달아 조립제법을 사용해 주셔도 되고 식을 적은 후 'X'자 인수분해를 이용해 주셔도 됩니다.

연달아 조립제법을 사용하는 경우
1 -4 3 으로 짝수차 계수합 = (1)+(3) , 홀수차 계수합 = -4
두 계수의 합이 0이므로 조립제법 후보 1 이용하여 조립제법 해줌
식을 적은 후 'X'자 인수분해하는 경우
$ (x - 2)(x^2 - 4x + 3) $
$ = (x - 2)(x - 1)(x - 3) $

∴ $(x - 2)(x - 1)(x - 3) $

개념원리 71p 확인체크 127 (3)

$ 10^2 - 12^2 + 14^2 - 16^2 + 18^2 - 20^2 $

각 항의 차이가 2이므로, 두 개씩 묶어 $A^2 - B^2$ 형태로 변형하면 -2가 공통인수로 나타납니다.

$ = (10^2 - 12^2) + (14^2 - 16^2) + (18^2 - 20^2) $

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$이용

$ = (10 - 12)(10 + 12) + (14 - 16)(14 + 16) + (18 - 20)(18 + 20) $

$ = -2(22) - 2(30) - 2(38) $

공통인 $-2$로 묶어줍니다

$ = -2(22 + 30 + 38) $

$ = -2(90) $

$ = -180 $

∴ -180

개념원리 71p 확인체크 128

주어진 $x,y$가 서로 켤레 관계 입니다. 켤레관계인 경우 합-차-곱 이용!! 기억하시죠 ?!

$ x + y = 2 $
$ x - y = 2\sqrt{3} $
$ xy = 1 - 3 = -2 $

주어진 식을 $x$에 대해 내림차순하여 정리해주고 공통인항을 묶어주시면 됩니다.

$ x^3 - yx^2 - y^2x + y^3 $

$ = x^2(x - y) - y^2(x - y) $

$(x-y)$가 공통

$ = (x - y)(x^2 - y^2) $

$ = (x - y)(x - y)(x + y) $

$ = (x - y)^2 (x + y) $

$ x - y = 2\sqrt{3} $, $ x + y = 2 $ 이용

$ = (2\sqrt{3})^2 (2) $

$ = 24 $

∴ 24

참고:)

$ x^3 - yx^2 - y^2x + y^3 $ 에서,

$x$를 기준문자로 보고 이외의 문자 $y$를 상수항 처럼 생각해주면 $x$에 대한 고차식으로 생각할 수 있으므로 조립제법 풀이도 가능합니다.

계수가 $1, -y, -y^2, y^3$으로 점점 $y$가 곱해지는 형태이므로 조립제법 후보로 $y$를 넣어 조립제법 해보면,

이런식으로 조립제법이 가능해 집니다.

이후 더 연달아 조립제법을 해주셔도 되고 식을 적고 난 후 인수분해를 해주셔도 됩니다.

그냥 참고용으로만 알아두도록 해주세요 !! 크게 중요한 풀이는 아닙니다.

개념원리 72p 확인체크 129

문제의 주어진 식이 문자 여러 개, 항 여러 개

차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 1차

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준 내림차순 정리

$(a - b)c + a^2 - b^2 = 0$
$(a - b)c + (a - b)(a + b) = 0$

공통부분 보이도록 정리 후 묶어주기
$(a - b)(a + b + c) = 0$

삼각형 세 변 $a, b, c$ 이므로 모두 양수입니다. $\Rightarrow a + b + c \neq 0$

$\therefore a - b = 0$ 이여야 합니다.

∴ $a = b$인 이등변 삼각형

개념원리 72p 확인체크 130

삼각형 세 변의 길이 $a, b, c$ (모두 양수) , 주어진 식

이 두가지 조건을 보고 바로 결론으로 $a = b = c$가 나왔다면 성공입니다.

너무 자주 나온 공식입니다. 문제풀이를 마쳐두고 아래에서 설명하도록 할께요.

둘레의 길이가 $18 \Rightarrow a + b + c = 18 \Rightarrow a = b = c = 6$ (정삼각형)
정삼각형 넓이 $= \frac{\sqrt{3}}{4} (6)^2 = 9\sqrt{3}$

∴ $9\sqrt{3}$

정삼각형 넓이 공식 증명에 대한 설명도 아래에서 하겠습니다.

(추가 설명)

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$

$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$

$(a + b + c) \cdot \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$

삼각형 세 변의 길이 $a, b, c$ (모두 양수) $\Rightarrow a + b + c \neq 0$

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$

$\therefore a = b = c$

이해가 안된다면,

곱셈 공식의 변형 (5)번 공식을 참고해 주세요.

추가로 RPM 16p 84번 설명도 참고해 주세요.

정삼각형 넓이 공식 증명

한변의 길이가 $a$인 정삼각형을 반으로 잘라 직각 삼각형으로 만든다.
정삼각형에서 밑변은 수직이등분 됨 (반쪽 길이 $\frac{1}{2}a$)
삼각비 (또는 피타고라스)를 이용해 높이를 구한다.
높이 = $\frac{\sqrt{3}}{2} a$
일반 삼각형 넓이 공식 적용
한변의 길이가 $a$인 정삼각형 넓이
$= \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} $
$ = \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2} a $
$ = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 $

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공통수학 1 - 1 - 18. 인수분해 - 인수분해 활용

단디 티쳐 — Tue, 4 Feb 2025 10:00:30 +0900

1단원 - 3. 인수분해

지금까지 공부했던 인수분해 내용을 바탕으로 활용문제를 풀어보도록 할께요. 수학 시험이나 내신 대비, 그리고 수능을 준비하는 과정에서 인수분해를 빠르고 정확하게 푸는 능력은 필수적입니다. 이번 글에서는 "개념원리 공통수학 1" 교재를 기반으로 인수분해 활용 문제를 체계적으로 정리하고, 다양한 유형별 문제 풀이법을 소개합니다.

또한, 삼각형과 인수분해의 관계, 치환을 활용한 인수분해 방법, 그리고 항의 개수에 따른 접근법 등 실전에서 자주 나오는 문제 유형을 상세히 분석합니다. 본문에서는 필수예제 풀이 과정을 하나씩 따라가며 개념을 완벽히 이해할 수 있도록 설명하였으니, 인수분해 문제 해결 능력을 키우고 싶은 학생이라면 끝까지 읽어보시길 추천합니다.

개념원리 공통수학 1 : 71p ~ 72p

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1-1. 필수예제 풀이

필수예제 풀이를 보며, 논리적으로

개념원리 71p 필수예제 07

복잡한 수의 계산에서는 반복되는 수를 $X$로 치환하고 인수분해 공식을 적극 활용하여 풀이 해줍니다.

(1)

$\frac{2026^3 + 1}{2025 \times 2026 + 1}$

$2026 = X$ 치환

$= \frac{X^3 + 1}{(X-1)X + 1}$
$= \frac{(X+1)(X^2 - X + 1)}{X^2 - X + 1} \quad \leftarrow , a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ 이용
$= X + 1$
$= 2026 + 1$
$= 2027$

(2)

$\sqrt{50 \times 52 \times 54 \times 56 + 16}$

$50 = x$ 치환

$= \sqrt{(x)(x+2)(x+4)(x+6) + 16}$

여기서, 괄호가 4개이므로 공통부분을 만들기 위해 2개씩 묶어 풀어줍니다.
상수항의 합이 $x$의 계수를 결정하므로 0+6 = 2+4 입니다.
즉, $(x)$와 $(x+6)$ , $(x+2)$와 $(x+4)$로 두개씩 묶어 먼저 전개를 해줍니다.

$= \sqrt{(x^2 + 6x)(x^2 + 6x + 8) + 16}$

$(x^2 + 6x)$이 반복되므로 A로 치환하여 정리해 주셔도 되고 굳이 치환없이 한덩어리로 묶어서만 생각해주셔도 됩니다.

$= \sqrt{(x^2 + 6x)^2 + 8(x^2 + 6x) + 16}$

$ (x^2 + 6x) ----- +4 $

$ (x^2 + 6x) ----- +4 $
$= \sqrt{(x^2 + 6x + 4)^2}$

$\sqrt{A^2} = |A|$ 로 항상 절댓값으로 정리하는 습관을 가지도록 합시다.

$= |x^2 + 6x + 4|$

$x = 50$ 대입

$= | 50^2 + 6 \times 50 + 4 | $ ← 절댓값 안이 양수이므로 그냥 나옴
$= 2500 + 300 + 4$
$= 2804$

개념원리 71p 필수예제 08

주어진 조건 : $a-b = 5, b-c = -2$

$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$ → 항 여러개, 문자 여러개 : 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 → 차수가 같으므로 어떤 문자 기준 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리:

$= -(b-c)a^2 + (b^2 - c^2)a - bc(b-c)$

$= -(b-c)a^2 + (b - c)(b + c)a - bc(b-c)$

공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
$= -(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$
한 번 더 인수분해
$= -(b-c)(a-b)(a-c)$

따라서,
$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$

$= -(b-c)(a-b)(a-c)$

주어진 조건 : $a-b = 5, b-c = -2$, 구해야 하는 것 : $ a-c $
$a-c = a-b + b-c = 5 + (-2) = 3$

$= -(-2)(5)(3) = 30$

$\therefore 30$

개념원리 72p 필수예제 09

삼각형 세 변의 길이 $a, b, c$ → 길이이므로 $a > 0, b > 0, c > 0$

$a^3 - b^3 - ab - c^2a + a^2b - bc^2 = 0$ → 항 여러개, 문자 여러개 : 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 3차, $b$: 3차, $c$: 2차

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준으로 내림차순 정리:

$-(a+b)c^2 + a^3 + b^2a - b^2a - b^3 = 0$

$-(a+b)c^2 + a^2(a+b) - b^2(a+b) = 0$

공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
$-(a+b)(c^2 - a^2 + b^2) = 0$

즉 , 주어진 식 : $-(a+b)(c^2 - a^2 + b^2) = 0$

여기서, $a > 0, b > 0$ 이므로 $a+b \neq 0$ 입니다.
그렇다면 값이 0이 되기위해서는 $c^2 - a^2 + b^2 = 0$ 이여야 합니다.
$\therefore c^2 + b^2 = a^2$

따라서, '빗변이 $a$인 직각 삼각형(변 관계로 설명) 또는 $\angle A = 90^\circ$인 직각 삼각형(각 관계로 표현)'이라는 결론이 나오게 됩니다.

가끔 학교 내신 문제에서 변 관계로 설명과 각 관계로 설명을 섞어서 내는 학교도 있으니 두가지로 표현 할 수 있어야 합니다.

위의 문제에서 나온 직각삼각형에 이어서 이등변삼각형과 정삼각형도 자주나오는 유형이니 정리해 두도록 합시다.

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공통수학 1 - 1 - 17. 인수분해 - 복잡한 식의 인수분해 유형별 정리

단디 티쳐 — Sun, 2 Feb 2025 10:00:39 +0900

1단원-3. 인수분해 - 02.복잡한 식의 인수분해

인수분해는 고등수학에서 반드시 익혀야 할 핵심 연산입니다. 지난 글에서는 인수분해에 대해 정리했다면 이번 글에서는 복잡한 식을 인수분해하는 다양한 방법을 익히고, 유형별로 정리하여 실전에서 사용되는 풀이법을 단계별로 설명합니다. 인수분해 문제에서 식의 꼴을 파악하고 적합한 풀이를 할 수 있도록 많이 연습해 두도록 합시다.

개념원리 공통수학 1 : 65p~70p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 공통부분이 있는 식의 인수분해

공통 부분이 있는 경우 치환을 이용하여 식을 간단한 꼴로 생각해 주시면 됩니다.
괄호가 4개인 경우는 공통부분이 생기도록 2개씩 먼저 묶어 전개해 줍니다.
(1-1-3. 개념원리 20p 필수예제 05 참고)

개념원리 67p 필수예제 03

(1)

$(a^2 + 3a - 2)(a^2 + 3a + 4) - 27$

$a^2 + 3a = X$ (공통부분 치환)

$= ($ $X$ $- 2)($ $X$ $+ 4) - 27$

$= X^2 + 2X - 35$

$= (X + 7)(X - 5)$

$A=a^2 + 3a$ (다시 대입)

$= (a^2 + 3a + 7)(a^2 + 3a - 5)$

더 이상 인수분해가 되는지 안되는지 꼭 확인하도록 합시다.

(2)

치환은 계산의 편리를 위해 하는 것이지 바로 할 수 있다면 바로 하셔도 괜찮습니다.

마지막에 한번더 인수분해가 가능한지 아닌지 확인해 주셔야합니다.

(3)

인수분해는 하나의 항으로 만들어 주는 것입니다.

우리가 물건을 포장해야할때 잘못 포장 했다면 다 풀고 다시 포장을 해야하죠?

그것처럼, (3)번 문제의 $+24$가 남아있어 잘못 포장된것으로 생각할 수 있고, 식을 다시 다 전개해서 (다 풀고) 다시 인수분해(다시 포장)을 해줘야 하는 것입니다.

괄호가 4개 나와있는 유형입니다. 공통부분이 생기도록 두개씩 전개해 줍니다. 1-1-3. 20p 필수예제 05에서 설명했기 때문에 바로 문제풀이로 들어가도록 하겠습니다.

$(x-1)$과 $(x+2)$의 상수항의 합이 1이고,
$(x-3)$과 $(x+4)$의 상수항이 1이므로
이렇게 두개씩 전개해주면 $x$의 계수가 1로 같아지게 됩니다.
그렇다면 $x^2+x$ 식이 공통부분이 되는구나 생각할 수 있습니다.

치환해서 전개 해 주셔도 되고 바로 해주셔도 됩니다.

마지막에 인수분해가 더 가능한지 안한지 확인 꼭 하도록 합시다!

흐름을 정리하자면,

괄호가 4개인 유형 → 공통부분 생기게 전개 → 공통부분을 치환 → 인수분해 → 최종 인수분해

1-2. 복이차식 인수분해

$x^2$만 언급이 되어있긴 하지만 넓게 보았을 때, 문자가 여러개이더라도 짝수차로만 이루어져 있다면 복이차식 풀이를 통해 풀어줄 수 있습니다.

대표적인 복이차식 꼴로는 $x^4+ax^2+b$ 꼴 입니다.

개념원리 68p 필수예제 04

주어진식이 $x^4, x^2$, 상수항으로 이루어진 복이차식입니다. 그중에서도 (1)과 (2)번의 경우 바로 인수분해가 가능한 유형이고, (3)번과 (4)번의 경우 바로 X자 인수분해가 불가능한 유형입니다.

(1)

$x^4 - 7x^2 + 12$

계수를 보니 인수분해 바로 가능해 보임
$x^2 = X$ (치환)

$= X^2 - 7X + 12$

$= (X - 3)(X - 4)$

$X = x^2$ 다시 대입

$= (x^2 - 3)(x^2 - 4)$

끝까지 인수분해

$= (x^2 - 3)(x - 2)(x + 2)$

(2)

$x^2=X$로 치환하지 않고 바로 인수분해 할 수 있겠다면 바로 해주셔도 됩니다. (저는 바로 하는 편입니다.)

(3)

인수분해가 불가능한 유형의 경우 최고차와 상수항을 고정시켜두고 완전제곱식꼴을 만들어 $A^2-B^2$ 꼴로 만들어 줘야합니다.

후보 1 풀이
$x^4 - 8x^2 + 4$
$= x^4 + 4x^2 + 4 - 12x^2$ ← 등호 유지되도록 주의
$= (x^2 + 2)^2 - ($ $\sqrt{12}x$ $)^2$

후보 2 풀이
$x^4 - 8x^2 + 4$
$= x^4 - 4x^2 + 4 - 4x^2$ ← 등호 유지되도록 주의
$= (x^2 - 2)^2 - ($ $2x$ $)^2$

후보 1보다는 후보 2의 $A^2 - B^2$ 꼴이 깔끔합니다.
즉, $(\sqrt{12}x)^2$보다는 $(2x)^2$이 숫자가 깔끔하게 떨어지게 됩니다.
후보 2의 풀이를 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ 이용하여 마무리 해주면 됩니다.

$= (x^2 - 2$ $-2x$ $)(x^2 - 2$ $+ 2x$ $)$

마지막에 항상 한번더 인수분해가 가능한지 확인해 주셔야 합니다!
여기서는 한번더 인수분해가 불가능하다는 것을 확인하고 답을 써주시면 됩니다.

∴ $x^4 - 8x^2 + 4 = (x^2 - 2 - 2x)(x^2 - 2 + 2x)$

(4)

후보 2개를 항상 생각하고 최종계산을 해주세요! 배운내용을 적용해서 풀어주면 아래와 같은 풀이가 됩니다.

∴ $x^4 - 14x^2 + 1 = (x^2 + 1 + 4x)(x^2 + 1 - 4x)$

1-3. 여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해 (문자 여러개, 항 여러개)

1-1-16. 63p 필수예제 02에서 한번 사용해 보았던 유형입니다. 문자와 항이 여러개인 경우 차수가 가장 낮은 문자를 먼저 파악 후 그 문자 기준 내림차순정리 해 줍니다. 내림차순 정리 후 여러 풀이 흐름이 있으니 잘 정리해 보도록 합시다.

개념원리 69p 필수예제 05

(1) $x^3 + x^2z - y^3 - yz^2 - y^2z - z^2$

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$x$: 3차, $z$: 2차, $y$: 3차

② 차수 낮은 문자 $z$ 기준으로 내림차순 정리:
$= (x-y)z^2 + (x^2-y^2)z + (x^3-y^3)$

$= (x-y)z^2 + (x-y)(x+y)z + (x-y)(x^2+xy+y^2)$

$(x-y)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
$= (x-y)(z^2 + (x+y)z + (x^2+xy+y^2)) $
정리
$= (x-y)(x^2+y^2+z^2 + x^2+xy+y^2)$ ← 더이상 인수분해 불가

∴ $x^3 + x^2z - y^3 - yz^2 - y^2z - z^2 = (x-y)(x^2+y^2+z^2 + x^2+xy+y^2)$

(2) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$

$= a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리:
$= (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
$= (b-c){a^2 - (b+c)a + bc}$
한 번 더 인수분해 → $a^2 - (b+c)a + bc = (a - b)(a - c)$
$= (b-c)(a-b)(a-c)$

∴ $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = (b-c)(a-b)(a-c)$

(3) $2x^2 + xy - y^2 + 10x + 4y + 12$

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$x$: 2차, $y$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

② 차수 낮은 문자 $x$ 기준으로 내림차순 정리:

$= 2x^2 + (y+10)x - (y^2 - 4y - 12)$

상수항 인수분해
$(y^2 - 4y - 12)$ 부분을 인수분해하면 $y^2 - 4y - 12 = (y+2)(y-6)$
따라서, 전체 식은
= $2x^2 + (y+10)x - (y+2)(y-6)$
통째로 인수분해
$2x^2 + (y+10)x - (y+2)(y-6)$
$x$ --------------------- $+(y+2)$
$2x$ --------------------- $-(y-6)$
$= (x + y + 2)(2x - y + 6)$

∴ $2x^2 + xy - y^2 + 10x + 4y + 12 = (x + y + 2)(2x - y + 6)$

여러개의 문자를 포함한 식의 인수분해 흐름 정리

문자 여러개, 항 여러개 유형에서 지금까지 배운 흐름을 정리해 보자면,

① 차수가 낮은 문자를 찾기

② 차수 낮은 문자 기준으로 내림차순 정리

바로 'X'자 인수분해
ex) 개념원리 63p 필수예제 02 (2), (3)
공통 묶음 ( 대부분 최고차 계수인 경우가 많음 ) → 정리 후 끝
ex) 개념원리 63p 필수예제 02 (1) , 개념원리 69p 필수예제 05 (1)
공통 묶음 ( 대부분 최고차 계수인 경우가 많음 ) → 한번 더 인수분해
ex) 개념원리 69p 필수예제 05 (2)
상수항 인수분해 → 통째로 인수분해
ex) 개념원리 69p 필수예제 05 (3)

정도로 정리할 수 있습니다.

1-4. 인수정리를 이용한 인수분해 (문자 한개, 항 여러개)

문자의 종류는 1개이지만, 항이 여러개인 즉, 고차식의 인수분해에서는 인수정리와 조립제법을 이용해 인수를 하나하나 찾아줘야 합니다.

※ 인수정리
$f(a) = 0$ 이면 $f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 가진다.
$f(a) = 0$ 이면 $f(x)$는 $(x-a)$로 나누었을 때 나머지가 $0$이다!

※ 조립제법
일차식으로 나눈 몫과 나머지를 구하는 방법
주의: 해석시 일차식의 $x$ 계수는 $1$

두 개념을 종합하여 정리해보면,
항 여러 개, 문자 1개인 고차식의 경우
$f(a) = 0$을 만족하는 $a$를 찾아 조립제법을 해주면
식은 $(x-a)$를 인수로 가지게 되면서 인수분해가 되는 것입니다.
숫자를 직접 넣어가며 나머지가 $0$이 되는 $a$를 찾아줘야 합니다.

tip
가장 먼저 확인해야 할 것!
$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

$f(1) = a + b + c + d + e $
$a + b + c + d + e = 0$
→ 모든 계수의 합이 $0$이라면 $f(1) = 0$
즉, $f(x)$는 $(x-1)$을 인수로 가진다 → 조립제법 후보: $1$
$f(-1) = a - b + c - d + e $
$a - b + c - d + e = 0$이면
$a + c = b + d$
→ 짝수 차수 계수의 합 = 홀수 차수 계수의 합이라면 $f(-1) = 0$
즉, $f(x)$는 $(x+1)$을 인수로 가진다 → 조립제법 후보: $-1$

tip

$k(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = kx^3 + \dots$ $- k\alpha\beta\gamma$
상수항은 최고차계수와 근들의 곱으로 이루어져 있으므로 상수항의 약수들이 근이 될 수 있는 후보가 됩니다.

∴ 조립제법 후보 $= \pm \frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차 계수의 약수}}$

cf) 정확한 증명은 "근의 계수 정리(Rational Root Theorem, 유리근 정리)나 라그랑주 정리" 등으로 설명할 수 있지만, 너무 어렵게 생각하지말고 식만 봐주도록 합시다.

$- k\alpha\beta\gamma$에서 근을 찾기 위해서는 $k$를 나눠 주면 $- \alpha\beta\gamma$가 되고 이 수의 약수들이 근이 될 수 있는 후보가 되는 것입니다.

최고차 계수로 나눠버리는게 아니라 최고차계수의 '약수'로 나누는 이유는 편하게 계산하기 위함이라고 생각해 주시면 됩니다. 최고차계수로 그냥 나누었을 때에는 분수꼴이 생길 수 있으므로 조립제법을 하여 나머지가 0되는 값을 찾을 때 불편하게되니 빠르고 정확한 인수분해를 위해 가능한 정수근의 후보만 생각해주는 거구나 까지만 생각해 주세요.

이제 항은 여러개, 문자 1개인 유형 즉, 고차식을 인수분해 할 때 어떻게 접근하는지 문제를 통해 정리해 보도록 하겠습니다.

개념원리 70p 필수예제 06

(1)

짝수차 계수 합과 홀수차 계수 합이 같으므로 조립제법의 후보는 $-1$이 됩니다.
$-1$로 조립제법을 진행해 줍니다.

$-1$로 조립제법시 나머지가 0되므로 식은 $(x+1)$을 인수로 가지게 됩니다.
조립제법 해석시 $x$의 최고차 계수는 1로 해석 기억하시죠 ?!
조립제법을 해석한 식을 써주고 인수분해가 더 되는지 안되는지 확인해 주는 과정도 필수입니다.

∴ $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3)$

처음 조립제법 틀을 써두고 항상 짝수차 계수 합과 홀수차 계수 합부터 적어주도록 합시다.

이 두개의 값의 합이 0이라면(모든계수 합이 0인 것이니) 조립제법의 후보는 1인 것이고, 이 두개의 값이 같다면 조립제법의 후보는 -1 입니다.

(2)

step1) 과정에서 조립제법 후보를 뽑을 수 없으니 step2) 과정으로 넘어갑니다.
조립제법 후보 $= \pm \frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차 계수의 약수}}$ 이므로
후보는 $\pm \frac{24 \text{의 약수}}{3 \text{의 약수}} = \pm \frac{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}{1, 3}$ 입니다.

분모가 $1$인 경우:
$\pm (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)$
분모가 $3$인 경우:
$\pm \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, 2, \frac{8}{3}, 3, 4, 6, 8, 12, 24\right)$
중복되는 것을 제거하여 정리하면
$\pm \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, 2, \frac{8}{3}, 3, 4, 6, 8, 12, 24\right)$

후보가 너무 많죠 ? 후보를 꼭 전부 다 구하고 계산을 할 필요는 없고, 계산이 편리한 정수들 위주로 먼저 넣어가며 나머지가 0이 되는지 바로바로 확인해 주셔야 합니다.

예를 들어 2나 -2를 넣어 조립제법을 먼저해보면, 나머지가 0이 되지 않는 다는 것을 알 수 있습니다. 이런경우 지우고 다른 수를 넣어 또 조립제법을 해주는 등 일일이 찾아야 합니다.

$-3$을 조립제법해보니 나머지가 0이 된다는 것을 확인하여 이어서 진행해 보도록 하겠습니다. ( $4$를 먼저 넣었어도 나머지가 0이 되고 아래와 비슷하게 풀이가 가능합니다. 물론 $(x-4)$ 인수부터 나오게 되겠죠.)

조립제법 해석시 $x$계수는 1 , 끝까지 인수분해하기 주의!

∴ $3x^3 - 5x^2 - 34x + 24 = (x+3)(3x-2)(x-4)$

1-5. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일/pdf)

이 파일로 수업 내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다.

1단원-3. 인수분해 (개념원리 공통수학1 65p~70p) 백지테스트.hwp

1단원-3. 인수분해 (개념원리 공통수학1 65p~70p) 백지테스트.pdf

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 16. 인수분해 - 개념과 공식 정리 예제 문제

단디 티쳐 — Fri, 31 Jan 2025 10:00:54 +0900

1단원-3. 인수분해

인수분해 공식은 수학에서 다항식을 단항식의 곱으로 표현하는 데 필수적인 도구입니다. 이 글에서는 개념원리 교재를 기반으로 다양한 인수분해 공식을 체계적으로 정리하고, 이를 활용한 문제 풀이 과정을 단계별로 설명합니다. 특히, 공통인수 묶기, 완전제곱식, 차수 낮은 문자 기준 내림차순 정리 등 실제 풀이에서 자주 사용되는 인수분해 방법과 팁을 소개합니다. 수학 초보자부터 개념을 복습하고자 하는 학생까지 누구나 쉽게 이해할 수 있도록 구성했습니다.

개념원리 공통수학 1 : 60p ~ 64p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 인수분해

항이 여러개인 다항식을 항이 1개인 단항식으로 만들어 주는 과정을 보고 인수분해라고 합니다.
항이 1개인 단항식을 항이 여러개인 다항식으로 만들어 주는 과정을 보고 전개라고 합니다.

$(x+2)$와 $(x+3)$은 괄호로 묶여 있으니 하나의 항으로 봐줘야 하는데, 곱꼴로 연결되어 있으니 $(x+2)(x+3)$ 를 하나의 항으로 봐줘야 합니다.

이렇게 인수분해란, 하나의 다항식을 인수들의 곱의 꼴로 표현하는 것을 의미합니다.(인수에 대한 내용은 지난 글을 참고해 주세요. )

1-2. 인수분해 공식

(1) $ma + mb = m(a + b)$
(2) $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \quad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
(3) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
(4) $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$
(5) $acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$
------(여기까지 중학교때 배운내용)--------------
(6) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2$
(7) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$ , $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$
(8) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ , $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
(9) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
(10) $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$

곱셈공식의 반대 과정이기 때문에 따로 증명 과정은 필요하지 않습니다.

왜 결론이 이거인가요? 라고 묻는다면, 직접 전개해보면 공식이 성립함을 확인할 수 있습니다.

이는 계산의 효율성을 높이기 위해 자주 쓰이는 과정을 공식화 한 것일 뿐입니다.

(6)~(10)번 공식을 사용하는 몇가지 예제를 풀어보도록 하겠습니다.

개념원리 62p 118-(2)

(6) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2$ 을 사용하는 문제입니다.

개념원리 62p 118-(4)

(7) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$ , $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$ 공식을 사용하는 문제입니다.

$8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$ 공식 이용

$(2x)^3 + 3(2x)^2(-y) + 3(2x)(-y)^2 + (-y)^3$

$= (2x - y)^3$

개념원리 62p 118-(6)

(8) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ , $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ 공식을 사용하는 문제입니다.

$8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$ 공식 이용

$(2x)^3 + 3(2x)^2(-y) + 3(2x)(-y)^2 + (-y)^3$

$= (2x - y)^3$

개념원리 62p 118-(4)

(9) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ 공식을 사용하는 문제입니다.

$8a^3 + b^3 - c^3 + 6abc$

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$

$= (2a)^3 + (b)^3 + (-c)^3 + 3(2a)(b)(-c)$

$= (2a + b - c)(4a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - bc - 2ac)$

개념원리 62p 118-(4)

(10) $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$ 공식을 사용하는 문제입니다.

$a^4 + a^2 + 1$

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$ 공식 이용

$= a^4 + a^2 \cdot 1^2 + 1^4 = (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$

1-3. 인수분해 과정에서 생각의 흐름

이제 본격적으로 필수예제를 풀어보면서 공부해보도록 할께요. 식을 인수분해 해야하는 상황이 왔을 때 생각하는 순서는 아래와 같습니다.

인수분해 생각 흐름
1. 공통인수 묶어주기
2. 'X' 사용가능? / 인수분해 공식 사용가능 ?
3. 꼴 확인(유형 확인)
- 공통부분 → x 치환
- $x^2$의 거듭제곱으로 이루어진 복이차식
→ 인수분해 가능 ? (바로 인수분해) / 불가능? ( 최고차, 상수항 고정 후 $A^2-B^2$꼴 이용)
- 문자 여러개, 항 여러개 → 차수낮은 문자기준 내림차순 정리 → 공통인수 묶기 or 'x'자 인수분해
....

위와 같은 흐름으로 하나씩 확인해 주시면 되고 이는 개념원리에서 언급하는 인수분해 문제의 전체적인 흐름이기도 합니다. 다른 여러가지 문제집을 풀면서, 어려운 인수분해가 나왔을 때에는 하나씩 추가로 정리해 가며 나만의 인수분해 생각흐름 과정을 만드시는 것을 추천 합니다.

추가로, 인수분해가 어렵다하는 학생이시라면 아래와 같은 생각도 해보시는 것도 좋습니다.

항이 2개인 경우 자주 사용되는 공식

(3) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

(8) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ , $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

항이 3개인 경우 자주 사용되는 공식 → 'X'자 이용

(2) $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \quad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

(4) $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$
(5) $acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$

이렇게 정리가 가능하긴 하지만, 항이 2개니까 이 공식 이용! 3개니까 이 공식 이용! 이렇게 보다는 인수분해 공식을 많이 연습해서 식의 꼴을 보고 바로 인수분해 공식이 떠오를 수 있게 연습하시면 좋을 것 같아요.

하지만, 처음부터 그렇게 하기 힘들다면, 항이 2개인경우 3개인 경우를 생각해주셔도 괜찮습니다.

중학교때, 위의 인수분해 하는 과정은 배웠었죠?

항이 3개인 경우에는 이렇게 'X'자를 이용해 인수분해 해줄 수도 있다는 거 꼭 기억하시길 바랍니다!

1-4. 예제문제

예제문제를 풀면서 공식 기본형을 꼭 한번씩 써보면서 연습해 보시길 바랍니다.

개념원리 63p 필수예제 01

(1)번 - $a^2 - b^2$꼴

(2)번 - $2a$ 공통인수 있음 →먼저 묶어주기 / $a^3 + b^3$ 꼴

(3)번 - $a^3 - b^3$ 꼴

(5)번 - 첫 식을 어떻게 정리하냐에 따라 사용하는 공식의 차이가 있습니다.

$a^6-b^6$을 $(a^3)^2-(b^3)^2$으로 정리 한다면
풀이 1번 처럼 (3) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 사용 후
(8) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ , $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ 을 사용해 줍니다.
$a^6-b^6$을 $(a^2)^3-(b^2)^3$으로 정리 한다면
풀이 2번처럼 (8) $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ 사용 후
(3) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 공식과 (10) $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$ 공식을 사용해 줍니다.

두가지 풀이 중 어떤 것으로 풀어도 괜찮습니다.

(6)번 - 'X'자 이용

개념원리 63p 필수예제 02

(1)

$x^4 + x^2z^2 - y^2z^2 - y^4$

인수분해 생각흐름으로 생각해 보면,
공통인수가 보이지 않고, 바로 보이는 인수분해 공식이 없습니다.
꼴을 확인 해 줄 것인데
문자도 여러개, 항도 여러개이므로 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리를 먼저 해줄 것입니다.

$x$는 최고차가 4차, $y$도 최고차가 4차, $z$는 최고차가 2차 입니다.

차수낮은 $z$기준 내림차순정리를 해줍니다.

$= (x^2 - y^2)z^2 +$ $(x^4 - y^4)$

$= (x^2 - y^2)z^2 +$ $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

공통인수 $(x^2 - y^2)$가 보이므로 묶어줍니다.

$= (x^2 - y^2)\left( z^2 + x^2 + y^2 \right)$

$= (x-y)(x+y)(x^2 + y^2 + z^2)$

흐름 정리 : 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리 → 공통인수 묶기

(2)

$a^2 - 4ab + b^2 - c^2$

문자도 여러개, 항도 여러개이므로 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리를 먼저 해줄 것입니다.

$a,b,c$ 모두 최고차가 2차로 같습니다. 이런경우 어떤것으로 내림차순 해줘도 괜찮습니다.

$a$기준 내림차순정리를 해주도록 해보겠습니다.

흐름 정리 : 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리 → 'X'자 인수분해

다른풀이 )

$a^2 - 4ab + b^2$ $- c^2$

완전제곱식으로 인수분해되는 항이 있습니다.

$=$ $(a - 2b)^2$ $- c^2$

이후, (3) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 공식을 이용해 줍니다.

$= (a - 2b - c)(a - 2b + c)$

항이 4개인 경우 이런식의 풀이도 가능하니 완전제곱식꼴과 $a^2-b^2$꼴이 바로 보인다면 이 방법으로도 인수분해 할 수 있다는점 꼭 기억해줍시다!

흐름정리 : 완전제곱식으로 정리 → $A^2-B^2$ 꼴 이용

(3)

$2xy + z^2 - x^2 - y^2$

$= z^2 -$ $(x^2 - 2xy + y^2)$

완전제곱식이 보이므로 이 3개의 항만 먼저 인수분해 해줍니다.

$= z^2 -$ $(x - y)^2$

이후, (3) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 공식을 이용해 줍니다.

$= (z - x + y)(z + x - y)$

흐름정리 : 완전제곱식으로 정리 → $A^2-B^2$ 꼴 이용

다른풀이)

$2xy + z^2 - x^2 - y^2$

문자도 여러개, 항도 여러개이므로 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리를 먼저 해줄 것입니다.

$x,y,z$ 모두 최고차가 2차로 같습니다. 이런경우 어떤것으로 내림차순 해줘도 괜찮습니다.

$x$에 대해 내림차순 정리해보도록 하겠습니다.

이후 'x'자 인수분해를 이용해 풀이해 줍니다.

흐름정리 : 차수낮은 문자기준 내림차순 정리 → 'X'자 인수분해

1-4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일/pdf)

이 파일로 수업 내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다.

1단원-3. 인수분해 (개념원리 공통수학1 60p~64p) 백지테스트.hwp

1단원-3. 인수분해 (개념원리 공통수학1 60p~64p) 백지테스트.pdf

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 55p~57p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 15. 항등식과 나머지 정리 RPM 주요 문제 풀이 2

단디 티쳐 — Wed, 29 Jan 2025 10:00:39 +0900

1단원 - 14. 항등식과 나머지 정리 RPM 주요 문제 풀이 2

지난 글에 이어 이 글에서는 RPM 교재의 항등식과 나머지 정리 주요 문제를 효율적으로 푸는 방법을 제공합니다. 자신의 풀이와 비교해 가며 다양한 풀이를 배우고 주요 유형은 반복 학습을통해 자신의 것으로 꼭 체화시키길 바랍니다.

RPM : 29p ~ 31p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 29p 178번

$ (x^2 - 2x - 1)^{10} = a_{20}x^{20} + a_{19}x^{19} + a_{18}x^{18} + \cdots + a_1x + a_0 $

이 문제에서 주의해야 할 점 : 모든 짝수항의 합이 아님! $a_0$가 빠져 있음.
즉, $a_{20} + a_{18} + a_{16} + \cdots + a_2 $ $+ a_0$가 아니라 $a_{20} + a_{18} + a_{16} + \cdots + a_2$
→ 이런경우, 모든 짝수항의 합을 구해준 후 $ a_0$를 따로 구해주어 빼줘야 함.

$x = 1$ 대입:
$x^n = 1$이므로 $a_{\text{짝수}}$, $a_{\text{홀수}}$ 앞은 $+$
$2^{10} = a_{20} + a_{19} + a_{18} + \cdots + a_1 + a_0$

$x = -1$ 대입:
$x^{\text{짝수}} = 1$, $x^{\text{홀수}} = -1$이므로 $a_{\text{짝수}}$ 앞은 $+$, $a_{\text{홀수}}$ 앞은 $-$
$2^{10} = a_{20} - a_{19} + a_{18} - \cdots - a_1 + a_0$

여기서 $a_0$는 $x = 0$ 대입:
$(-1)^{10} = a_0$
$\therefore 1 = a_0$

결론:
$a_{20} + a_{18} + \cdots + a_2 = 2^{10} - a_0 = 1024 - 1 = 1023$

RPM 30p 181번

문제를 읽으며 바로 식써주는거 이젠 어렵지 않겠죠?

$ax^5 + bx^3 + cx - 4 = (x-1)Q(x) + 3$ $\rightarrow x = 1$ 대입, $a + b + c - 4 = 3$
$\therefore a + b + c = 7$

미지수가 $a, b, c$ 3개 입니다. 식도 3개가 있으면 미지수 각각의 값을 구할 수 있는데요, 여기서는 더 주어진 조건이 없습니다. 이럴때에는 일단 구하고자 하는 것이 무엇인지를 먼저 확인해 보는 것이 좋아요.

구하고자 하는 것을 보면

$ax^5 + bx^3 + cx - 4 = (x+1)Q'(x) + R$
$\rightarrow x = -1$ 대입, $-a - b - c - 4 = R$=?

$R = -4 - (a + b + c) $ 이렇게 정리가 되면서 $a + b + c = 7$의 값을 한번에 사용이 가능합니다.

$R = -4 - 7 = -11$

이 문제처럼 미지수 각각의 값을 구하지 못하여도, 한번에 사용해 답을 구할 수도 있으니 문제가 막힌다면 구하고자 하는게 무엇인지에 대해 먼저 생각해보도록 합시다.

RPM 30p 183번

삼차식 $f(x) \rightarrow f(x)$에 대한 구체적인 정보가 나왔으므로 식세울 준비!

식을 세울수도 있고, 안 세울수도 있지만 항상 이 마음가짐을 갖고 있어야 합니다.

$f(x) = (x^2-5x+6)Q(x) + ax+b$
$f(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax+b$

미지수 $a, b$ 2개이므로 식 2개가 필요합니다.
$x=2$, $x=3$ 대입 시 모르는 $Q(x)$가 제거되므로 $f(2), f(3)$의 값을 안다면 바로 구할 수 있겠네요!

$8f(x+2) = f(2x) + 7x^2$

$f(0)=8$ 임을 이용하기 위해 $x+2=0, 2x=0$인 $x$값을 넣어 볼 생각을 할 수 있습니다.

$x=-2$ 대입 $\rightarrow$ 좌변의 $f(x+2)$가 $f(0)$ 됨, 우변의 $f(2x)$가 $f(-4)$ 됨 → $f(-4)$값 알 수 있음
$x=0$ 대입 $\rightarrow$ 좌변의 $f(x+2)$가 $f(2)$ 됨, 우변의 $f(2x)$가 $f(0)$ 됨 → $f(2)$값 알 수 있음

$f(2), f(3)$의 값을 구하는게 목적이므로 $x=0$을 대입하면 $f(2)$값을 바로 알 수 있겠네요.

$f(-4)$값은 굳이 필요하지 않아 $x=-2$를 대입하는 과정은 생략해도 됩니다.

$x=0$ 대입
$8f(2)=f(0)$
$8f(2)=8$
$\therefore f(2)=1$

이제, $f(2)=1$을 알고 $f(3)$만 더 구해주기 위해 $8f(x+2) = f(2x) + 7x^2$ 식에 $x=1$ 대입

$x=1$ 대입
$8f(3)=f(2)+7$
$\therefore f(3)=1$

즉, $\therefore f(2)=1, f(3)=1$

$f(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax+b$
$x=2$ → $f(2)=2a+b=1$
$x=3$ → $f(3)=3a+b=1$

두식을 연립해주면,

나머지는 $ax+b$ 이므로 $0x+1=1$입니다.

아래는 식을 세워 푸는 풀이 입니다. 참고만 해주세요.

$f(0) = 8$ 이므로 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 8$ 입니다.
미지수 $a, b, c$ 3개이므로 식도 3개가 필요하게 됩니다.
○ $x = 0$ 대입 : $8f(2) = f(0) \quad \rightarrow \quad f(2) = 1$
○ $x = -2$ 대입 : $8f(0) = f(-4) + 28 \quad \rightarrow \quad f(-4) = 36$
○ $x = 1$ 대입 : $8f(3) = f(2) + 7 \quad \rightarrow \quad f(3) = 1$
이런 식으로 식 3개 구하였으니 연립해주면 $a, b, c$의 값도 구할 수 있습니다.

가끔 이 풀이를 써서 푸는 문제도 있으니 이렇게 연쇄적으로 조건(식)을 뽑을 수 있구나 생각해주세요.

RPM 30p 188번

'수의 나눗셈에서 나머지정리의 활용 문제유형'에서 주의 해야할 점
1. 나누는 수를 최대한 일차식으로 잡아줌
→ 개념원리 56P 연습문제 115번
2. 최대한 나누는 수를 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡아주는 것이 좋음.
→ RPM 30p 188번
3. 마지막에 나누는 수로 나누었을 때 나머지가 성립하는지 확인 : (나누는 수) > (나머지) > 0
→ RPM 28p 170번

어떤수를 $x$로 잡아야할지 애매하다면, 나눗셈 과정에서 나누는 수를 일차로 잡아주어야 나머지를 구하기 쉬워지고 그 중에서도 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡는 것이 좋습니다.

$8 = x = 2^3$, 나누는 수 : $9 = x+1$라 하면,

$2^{751} = 2^{3 \times 250 + 1} = 2 \cdot (2^3)^{250} = 2 \cdot x^{250}$

$2 \cdot x^{250} = (x+1)Q(x) + R$

$x = -1$을 대입해 주면, $2 = R$

$\therefore 2 \cdot x^{250} = (x+1)Q(x) + 2$

$x = 8$을 다시 대입하여주면,
$2^{751} = 9 \cdot Q + 2$

$9$로 나누었을 때 나머지 $2$ ; (나누는 수) > (나머지)가 성립

왜 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡는 것이 좋을까요?

한가지 예를 들어 보도록 할께요.

만약 $2 = x$, $9 = 4x + 1$로 치환한다면 나누는 식이 일차식이라 나머지는 상수로 간편하게 나올 것 같지만

$x^{751} = (4x+1)Q(x) + R$

$x = -\frac{1}{4}$ 대입
$(-\frac{1}{4})^{751} = R$

이렇게 되어버리면, 상수의 값이긴 하나 자연수의 나눗셈에서 나머지가 분수라는 뜻이 되고, $R$값 계산이 힘들어지게 됩니다.
$x = 1$ 또는 $x = -1$ 또는 $x = 0$ 대입이 나중에 거듭제곱을 해주는 과정에서 계산이 편리해지기 때문에 $x+1$, $x$, $x-1$로 최대한 치환하는 것이 좋습니다.

RPM 30p 191번

$f(x) = (x-1)Q(x) + 6 \quad \rightarrow \quad f(1) = 6$ ... 식①

$f(x) = (x-2)^2 Q(x) + 6x + 1 \quad \rightarrow \quad f(2) = 13$ ...식②

$f(x) = (x-1)(x-2)^2 Q''(x) + ax^2 + bx + c$ : 나누는 식이 3차이므로 나머지 2차이하 다항식

미지수가 $a,b,c$ 3개이고 주어진 조건은 $f(1)=6, f(2)=13$ 2개로 식의 개수가 부족하여 연립하여도 미지수 각각의 값을 구할 수 없게 됩니다.

그래서 $(x-2)^2$로 나누었을 때 나머지 $6x+1$을 통째로 사용해 줄 것입니다. 많이 했던 유형이라 실전 풀이를 하도록 하겠습니다.

$f(x) = (x-1)(x-2)^2 Q''(x) + ax^2 + bx + c$

이 식의 관점을 나누는 식을 $(x-2)^2$로 봐주면 나머지 $ax^2 + bx + c$로 (나누는 식의 차수) > (나머지의 차수)가 성립하지 않기 때문에 나머지 $ax^2 + bx + c$가 $(x-2)^2$로 한번 더 나눠집니다.
∴ $ax^2 + bx + c = (x-2)^2 \cdot a + 6x + 1$
▲△
$(x-2)^2$로 한번 더 나눠주면 좌변과 우변의 최고차항 계수를 맞추기 위해 몫은 $a$ 나머지는 $(x-2)^2$으로 나누었을 때 나머지 $6x+1$이 됩니다. ( 식② 참고)

$f(x) = (x-1)(x-2)^2 Q''(x) +$ $(x-2)^2 \cdot a + 6x + 1$

$= (x-2)\left{(x-1)Q''(x) + a\right} + 6x + 1$

$x = 1$ 양변 대입 ( 식①결론 이용)

$f(1) = 1 \cdot {a} + 7 = 6 \quad \therefore \quad a = -1$

최종적으로,

$R(x) = ax^2 + bx + c = (x-2)^2 \cdot a + 6x + 1$
$R(x) = -(x-2)^2 + 6x + 1$

$R(-2) = -16 - 12 + 1 = -27$

RPM 30p 193번

$x^n(x^2 + ax + b) = (x-2)^n Q(x) + 2^n(x-2)$

식을 보고 세가지의 생각으로 문제를 시작해 보도록 하겠습니다.

생각1)

여기서, 우변은 $(x-2)$로 묶이게 됩니다. 좌변과 우변의 식이 같기위해 좌변에도 $(x-2)$가 있어야 하겠죠.

즉, $x^2+ax+b$가 $(x-2)$를 인수로 가진 다는 것을 알 수 있습니다.
$x^n(x-2)(x - \frac{b}{2}) = (x-2)^n\left((x-2)^{n-1} \cdot Q(x) + 2^n\right)$

생각2)

양변에 $x=2$를 대입해 줍니다.

$2^n (4 + 2a + b) = 0$
$2^n \neq 0$ 이므로 $4 + 2a + b = 0$

$x^2 + ax + b$ 에 $x = 2$ 대입 시 0 됨
$\rightarrow$ 인수정리 개념에 의해 $(x-2)$ 인수로 가짐

$x^2 + ax + b = (x-2)(x - \frac{b}{2})$
최고차, 상수항 맞춰주면서 식 바로 적기

생각3)

양변에 $x=2$를 대입해 줍니다.

$2^n (4 + 2a + b) = 0$
$2^n \neq 0$ 이므로 $4 + 2a + b = 0$ → $b = -4 -2a$

이후 직접 인수분해

어떤 생각으로 풀든 결론식은 아래와 같습니다. (생각3의 경우 식의 형태는 조금 다르겠지만, 푸는 방법은 동일합니다.)

$x^n(x-2)(x - \frac{b}{2}) = (x-2)^n\left((x-2)^{n-1} \cdot Q(x) + 2^n\right)$

$(x-2)$를 제외한 나머지식이 같은 식이여야 한다는 것을 알 수 있습니다.

$x^n(x - \frac{b}{2}) = (x-2)^{n-1} \cdot Q(x) + 2^n$

$x = 2$ 대입
$2^n \left(2 - \frac{b}{2}\right) = 2^n$
$2 - \frac{b}{2} = 1 \quad \therefore \quad b = 2$

$(x^2 + ax + b) = (x-2)(x - \frac{b}{2}) = (x-2)(x-1) = x^2 - 3x + 2$
$a = -3, b = 2$

RPM 30p 194번

$f(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + R(x)$ : 나머지 $R(x)$는 일차이하 다항식

ㄱ.

$x = a$ 대입
$f(a) = R(a) \quad \rightarrow \quad f(a) - R(a) = 0$ 성립...ㄱ(참)

ㄴ.

주어진 식의 양변에 $x = a$ , $x = b$ 대입시 $f(a) = R(a), f(b) = R(b)$
ㄴ식 → $R(a) - R(b) = R(b) - R(a)$
$R(a) = R(b)$

나머지가 일차이하 다항식이므로 나머지를 $px + q$ 라 하면
$R(a) = R(b)$

$p a + q = p b + q$

$p(a-b) = 0$ 이므로 $a = b$ 이거나 $p = 0$일 때 성립합니다.
하지만, $a \neq b$ 이므로 $p = 0$일 때만 성립한다는 것을 알 수있습니다.

즉, $p$의 값이 0이 아니라면 성립하지 않는 다는 것이죠. 문제에서 따로 $p = 0$이라는 조건은 없으므로 ㄴ은 (거짓)

이렇게도 생각할 수 있습니다. (참고로만 봐주세요.)

$R(a) = R(b)$ 이 식을 만족하면 ㄴ은 참이고 만족하지 않는 경우가 있다면 ㄴ은 거짓인데

$R(x)$는 일차이하 다항식이므로 일차식일 수도 있고 상수일 수도 있습니다.

그래프를 그려서 생각해보면, $a \neq b$이기 때문에
일차식의 경우 절대 $R(a)$값과 $R(b)$의 값이 같을 수 없습니다.
상수인 경우에는 $x$에 어떤 값을 넣어도 같은 상수 값이 나오기 때문에 $R(a) = R(b)$가 만족합니다.
즉, 정리해보자면 $R(x)$가 일차식이라면 만족하지 않고 $R(x)$가 상수라면 만족합니다.

$R(x)$가 상수라는 조건이 있었다면 ㄴ은 참이였겠지만, 그런 언급이 없으므로 일차식일 가능성도 있게 되는 거죠. 그러면 $R(a) = R(b)$이 만족하는지 안하는지 모르니 거짓이라고 할 수있겠네요.

ㄷ.

$a f(b) - b f(a) = (a-b) R(0)$ 에서 나머지를 $R(x) = px + q$라 하면, $ R(0) = q$
$a p b + a q - b p a - b q = (a-b) q$
$q(a-b) = (a-b) q$

좌변과 우변의 식이 같으므로 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

ㄷ 참

∴ ㄱ, ㄷ 3번

RPM 30p 195번

$x^2$의 계수가 1 인 두 이차식 f,g → f,g에 대한 구체적인 정보나옴 → 식 세울 준비

(식을 세울수도, 안세울 수도 있지만 항상 이 마음가짐을 갖고 시작해 봅시다.)

(가) $f(x) - g(x) = (x+2)Q(x) + R(x)$

일차식으로 나눈 나머지 이므로 상수 $R$
몫과 나머지가 같다고 하였으므로 $R(x) = Q(x) = R$

추가로, $f(x)$와 $g(x)$는 최고차항의 계수가 같으니 $f(x)-g(x)$를 해주게 되면 일차식이 된다는 것도 알 수 있습니다.

몫과 나머지에 $R$을 대입하여 정리해 주면
$\therefore f(x) - g(x) = (x+2)R + R = (x+3)R$ ... 식①
(나) $f(x)g(x) = (x-3)(x+3)Q'(x)$ → $f(3)g(3) = 0, \quad f(-3)g(-3) = 0$ ... 식②
추가 조건 : $g(1) = 8$
구하고자 하는 것 : $f(-2) - g(-2)$ = ?

풀이1)

식① 에서

$x = -3$대입시, $f(-3) - g(-3) = 0$ → $f(-3) = g(-3)$

식② 에서 $f(-3)g(-3) = 0$ → $f(-3)=0$ or $g(-3)=0$

최종적으로 $f(-3)=0$ and $g(-3)=0$

설명:) $f(-3)=0$ or $g(-3)=0$으로 둘 중 하나의 값이 0이 되어야 하는데, $f(-3) = g(-3)$으로 함숫값이 같기 때문에 둘다 함숫값이 0 되어야 하는 것입니다. ∴ $f(-3)=0$ and $g(-3)=0$

인수 정리 개념에 의해,
$f(-3)=0$ and $g(-3)=0$ 이면
$f(x)$는 $(x+3)$을 인수로 가지고 $g(x)$도 $(x+3)$을 인수로 가진다
$f(x) = (x+3)(x+p), g(x) = (x+3)(x+q)$ 라고 식을 세울 수 있게 됩니다.

이후,

$g(1) = 8$에서 $q = 1$ → $\therefore$ $g(x) = (x+3)(x+1)$

식②중 안쓴 조건 $f(3)g(3) = 0$을 생각해보면,
$f(3)=0$ or $g(3)=0$이여야 하는데, $g(3)=24$ 이므로 $f(3)=0$임을 알 수 있습니다.

$f(3)=0$ → $f(3) = (6)(3+p) = 0$ → $p = -3$ → $f(x) = (x+3)(x-3)$

최종결론 : $f(x) = (x+3)(x-3)$, $g(x) = (x+3)(x+1)$
∴ $f(-2) - g(-2) = -5 - (-1) = -4$

풀이2)

식① 에서 $f(x) - g(x) = (x+2)R + R = (x+3)R$ 라 하였으므로,

$f(x) = (x+3)(x+a+R)$, $g(x) = (x+3)(x+a)$

이렇게 바로 식을 세울 수 있어야 합니다. (이 과정은 풀이가 끝난 후 설명하도록 하겠습니다.)

$g(1) = 8$ 조건 → $g(1) = 4 (1 + a) = 8 \quad \therefore a = 1$, $g(x) = (x+3)(x+1)$
$f(3)g(3) = 0$ 조건 → $f(3)=0$ or $g(3)=0$이여야 하는데, $g(3)=24$ 이므로 $f(3)=0$
$f(x) = (x+3)(x+1+R)$에 $x = 3$대입 → $f(3) = 6(4+R) = 0 \quad \therefore R = -4$, $f(x) = (x+3)(x-3)$

최종결론 : $f(x) = (x+3)(x-3)$, $g(x) = (x+3)(x+1)$
∴ $f(-2) - g(-2) = -5 - (-1) = -4$

추가 설명:)

$f(x) - g(x) = (x+2)R + R = (x+3)R$ → $f(x) = (x+3)(x+a+R)$, $g(x) = (x+3)(x+a)$ 과정

$f(x) = A(x)B(x), g(x) = A(x)C(x) \quad \cdots \quad ①$ 의 식을 가지는 경우
$f(x) - g(x) = A(x)B(x) - A(x)C(x) \quad \cdots \quad ②$
$f(x) - g(x) = A(x){B(x) - C(x)} \quad \cdots \quad ③$

으로 계산 된다는 것을 알 수 있습니다.

문제에서 주어진 조건으로 이 과정을 역으로 생각해보면,
$f(x) - g(x) = (x+3)R, R = B(x) - C(x)$
$f(x) - g(x) = (x+3)B(x) - (x+3)C(x) \quad \cdots \quad ②$

최고차계수가 1인 이차식 $f(x), g(x)$ 이므로 $B(x), C(x)$는 최고차 계수 1인 일차식입니다.
$C(x) = x+a$라 하면, $B(x) - C(x) = R$ 이므로 $B(x) = C(x)+R = x+a+R$

$f(x) - g(x) = (x+3)(x+a+R) - (x+3)(x+a)$

$\therefore , f(x) = (x+3)(x+a+R), g(x) = (x+3)(x+a) \quad \cdots \quad ①$

이라고 $f(x) - g(x) = (x+3)R$ 식의 구조만 보고도 바로 $f(x)$와 $g(x)$ 식을 세울 수 있게 되는 것입니다.

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 14. 항등식과 나머지 정리 RPM 주요 문제 풀이

단디 티쳐 — Mon, 27 Jan 2025 10:00:53 +0900

1단원 - 14. 항등식과 나머지 정리 RPM 주요 문제 풀이

이 글에서는 RPM 교재의 항등식과 나머지 정리 주요 문제를 효율적으로 푸는 방법을 제공합니다. 자신의 풀이와 비교해 가며 다양한 풀이를 배우고 주요 유형은 반복 학습을통해 자신의 것으로 꼭 체화시키길 바랍니다.

RPM : 20p ~ 28p

RPM : 29p ~ 31p 풀이는 다음글 1-15에서 설명하도록 하겠습니다.

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 22p 127번

'임의의 실수 $x$에 대하여' → $x$에 대한 항등식 입니다.

항등식은 좌변과 우변의 식이 같아야 하고, 어떤 $x$값을 대입해도 =(등호)는 성립하게 됩니다.

풀이1)

나누는 식 $x^2 + x - 1$ 은 인수분해가 되지 않으므로 수치대입법을 이용해 모르는 $Q(x)$를 제거하기 어렵습니다.

그래서 $Q(x)$식을 세워 계수 비교법을 이용해 줘야 합니다.

전개를 해주면,
$x^3 + 0 \cdot x^2 + 5x + a = x^3 + (k+1)x^2 + (k+b-1)x + 3-k$
$k+1 = 0$, $5 = k + b - 1$, $a = 3 - k$
∴ $k = -1$, $b = 7$, $a = 4$
→ $ab = 28$

풀이2)

$x^3 + 5x + a = (x^2 + x - 1)Q(x) + bx + 3$ 에서 $ bx + 3$ 항을 이항시켜줍니다.

직접 나누기 이용하면 정확한 $Q(x)$ 구하기 가능하다는게 눈에 보이시나요 ?!

직접 나누기 방법을 여러번 연습하다보면, 어느 계수가 몫을 정하는 계수인지 알 수 있게 됩니다.

나머지는 0 이므로 $b = 7$, $a = 4$ → $ab = 28$

RPM 22p 129번

모든 실수 $x$에 대하여 → $x$에 대한 항등식 입니다.

전개하여 계수비교법을 이용해 줄 수도 있지만 , 주어진 식을 보면 $(x+2), (x-2)$의 항이 반복되므로 수치대입법을 이용해 줍니다.

$x = -2$ 대입 → $0 = -16 - 4c$ → ∴ $c = -4$
$x = 2$ 대입 → $4b = 16 - 4c$ → $4b = 32$ → ∴ $b = 8$
$x = 0$ 대입 → $-8a + 2b = 0$ → ∴ $a = 2$

∴ $a^2 + b^2 + c^2 = (2)^2 + (8)^2 + (-4)^2 = 4 + 64 + 16 = 84$

추가 풀이:)

항등식은 좌변과 우변의 식이 같아야 합니다. 식의 구조를 이용해서 바로 $a,b,c$의 값을 구할 수도 있습니다.

좌변의 공통되는 $(x+2)$를 묶어주고, 우변의 공통되는 $x^2$을 묶어주면
$(x+2) { a(x+2)(x-2) + b } = x^2(2x-c)$
$(x+2) { ax^2 - 4a + b } = 2x^2 \left(x - \frac{c}{2}\right)$

좌변과 우변의 식이 같기 위해 우변에는 $(x+2)$가 있어야하고, 좌변에도 $x^2$이 있어야 합니다.

즉, $ax^2 - 4a + b = 2x^2$, $x + 2 = x - \frac{c}{2}$ 이여야 하므로,
$a = 2$, $b = 8$, $c = -4$

RPM 23p 138번

$x^{50} + 1 = a_{50}(x-1)^{50} + a_{49}(x-1)^{49} + \cdots + a_1(x-1) + a_0$

$a_{\text{홀수}}$들의 합을 구하라고 하였습니다.

$(x-1) = 1$ 이면 $(x-1)^ {\text{짝수}} = 1$, $(x-1)^{\text{홀수}} = 1$
→ 우변의 $a_{\text{짝수}}$ , $a_{\text{홀수}}$ 앞의 부호 모두 $+$
$x = 2$ 대입
$2^{50} + 1 = a_{50} + a_{49} + \cdots + a_1 + a_0$

$(x-1) = -1$ 이면 $(x-1)^ {\text{짝수}} = 1$, $(x-1)^{\text{홀수}} = - 1$
→ 우변에 $a_{\text{짝수}}$ 앞은 $+$, $a_{\text{홀수}}$ 앞은 $-$
$x = 0$ 대입
$1 = a_{50} - a_{49} + \cdots - a_1 + a_0$

두 식을 연립해주면,

∴ $2^{49} = a_{49} + a_{47} + \cdots + a_1$

RPM 24p 142번

$x^4 + ax^2 + bx = (x^2 - x + 1)Q(x) + 3x - 3$

나누는 식 $x^2 - x + 1$ 은 인수분해가 되지 않으므로 수치대입법을 이용해 모르는 $Q(x)$를 제거 하기 어렵습니다. 그래서 $Q(x)$식을 세워 계수비교법을 이용해 줘야 합니다.

좌변이 4차, 우변의 나누는 식이 2차이므로 몫은 2차가 되어야하는데 , 모르는 항을 미지수 두고 전개해서 계수비교를 해줘도 되지만, 계수들을 비교하여 몫을 바로바로 적어줄 수도 있습니다.

좌변의 최고차 계수는 1이므로 몫의 $x^2$의 계수는 1
좌변의 $x^3$의 계수는 0 → 우변의 $x^3$ 항은 나누는 식의 $x^2$과 몫의 $x$ 항, 나누는 식의 $x$항과 몫의 $x^2$항이 만나 만들어 집니다.
이 둘의 합이 0이 되기 위해 몫의 $x$의 계수가 1이여야 합니다.

좌변의 상수항이 3이므로 우변의 나누는 식의 상수항 1과 몫의 상수항이 만나 3이 되야 하므로 몫의 상수항은 3 입니다.

이후 구하고자하는 $x^2$의 계수와 $x$의 계수를 뽑아주고 답을 구해주면 됩니다.

∴ $b - a = (1) - (-3) = 2 $

RPM 26p 158번

$f(x) = (x^2 + x + 1)Q(x) + x + 7$ ... 식①

$Q(x) = (x-1)Q'(x) + 2 \quad \rightarrow \quad Q(1) = 2$ ... 식②

$f(x) = (x^3 - 1)Q''(x) + R(x)$ , $R(x)=?$

나누는 식이 삼차이므로 나머지는 이차이하의 다항식입니다.

주어진 조건과 구해야하는 것을 보면 $ (x^2 + x + 1) $과 $ (x-1) $을 곱하면 $ (x^3 - 1) $이 된다는 것을 알 수 있습니다.

식②의 $Q(x)$에 식① 대입
$f(x) = (x^2 + x + 1)\left((x-1)Q'(x) + 2\right) + x + 7$
$f(x) = (x^2 + x + 1)(x-1)Q'(x) + 2(x^2 + x + 1) + x + 7$
$f(x) = (x^3 - 1)Q'(x) + 2x^2 + 3x + 9$

$x^3 - 1$을 나누는 식으로 보면 나머지 $2x^2 + 3x + 9 = R(x)$
나누는식이 삼차고 나머지가 이차이므로 나누는 식 나머지 관계가 성립한다 할 수 있습니다.

$\therefore R(-3) = 18 - 9 + 9 = 18$

RPM 26p 159번

$x^{2026} + x^{2025} + x = (x-1)Q(x) + R$

몫에대한 언급만 있고, 나머지에 대한 언급이 없다고해서 나머지가 0인것은 아닙니다.

꼭 나머지를 미지수 잡아두고 확인해 주셔야해요.

식의 양변에 $x = 1$ 을 대입하면 $3 = R$이므로
$x^{2026} + x^{2025} + x = (x-1)Q(x) + 3$ ... 식①

$Q(x) = (x+1)Q'(x) + R' \quad \Rightarrow \quad Q(-1) = R' = ?$

식①의 양변에 $x = -1$ 대입:)

$1 - 1 - 1 = -2Q(-1) + 3$

$-1 - 3 = -2Q(-1)$

$\therefore Q(-1) = 2 = R'$

RPM 27p 162번

$f(x-2)f(x+1) = (x-2)Q(x)$ : 나누어 떨어진다 하였으므로 나머지는 0 입니다.

$x=2$대입시,

$f(0)f(3) = 0$

$f(0) = 0$ 또는 $f(3) = 0$

$f(x) = x^3 - ax^2 + x - 3$에서 $f(0) = -3 \neq 0$이므로 $f(3) = 0$이어야 합니다.

$\rightarrow f(3) = 27 - 9a = 0$

$\therefore a = 3$

RPM 27p 163번

'${x}^3$의 계수 1인 삼차식 $f(x)$' → $f(x)$에 대한 구체적인 정보가 나왔으므로 $f(x)$ 식세울 준비!

$f(-2) = 2, f(-1) = 2, f(1) = 2$

→ $f(x) = 2$를 만족하는 $x$값: $-2, -1, 1$

→ $f(x) - 2 = 0$을 만족하는 $x$값: $-2, -1, 1$

→ $f(x) - 2$는 $(x+2)(x+1)(x-1)$을 인수로 가짐

'${x}^3$의 계수 1인 삼차식 $f(x)$'

$\therefore f(x) - 2 = 1 \cdot (x+2)(x+1)(x-1)$

$\therefore f(x) = (x+2)(x+1)(x-1) + 2$

$f(x) = (x+3)Q(x) + R$, $R=?$

$f(-3) = R = (-1)(-2)(-4) + 2$

$\therefore R = -6$

RPM 28p 169번

1-9.글의 조립제법과 내림차순 꼴의 항등식에서 추가로 언급했던 문제의 풀이 입니다.

풀이과정은 없었는데 여기서 풀이해보도록 하겠습니다.

$(2x+1)$의 거듭제곱이 반복되는 유형이라 $-\frac{1}{2}$로 연달아 조립제법하면 됩니다.

문제에서 주어진 식을 나누는 식, 몫, 나머지 관점으로 정리하면

$2x^3 - 3x^2 - 4x + 2 = (2x+1)\left(a(2x+1)^2 + b(2x+1) + c\right) + d$
조립제법의 제일 왼쪽수는 $(2x+1)=0$ 되는 $x$값, 즉 $x=-\frac{1}{2}$ 입니다.

조립제법 해석시에는 $x$의 계수가 $1$임에 주의해야 합니다.

문제에서는 $(x+\frac{1}{2})$가 아닌 $(2x+1)$의 거듭제곱이 반복됩니다.

문제의 주어진 꼴로 바꾸기 위해 식의 값은 유지한체 변형시켜 줄 것입니다.

RPM 28p 170번 - 수의 나눗셈에서 나머지 정리의 활용 유형

지난글에서, 수의 나눗셈에서 나머지정리의 활용파트에서 중요한 점 기억나죠?

'수의 나눗셈에서 나머지 정리의 활용 문제유형'에서 주의 해야할 점
1. 나누는 수를 최대한 일차식으로 잡아줌
→ 개념원리 56P 연습문제 115번
2. 최대한 나누는 수를 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡아주는 것이 좋음.
→ RPM 30p 188번
3. 마지막에 나누는 수로 나누었을 때 나머지가 성립하는지 확인 : (나누는 수) > (나머지) > 0
→ RPM 28p 170번

3번 경우에 대해 설명하는 문제 입니다.

RPM 24p 170번의 경우 - { " 나누는 수 < 나머지 " 유형 }

RPM 24p 171번의 경우 - { " 나머지가 음수 " 유형 }

두 풀이를 비교해보시길 추천합니다!

{ " 나누는 수 < 나머지 " 유형 }

$1000 = x$ 라 두면,
$x^{10} = (x-2)Q(x) + R$
$x = 2$ 대입
$2^{10} = R$
$\therefore x^{10} = (x-2)Q(x) + 2^{10}$
$x$에 다시 $1000$을 넣어주고, $2^{10} = 2048$

∴ $1000^{10} = 998 \cdot Q + 2048$

여기서, 나누는 수가 $998$, 나머지 $2048$ 관계는 '나누는수 < 나머지'이므로 성립하지 않습니다. 왜? 한 번 더 나눠져야 하기 때문입니다.

즉, 2048이 998로 또 나눠지게 됩니다. 그래서 한번 더 나눠 보면

$2048 = 998 \cdot 2 + 52$

2048을 998로 나누었을 때 몫은 2, 나머지는 52가 됩니다.

이를 결론식에 넣어 다시 정리해 보면,

$1000^{10} = 998 \cdot Q +$ $998 \cdot 2 + 52$

나누는 수가 998임이 보이도록 묶어주면

$ 1000^{10} = 998 \cdot (Q + 2) + 52$

$1000^{10}$을 998로 나누었을 때 몫 $Q+2$, 나머지 52 : 나누는 수 > 나머지의 관계가 성립하므로 나머지라 할 수 있습니다.

$\therefore$ 나머지는 $52$입니다.

RPM 28p 171번 - 수의 나눗셈에서 나머지 정리의 활용 유형

{ " 나머지가 음수 " 유형 }

$97 = x$라 두면,
$x^{10} = (x+1)Q(x) + R$
$x = -1$ 대입
$-1 = R$
$\therefore x^{10} = (x+1)Q(x) - 1$
$x = 97$을 다시 넣어주면
∴ $97^{10} = 98Q - 1$

$98로 나누었을 때 나머지-1 관계는 성립하지 않습니다. Why? 한 번 더 나눠졌기 때문이죠.

"한번 더 나눠지는 경우"에 대해 잠깐 공부하고 가도록 할께요.

위의 이미지에서 왼쪽 나누기를 보면, 나머지가 제대로 된 것을 알 수 있습니다.
그렇다면 오른쪽 나누기를 보면 몫이 4가 아니라 5로 되어있고 나머지가 음수의 값이 나왔습니다.

즉, 원래는 몫이 Q여야 한다면 Q+1로 "한번 더 나눠주었기 때문에 " 나머지가 음수가 나왔고 잘못된 나누기라고 할 수 있는 것이죠.

우리는 이 나누기의 관계를 고등수학에서는 식으로 (가로로) 써서 적어주게 됩니다.

식변형을 통해 올바른 나머지로 고치는 과정이 이미지의 오른쪽 식입니다.

$9 = 2 \times 5 - 1$ 은 값은 맞지만, 나누는 수- 몫- 나머지 관점에서는 잘못된 식이죠?
(잘못된 몫) = (원래의 몫) + 1 의 관계 이므로 5 = 4 + 1 로 풀어 적어줍니다.
이후 전개하여 정리해주면
$9 = 2 \times4 + 1$로 나누는 수- 몫- 나머지 관점에서 바른 식으로 정리해 줄 수 있습니다.

이 생각을 문제풀이에 적용시켜보면,

$97^{10} = 98Q - 1$ 의 결론식에서 Q는 잘못된 몫입니다.

(잘못된 몫) = (원래의 몫) + 1
Q = (원래의 몫) + 1
즉, Q = (Q-1) + 1로 풀어줘야 합니다.

$97^{10} = 98Q - 1$

$97^{10} = 98 \times (Q-1+1) - 1$
$ 97^{10} = 98(Q-1) + 98 - 1$
$ 97^{10} = 98(Q-1) + 97$

$ 97^{10} $을 98로 나누었을 때 나머지는 97로 (나누는 수) > (나머지)의 관계가 성립하므로 ∴나머지=97

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 13. 항등식과 나머지 정리 - 연습문제 풀이 빈출 유형 개념정리

단디 티쳐 — Fri, 24 Jan 2025 10:00:59 +0900

1단원 - 2. 항등식과 나머지 정리 - 연습문제 풀이

이 글에서는 개념원리 교재의 항등식과 나머지 정리 연습문제 풀이 과정을 상세히 다룹니다. 학생들이 자주 헷갈리는 개념을 중심으로 문제 풀이 팁과 효율적인 학습 방법을 소개합니다.

개념원리 공통수학 55p ~ 57p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요. "

개념원리 56P 연습문제 106번

문제를 읽으며 주어진 조건을 차근차근 식으로 정리해 줍니다.

이때 나머지 정리에 대한 내용도 우측에 함께 써두도록 합시다.

$f(x) + g(x) = (x-2)Q_1(x) + 10 \quad \Rightarrow \quad f(2) + g(2) = 10$
$\left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 = (x-2)Q_2(x) + 58 \quad \Rightarrow \quad \left( f(2) \right)^2 + \left( g(2) \right)^2 = 58$
$f(x) \cdot g(x) = (x-2)Q_3(x) + R \quad \Rightarrow \quad f(2)g(2) = R$

구하고자 하는 것은 $R$입니다.

$f(2)$와 $g(2)$가 반복되므로 $f(2) = A, g(2) = B $ 라고 치환하여 계산해 줍니다.

문제의 주어진 식과 구하고자 하는 것을 다시 정리해보면,

$A + B = 10$
$A^2 + B^2 = 58$
$AB = ?$

$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB$
$100 = 58 + 2AB$
$42 = 2AB$

$\therefore AB = 21 , \quad f(2)g(2) = R = 21$

개념원리 56P 연습문제 108번

$f(x) = (x-1)^2 Q_1(x) + x + 1 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 2$
$f(x) = (x-2)Q_2(x) + 5 \quad \Rightarrow \quad f(2) = 5$
$f(x) = (x-1)^2 (x-2) Q_3(x) + ax^2 + bx + c$
↑ 나누는 식이 $(x-1)^2 (x-2)$ 3차이므로 나머지 2차 이하 $ax^2 + bx + c$

구하고자 하는 것은 나머지 $ax^2 + bx + c$ 입니다.

미지수 $a, b, c$ 3개인데 $f(1)=2, f(2)=5$ 식 2개뿐이라 미지수 값을 구할 수 없습니다.

"$(x-1)^2$으로 나눴을 때 나머지는 $x+1$이다"를 이용하여 나머지식을 통째로 이용해 주도록 할께요.

$(x-1)^2$을 나누는 식으로 보면
$ax^2+bx+c$가 $(x-1)^2$으로 한번 더 나눠지고
이때의 나머지는 $f(x)$를 $(x-1)^2$으로 나누었을때의 나머지 $x+1$이 됩니다.
이 부분이 잘 이해가 안되신다면 이전글의 52p 발전예제 07의 설명을 참고해 주세요.

남은 조건 $f(2)=5$ 사용하기 위해 $x=2$ 양변 대입
$f(2) = 1 \cdot (a) + 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad a=2$

즉, 나머지 $ax^2+bx+c = (x-1)^2 \cdot 2 + x+1 = 2x^2 - 3x + 3 $ 이므로 답은 $ 2x^2 - 3x + 3$ 입니다.

개념원리 56P 연습문제 110번

$f(x) = (x-1)Q(x) + 6 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 6$
$Q(x) = (x+2)Q'(x) + 9 \quad \Rightarrow \quad Q(-2) = 9$

항상 나머지정리 결과도 같이 생각해주고 식을 쓸지 값을 쓸지 생각하기!

구하고자하는 것은 $f(x) = (x-1)(x+2)Q''(x) + ax + b, \quad ab=?$

이번에는 식을 통째로 사용해보도록 하겠습니다.

첫번째 식의 $Q(x)$ 자리에 두번째 식 $Q(x) = (x+2)Q'(x) + 9$를 대입하여 식을 이용해 보도록 할게요.

$f(x) = (x-1)Q(x) + 6$

$f(x) = (x-1)\left((x+2)Q'(x) + 9\right) + 6$
$f(x) = (x-1)(x+2)Q'(x) + 9(x-1) + 6$

$(x-1)(x+2)$를 나누는 식으로 보면 나머지 $9(x-1) + 6 = 9x-3$

나누는 식이 2차이고 나머지가 1차로 (나누는 식 차수 > 나머지 차수)가 성립하기 때문에
$f(x)$를 $(x-1)(x+2)$로 나누었을 때 나머지는 $9x-3$로 봐줄 수 있습니다.

즉, $a=9, b=-3$ 이므로 $\therefore ab = -27$

개념원리 56P 연습문제 111번

'이차항 계수가 1인 이차다항식'

→ $f(x)$에 대한 직접적인 정보가 나왔습니다. 이런경우, $f(x)$에 대한 식을 세워야 할 수도 있겠네 생각해주시면 됩니다.

두가지 풀이로 설명을 진행하겠습니다.

풀이1)

$f(x) + 2 = (x+2)Q_1(x)$ → $x = -2$ 대입 → $f(-2) = -2$
$f(x) - 2 = (x-2)Q_2(x)$ → $x = 2$ 대입 → $f(2) = 2$
'이차항 계수가 1인 이차다항식' → $f(x) = 1 \cdot x^2 + ax + b$

미지수의 개수와 주어진 식의 개수가 2개로 같으므로 미지수의 값을 구할 수 있습니다.

$f(-2) = 4 - 2a + b = -2 \quad \Rightarrow \quad -2a + b = -6$
$f(2) = 4 + 2a + b = 2 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = -2$

둘을 연립해 주면,

$\therefore f(x) = x^2 + x - 4$

$f(10) = 100 + 10 - 4 = 106$

풀이2)

$f(x) + 2 = (x+2)Q_1(x)$ → $x = -2$ 대입 → $f(-2) = -2$
$f(x) - 2 = (x-2)Q_2(x)$ → $x = 2$ 대입 → $f(2) = 2$

★ ★ ★

여기서, $f(-2) = -2$과 $f(2) = 2$ 두 조건을 해석해보면,

→ $f(x) = x$ 이 방정식을 만족하는 $x$ 값은 $-2, 2$

→ $f(x) - x = 0$ 이 방정식을 만족하는 $x$ 값은 $-2, 2$

추가설명 :)
$f(x) - x = g(x)$라 하면, $g(2)=0, g(-2)=0$
→ $g(x)$는 인수정리 개념에의하여 $(x-2)$와 $(x+2)$를 인수로 가집니다.
즉, $f(x) - x$는 $(x-2)$와 $(x+2)$를 인수로 가집니다.

$f(x) - x$ 는 '이차항 계수가 1인 이차다항식' 이므로

$f(x) - x = 1 \cdot (x+2)(x-2)$

$\therefore f(x) = 1 \cdot (x+2)(x-2) + x$

$f(10) = 12 \cdot 8 + 10 = 96 + 10 = 106$

이렇게 풀이는 끝나지만, 해석하는 방법을 좀 더 연습해보도록 할께요.

고등학생 필수 능력 식 세우기 연습

예제1) 이차항 계수가 1인 이차다항식 $f(x)$ , $f(3)=2, f(4)=2$

풀이)

우변의 2는 고정되어있고 $f(x)$ 괄호안의 값을 $x$로 두면,

$f(x)=2$를 만족하는 $x$값은 3,4 입니다.
$f(x)-2=0$을 만족하는 $x$값은 3,4
$f(x)-2$식은 $(x-3)$와 $(x-4)$를 인수로 가집니다.

$f(x) - 2$ 는 '이차항 계수가 1인 이차다항식' 이므로

$f(x) - 2 = 1 \cdot (x-3)(x-4)$

$f(x) = 1 \cdot (x-3)(x-4) + 2$

예제2) 이차항 계수가 2인 이차다항식 $f(x)$ , $f(2)=4, f(3)=9$

풀이)

$f(x)$ 괄호안의 $x$값과 함숫값의 관계가 $x^2$의 관계입니다.

두 식을 일반화해서 해석해보면,

$f(x)=x^2$을 만족하는 $x$값은 2,3 입니다.
$ f(x) - x^2 =0$을 만족하는 $x$값은 2,3
$f(x) - x^2$ 식은 $(x-2)$와 $(x-3)$를 인수로 가집니다.

$f(x)$는 이차항의 계수가 2인 이차다항식 즉 $2x^2 ~$이므로 $f(x) - x^2$식은 이차항의 계수가 1인 이차다항식이 됩니다.

$f(x) - x^2 = 1 \cdot (x-2)(x-3)$

$f(x) = 1 \cdot (x-2)(x-3) + x^2 $ (← 전개하여 정리해주면 이차항계수 2 확인 가능)

예제3) 이차항의 계수가 3인 이차다항식 $f(x)$ , $f(2)=3, f(3)=5$

풀이)

$f(x)$ 괄호안의 $x$값과 함숫값의 관계가 $2x-1$의 관계입니다.

두 식을 일반화해서 해석해보면,

$f(x)=2x - 1$을 만족하는 $x$값은 2,3 입니다.
$f(x) - (2x - 1) = 0$을 만족하는 $x$값은 2,3
$f(x) - (2x - 1)$ 식은 $(x-2)$와 $(x-3)$를 인수로 가집니다.

$ f(x) - (2x -1) $ 는 '이차항 계수가 3인 이차다항식' 이므로

$ f(x) - (2x -1) = 3 \cdot (x-2)(x-3)$

$ f(x) = 3 \cdot (x-2)(x-3) + (2x -1) $

개념원리 56P 연습문제 112번

위에서 배운 내용을 한번 더 적용해보도록 하겠습니다.

$f(x) = (x-4)Q(x) + R \quad \rightarrow \quad f(4) = R = ?$

즉, $f(4)$의 값을 구해주면 되는 문제입니다.

문제의 주어진 조건을 보면

'최고차항의 계수가 1인 삼차식 $f(x)$' 이라 $f(x)$에 대한 직접적인 정보가 나왔으므로 식을 세울 준비를 해줍시다!

$f(1) = 5, f(2) = 5, f(3) = 5$
$f(x) = 5$를 만족하는 $x$값은 $1, 2, 3$
$f(x) - 5 = 0$을 만족하는 $x$값은 $1, 2, 3$
$f(x) - 5 = 0$는 $(x-1), (x-2), (x-3)$을 인수로 가짐

$\therefore , f(x) - 5 = 1 \cdot (x-1)(x-2)(x-3)$

$f(4) = 1 \cdot (3)(2)(1) + 5 = 11 = R$

개념원리 56P 연습문제 113번

$g(x) = (x-4)Q(x) + R$ → $g(4) = R = ?$

(가) 식의 양변에 $x=4$를 대입해주면, 구하고자 하는 $g(4)$는 $16f(4)$의 값과 같습니다. $g(4) = 16f(4) = R$ ?

$ g(x) = x^2 f(x)$ 식을 $(나)$에 대입해 주면

(나) $g(x) + (3x^2 + 4x)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

$x^2 f(x) + (3x^2 + 4x)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

$(4x^2 + 4x)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

$4x(x+1)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

$x = 0$ 대입 시 모르는 $f(x)$가 사라짐 → $0 = b$
또는, 좌변 $(4x^2 + 4x)$에 다항식 $f(x)$가 곱해지므로 일차 이상의 항만 만들어진다는 것도 알 수 있습니다. $\rightarrow b = 0$

$x = -1$ 대입 시 모르는 $f(x)$가 사라짐 $\quad 0 = -1 + a - 2 + b \quad \therefore , a = 3$

$4x(x+1)f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x$

$x = 4$ 대입

$16 \cdot 5 \cdot f(4) = 64 + 48 + 8$

$16f(4) = \frac{120}{5} = 24$

즉, $g(4) = 16f(4) = 24 = R$

개념원리 56P 연습문제 114번

$f(x) = (x^2+1)Q(x) - 2x$ ← 식 ①

$f(x) = (x^2-1)Q'(x) + 6 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 6, f(-1) = 6$ ← 식 ②

$Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$ → $ax+b = ?$

나누는식이 $ (x^2-1) $ 이차이므로 나머지는 일차이하 다항식 $ax+b$ 입니다.

방법1) 식 ②를 통째로 이용

식 ① 의 $Q(x)$에 $Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$를 대입해 줍니다.

$f(x) = (x^2+1)\left((x^2-1)Q''(x) + (ax+b)\right) - 2x$
$ f(x) = (x^2+1)(x^2-1)Q''(x) + (ax+b)(x^2+1) - 2x$

나누는 식을 $(x^2-1)$로 보면 $(ax+b)(x^2+1) - 2x$은 $(x^2-1)$로 한 번 더 나눠지기 때문에 나머지라고 볼 수 없습니다.

$(ax+b)(x^2+1) - 2x$를 $(x^2-1)$ 으로 한번 더 나눠주면

좌변이 삼차식이므로 몫은 일차식
몫의 일차계수 : 최고차계수 $a$이용
몫의 상수항 : 바로 판단하기 어렵기 때문에 미지수 k로 둔다.
나머지 : $f(x)$를 $(x^2-1)$ 로 나눈 나머지는 6임을 이용 ( ◀ 이전글의 52p 발전예제 07의 설명을 참고)

양변을 전개하여 계수를 비교해주면

$ ax^3 + bx^2 + (a-2)x + b = ax^3 + kx^2 - ax - k + 6$

$b = k \quad , \quad -a = a-2 \quad , \quad -k + 6 = b$

$a = 1 \quad , \quad b = 3 \quad , \quad k = 3$

$\therefore ax+b = x+3$

방법2) 식 ②의 $f(1) = 6, f(-1) = 6$ 조건 이용

$Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$ → $ax+b = ?$

미지수가 $a, b$ 2개이므로 식도 2개가 필요합니다.

모르는 $ Q''(x) $를 제거할 수 있는 $(x^2-1) = 0$ 되는 $x$값 1,-1을 대입했을 때의 $Q(1)$과 $Q(-1)$ 값 필요한 것이죠.

식 ②에서 $f(1) = 6, f(-1) = 6$인 것을 알 수 있으므로 이를 이용하기 위해 식 ①에 $x=1, x=2$를 대입하여 줍니다.

$x=1$ 대입:
$f(1) = 2Q(1) - 2$
$6 = 2Q(1) - 2$
$\therefore Q(1) = 4$

$x=-1$ 대입:
$f(-1) = 2Q(-1) + 2$
$6 = 2Q(-1) + 2$
$\therefore Q(-1) = 2$

즉, $Q(1) = 4$, $Q(-1) = 2$인 것을 구하였으므로 다시 $Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$에 대입하여 $a, b$의 값을 구해줍니다.

$x=1$ 대입:
$Q(1) = a+b = 4$

$x=-1$ 대입:
$Q(-1) = -a+b = 2$

두 식을 연립해 푸면 $a=1$, $b=3$이므로 나머지 $ax+b = x+3$입니다.

개념원리 56P 연습문제 115번

$7 = x$ 라 하면 $6 = x-1$
$x^{30} + x^{20} + x = (x-1)Q(x) + R$ : 일차식으로 나눈 나머지는 상수항 $R$

$x = 1$ 대입 시 $3 = R$
$\therefore x^{30} + x^{20} + x = (x-1)Q(x) + 3$
다시 $7 = x$ 대입시,
$7^{30} + 7^{20} + 7 =$ $6Q(7) + 3$
해석 : 6으로 나누었을 때 몫은 $,Q(7)$ , 나머지 3 (나누는 수 6 > 나머지 3 으로 성립)

$\therefore$ 나머지는 $3$

수의 나눗셈에서 나머지정리의 활용 유형에서 주의 해야할 점

나누는 수를 최대한 일차식으로 잡아줌
→ 개념원리 56P 연습문제 115번
최대한 나누는 수를 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡아주는 것이 좋음.
→ RPM 30p 188번
마지막에 나누는 수로 나누었을 때 나머지가 성립하는지 확인 : (나누는 수) > (나머지) > 0
→ RPM 28p 170번

(1번 설명)

나누는 수를 최대한 일차식으로 잡아주는 이유는 일차식으로 나눈 나머지가 상수항이되서 값이 간편하게 나오기 때문입니다.

예를 들어,

나누는 수 $6 = 2^2 + 2$로 생각하여 $2=x$라 둠
나누는 식이 $6 = x^2 + 2$으로 이차가 됨
나머지는 일차이하 $ax + b$가 됩니다.

이 경우 미지수가 $a$, $b$ 2개이므로 2개의 식이 필요합니다.

하지만, 모르는 $Q(x)$ 를 제거하기 위해 $x^2+2=0$ 되는 $x$값이 2개가 있어야 하지만 $x^2+2=0$는 실근이 없으므로 나머지를 구하기 힘들게 됩니다.

이처럼 어떤값을 치환하냐에 따라 풀이가 조금 달라질 수 있기 때문에 간단하게 일차식으로 최대한 잡아주자 정도만 알아두시고 주의해야 할점의 2번과 3번 내용은 RPM 문제를 보면서 정리하도록 할께요.

개념원리 56P 연습문제 116번 - 나머지가 같은 유형

'최고차항의 계수가 1인 사차다항식 $f(x)$'

(가) $f(x) = (x+1)Q(x) + R$ ... 식①
$f(x) = (x^2-3)(x)Q(x) + R$ ... 식②

식①에서 나누는 식이 일차이므로 나머지는 상수 $R$입니다.

식②에서 나누는 식이 이차라 나머지는 일차이지만, 식①과 나머지가 같다고 하였으므로 $R$로 둡니다.

'나머지가 같다' 유형의 경우,
1. 두 식을 빼서 나머지를 제거하는 방법
2. $R$을 이항하여 인수를 찾는 방법

문제에서는 두 식을 빼주게 되면 좌변의 $f(x)$가 제거되므로, $R$을 이항하여 인수를 찾는 방법을 사용해 보겠습니다.

$f(x) - R = (x+1)Q(x)$ ... 식①
$f(x) - R = (x^2-3)(x)Q(x)$ ... 식②

두 식을 해석해보면, $f(x) - R$은 $(x+1)$과 $(x^2-3)$을 인수로 가지며, '최고차항의 계수가 1인 사차다항식 $f(x)$'라고 하였습니다.

∴ $f(x) - R = (x^2-3)(x+1)(x+k)$

(나) $f(x+1) - 5 = x(x+1)Q'(x)$ : 나누어 떨어진다 하였으므로 나머지 0

$x=0$ 대입 → $f(1) - 5 = 0$ → $f(1) = 5$

$x=-1$ 대입 → $f(0) - 5 = 0$ → $f(0) = 5$

(가)의 결론 $f(x) - R = (x^2-3)(x+1)(x+k)$는 미지수 $R$, $k$ 2개,

(나)의 결론 $f(1) = 5$, $f(0) = 5$ 으로 식 2개이므로 연립하여 미지수의 값을 구해 줍니다.

$x=1$ 대입
$f(1) - R = (-2)(2)(1+k)$
$5 - R = -4 - 4k$
∴ $4k - R = -9$

$x=-1$대입
$f(0) - R = (-3)(1)(k)$
$5 - R = -3k$
∴ $3k - R = -5$

두 식을 연립해주면, $k = -4$, $R = -7$

최종적으로,
∴ $f(x) + 7 = (x-3)(x+1)(x-4)$
$f(4) + 7 = (13)(5)(0)$
$f(4) = -7$

2. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 55p~57p) 백지테스트.pdf

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 52p~54p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 12. 항등식과 나머지 정리 - 필수 예제 여러가지 풀이법

단디 티쳐 — Wed, 22 Jan 2025 10:00:15 +0900

1단원 - 2. 항등식과 나머지 정리

항등식과 나머지 정리는 다항식 문제 풀이의 핵심 개념으로, 수능과 내신 대비에서 반드시 알아야 할 내용입니다. 이 글에서는 나머지 정리와 인수 정리를 중심으로 개념을 문제 풀이에 적용하는 과정을 소개하고 다양한 풀이를 함께 다룹니다.

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개념원리 공통수학 1 : 52p ~ 54p

수에서의 나눗셈에 대한 등식

참고 :) 나눗셈에 대한 등식 : "(주어진 식) = (나누는 식)(몫) + (나머지)"

이 관점을 수에서도 적용시켜 해석해 보도록 할께요.

$ 8 = 3 \cdot 1 + 5 $

값으로는 당연히 성립하지만 "8을 3으로 나누었을 때 몫은 1 , 나머지가 5다."라는 나눗셈에 대한 등식 관점으로 보게 되면 틀린식이 됩니다.

왜 ? 나머지보다 나누는 수가 크기 때문이죠.

그렇다면 왜 크면 안될까요? 한번 더 나눠지기 때문입니다. (나머지를 나누는 수로 한번 더 나눌 수 있기 때문입니다.)

그래서 나머지를 나누는 수로 한번 더 나눠주게되면

$8 = 3 \cdot 1 + $ $ 5 $

나머지를 나누는 수로 나온 결과를 넣어 줍니다.

$= 3 \cdot 1 + $ $ 3 \cdot 1 + 2 $

나누는 수 3으로 묶어 정리해 줍니다.

$= 3 \cdot (1 + 1) + 2 $

$= 3 \cdot 2 + 2$

이제, " (나누는 수) $ \cdot $ (몫)+(나머지) " 관점으로 보면 식이 맞게 됩니다.

마찬가지로, 식에서도 (나누는 식의 차수) > (나머지 식의 차수) 조건을 만족해야 합니다.

왜? "한번 더 나눠지기 때문에 ! "

1. 예제 문제

개념원리 52p 발전예제07 - 삼차식으로 나누는 경우

이제 본격 문제 풀이에 들어가보도록 하겠습니다.

문제를 읽으며 주어진 조건이 무엇인지 식을 써줍니다.

$f(x) = (x-1)^2Q(x) + 3x + 2 \quad \dots \quad f(1) = 5$

$f(x) = (x+1)Q'(x) + 3 \quad \dots \quad f(-1) = 3$

$f(x) = (x-1)^2(x+1)Q''(x) + ax^2 + bx + c $

구해야 하는 것은 나머지 $ ax^2 + bx + c $ 입니다.

$f(1) = a + b + c = 5$

$f(-1) = a - b + c = 3$

미지수 $a, b, c$ 3개, 식 2개 $\Rightarrow$ 연립해도 $a, b, c$ 값을 구할 수 없게 됩니다.

그래서, '나누는 식' 관점 바꿔볼 것입니다.

원래 $(x-1)^2(x+1)$이 나누는 식인데 $(x-1)^2$을 나누는 식으로 본다면 나머지가 $3x + 2$가 되어야겠죠.

$f(1) = 5$ 값만 이용하지 않고 $f(x)$를 $(x-1)^2$으로 나누었을 때 나머지 $ 3x + 2 $를 통째로 이용하려는 것이죠.

$(x-1)^2$를 나누는 식으로 보면 나누는 식이 2차인데 나머지도 2차라서 잘못된 식이죠?

왜? 나머지가 $(x-1)^2$로 한 번 더 나눠지기 때문에 $\Rightarrow$ 한 번 더 나눠보자!!

나누는식 관점을 바꿔줄때는 꼭 나누는식의 차수와 나머지의 차수를 꼭 확인해 줘야합니다.

나머지를 $(x-1)^2$으로 나눠준 식

$ax^2 + bx + c = (x-1)^2 \cdot a + \boxed{\text{나머지 일차 이하}}$

좌변의 최고차 계수가 $a$ 이므로 우변도 최고차계수를 맞춰주면 몫은 $a$가 됩니다.
이차식이니 나머지는 일차 이하의 식이 되겠죠.

결론부터 이야기 하자면,
$ \boxed{\text{나머지 일차 이하}}$가 결국 $(x-1)^2$로 나누었을 때 나머지인 $3x + 2$가 되어야 합니다.
아래의 설명으로 원리를 익히고,
다음부터는 나머지를 바로 $ax^2 + bx + c$가 아닌, $(x-1)^2 \cdot a + (3x +2)$로 잡도록 합시다.

일단 $ \boxed{\text{나머지 일차 이하}}$를 모른다 가정하고 문제를 풀어주도록 해주겠습니다.

문제 구조를 확인해 주세요!

$f(x) = (x-1)^2(x+1)Q''(x) + ax^2 + bx + c $ 식에 나머지식을 적용시켜 다시 써줍니다.

$f(x) = (x-1)^2(x+1)Q''(x) + $ $ (x-1)^2 \cdot a + \boxed{\text{나머지 일차 이하}}$

$(x-1)^2$으로 나눈다는 관점에 맞게 정리해주면

$f(x) = (x-1)^2 \left((x+1)Q''(x) + a\right) + \boxed{\text{나머지 일차 이하}}$
$(x-1)^2$으로 나누었을 때 나머지 $ 3x + 2 $ 이므로
$\therefore \boxed{\text{나머지 일차 이하}} = 3x + 2$
결론은
$f(x) = (x-1)^2 \left((x+1)Q''(x) + a\right) + (3x + 2)$
$ax^2 + bx + c$ $= (x-1)^2 \cdot 1 + (3x + 2)$ 가 되는 것이죠!

다음번에는 나머지를 바로 쓸 수 있도록 연습합시다.

남은 풀이를 하도록 할께요.

$f(x) = (x-1)^2 \left((x+1)Q''(x) + a\right) + 3x + 2 $

문제에서 쓰지 않은 남은 조건 $ f(-1) = 3 $을 써줍니다.

$x = -1$ 대입 :
$f(-1) = (-2)^2 \cdot a - 3 + 2$
$3 = 4a - 1$
$\therefore a = 1$

최종 계산 :

$f(x)$를 $(x-1)^2(x+1)$로 나누었을 때 나머지 $ax^2 + bx + c $

$ax^2 + bx + c $

$= (x-1)^2 \cdot a + \text{나머지 일차 이하}$

$a = 1$이고 나머지는 $3x + 2$ 대입

$= (x-1)^2 \cdot 1 + (3x + 2)$
$= x^2 + x + 3$

이 문제는 대부분 미지수의 개수와 주어진 식의 개수가 맞지 않아 연립으로 미지수의 정확한 값을 구할 수 없을 때 나머지의 일부값만 사용하지 않고 나머지 통째로의 식을 사용해 주는 것입니다.

이 문제로 예를 들면,

$f(x) = (x-1)^2Q(x) + 3x + 2 \quad \dots \quad f(1) = 5$

나머지 $ 3x + 2 $에서 $ x =1 $을 대입한 5의 값만 사용해 주는 것이 아니라 $ 3x + 2 $를 통째로 다 사용해 주는 것이죠.

나머지를 통째로 이용하는 이 문제 풀이는 자주 나오기 때문에 꼭 기억해두시길 바랍니다.

위의 문제풀이 흐름을 따라 계속 연습하다보면 나중에는 나머지를 $ax^2 + bx + c $라고 쓰지 않고 바로 $ (x-1)^2 \cdot a + (3x + 2) $ 이렇게 바로 쓰면서 풀이과정이 생략되고 시간은 줄어들 것이니 처음에는 위의 흐름을 따라 연습하도록 합시다.

개념원리 53p 필수예제08

$f(x) = (x^2 + x - 2)Q(x) + 3x - 2$ → 주어진 식

$f(2x - 3) = (x - 2)Q'(x) + R \quad \Rightarrow \quad f(1) = R$

나머지 $R$ 구해

$\Rightarrow f(1) = R $ 이므로 $f(1)$ 구하는 문제라 생각할 수 있겠네요.

$ \Rightarrow $ 주어진 식의 양변에 $x = 1 $을 대입하면 $ x^2 + x - 2 $가 0이되므로 $Q(x)$ 가 사라집니다.

주어진 식 : $f(x) = (x^2 + x - 2)Q(x) + 3x - 2$

$f(1) = 0 \cdot Q(1) + 1 = R$

$\therefore \quad R = 1$

개념원리 53p 필수예제09

$f(x) = (x-2)Q(x) + 5 \quad \cdots \quad f(2) = 5$

$Q(x) = (x+3)Q'(x) + 3 \quad \cdots \quad Q(-3) = 3$

쓰든 안쓴든 식과 나머지정리의 결론을 항상 둘다 생각하고 식 통째로 쓸지 값만 쓸지 판단해주셔야 합니다.

$f(x) = (x+3)Q''(x) + R \quad \cdots \quad f(-3) = R$

구하고자 하는 것은 $ R = f(-3) $ 입니다.

$f(x) = (x-2)Q(x) + 5 $의 양변에 $x = -3 $ 대입

$f(-3) = -5Q(-3) + 5$

$ Q(-3) = 3 $이므로

$ f(-3) = -15 + 5$
$ f(-3) = -10 = R$

$\therefore R = -10$

개념원리 54p 필수예제10

문제에서 $ (x-2) $와 $ (x-3) $를 인수로 가진다 하였으므로

$3x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x-2)(x-3)Q(x)$

인수정리
$f(a) = 0$
$f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나눈 나머지가 0
$f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나누어떨어진다.
$f(x) = (x-a)Q(x)$
$f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 갖는다.

▶풀이 1 ) 수치대입법 이용

$x=2, x=3$을 대입하여 모르는 $Q(x)$를 제거 해주는 풀이 입니다.

주어진 식 양변에 $x = 2 $ 대입
$24 + 4a + 2b + 12 = 0$
$\therefore 2a + b = -18$
주어진 식 양변에 $x = 3 $ 대입
$81 + 9a + 3b + 12 = 0$
$\therefore 3a + b = -31$

결론의 두 식을 연립해주면,

$\therefore a=-13, b = 8$

▶풀이 2 ) $ Q(x) $ 바로 잡고 계수비교법이용

$3x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x-2)(x-3)Q(x)$

$ (삼차) = (이차) \cdot (일차) $이므로 $Q(x)$는 일차식 입니다.

최고차계수는 $3x^3$이므로 $Q(x)$의 $x$ 계수, 상수항 12이므로 $Q(x)$ 상수항을 바로 잡으면 $Q(x) = 3x + 2$가 됩니다.

여기서, 계수비교법을 이용해 전개하여 풀수도 있고 아니면 $x^2, x$만 뽑아서 풀어도 됩니다.

<계수비교법 이용>
$ 3x^3 + ax^2 + bx + 12 $

$= (x-2)(x-3)(3x+2)$

$= (x^2 - 5x + 6)(3x + 2)$
$= 3x^3 - 15x^2 + 18x + 2x^2 - 10x + 12$
$= 3x^3 - 13x^2 + 8x + 12$
$\therefore a = -13, b = 8$

< 필요한 계수만 바로 뽑기 >

▶풀이 3 ) 조립제법 이용

$3x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x-2)(x-3)Q(x)$

참고:) 혹시나 조립제법을 왜 연달아 해주는지 이해하지 못하겠다면 설명을 읽어주세요.

$3x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x-2)(x-3)Q(x)$

여기서 $ (x-2) $를 나누는 식으로 보면 몫은 $ (x-3)Q(x) $이고 나머지는 0 입니다.
$(x-2)$로 나눠 주기 때문에 조립제법의 제일 왼쪽 수는 2가 됩니다.

조립제법으로 2를 해줬을 때 나온 몫은 $ (x-3)Q(x) $인 것이므로
나온 몫을 한번 더 $(x-3)$으로 나누어주면 몫은 $Q(x)$ 나머지는 0이 됩니다.
$(x-3)$으로 나눠 주기 때문에 조립제법의 제일 왼쪽 수는 3이 됩니다.

이러한 과정으로 연달아 조립제법을 해줄 수 있는 것입니다.

개념원리 54p 필수예제 11번

인수정리
$f(a) = 0$
$f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나눈 나머지가 0
$f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나누어떨어진다.
$f(x) = (x-a)Q(x)$
$f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 갖는다.

인수 정리 개념에 의하면,

53p 필수예제 10번 문제처럼
$x-2$, $x-3$을 인수로 가진다. → $3x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x-2)(x-3)Q(x)$
54p 필수예제 11번 문제 처럼
$(x-1)(x+2)$로 나누어 떨어진다. → $x^3 - ax^2 + bx - 2 = (x-1)(x+2)Q(x)$

결국 같은 의미라는 것을 알 수 있겠죠!

$x^3 - ax^2 + bx - 2 = (x-1)(x+2)Q(x)$ 식을 세우고 풀이는 53p 필수예제 10번 처럼 총 3가지의 풀이를 할 수 있습니다.

풀이과정이 아예 같아 이 문제의 풀이는 생략하도록 하겠습니다. 숫자만 바뀐것이나 다름 없으니 위의 풀이를 참고하며 꼭 해보도록 합시다.!!

2. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 52p~54p) 백지테스트.pdf

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 47p~51p) 백지테스트.hwp

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공통수학 1 - 1 - 11. 항등식과 나머지 정리 - 나머지 정리와 인수정리

단디 티쳐 — Mon, 20 Jan 2025 10:00:29 +0900

1단원 -2. 항등식과 나머지 정리 - 나머지정리와 인수정리

이번 글에서는 수학의 중요한 개념인 나머지 정리와 인수 정리를 설명합니다. 이 정리는 다항식을 일차식으로 나누었을 때 나머지와 인수 관계를 빠르게 파악하는 데 매우 유용합니다. 특히, 수학 문제 풀이 과정에서 시간을 절약하고 정확성을 높이는 핵심 원리로 자주 활용됩니다. 예제와 함께 실전 풀이 방법을 익히며, 나머지 정리와 인수 정리를 완벽하게 마스터해 보도록 합시다.

개념원리 공통수학 1 : 47p ~ 51p

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1. 나머지 정리

일차식으로 나눈 나머지 구하는 가장 쉬운 방법

1. $f(x)$를 $(x-a)$인 일차식으로 나누었을 때, 나머지는 항상 상수입니다. 이 나머지를 $R$ 이라한다면 다음과 같은 항등식이 성립합니다 :

$f(x) = (x-a)Q(x) + R$

이 등식은 항등식 입니다.
이 식에서 $(x-a)=0$이 되는 $x=a$를 대입하면:
$f(a) = R$
즉, 다항식 $f(x)$에 $x=a$를 대입한 함숫값은 $(x-a)$로 나눈 나머지와 같습니다.

예를 들어, $f(x) = x^2 - 3x + 3$를 $(x-2)$로 나누었을 때의 나머지는 $f(2)$의 값과 동일합니다. $f(2) = 2^2 - 3(2) + 3 = 1$이므로, 나머지는 $1$입니다.

2. $f(x)$를 $(ax+b)$인 일차식으로 나누었을 때, 나머지는 항상 상수입니다. 이 나머지를 $R$ 이라한다면 다음과 같은 항등식이 성립합니다 :

$f(x) = (ax+b)Q(x) + R$

이 등식은 항등식 입니다.
$(ax+b)=0$되는 $x$값 $x = -\frac{b}{a}$ 를 양변에 대입해주면,
$f\left(-\frac{b}{a}\right) = R$
즉, 다항식 $f(x)$에 $x = -\frac{b}{a}$를 대입한 함숫값은 $(ax+b)$로 나눈 나머지와 같습니다.

따라서, 일차식으로 나눈 나머지를 구할 때는 나누는 식이 0이 되는 $x$ 값을 대입한 함숫값을 계산하는 방식으로 풀이할 수 있습니다.

2. 정수의 인수/ 다항식의 인수

인수란 어떤 수나 식을 나누어 떨어지게 만드는 요소를 의미.

즉, "나누어 떨어지게 하는(나머지가 0이 되는) 수나 식"

1. 정수의 인수
정수 $a$와 $b$가 있을 때, $a$를 $b$로 나누었을 때 나머지가 $0$이라면, $b$는 $a$의 인수입니다.

ex) $6$의 인수
양수 인수: $1, 2, 3, 6$
음수 인수: $-1, -2, -3, -6$
이유 : $6$을 $1, 2, 3, 6$ 또는 $-1, -2, -3, -6$ 으로 나누었을 때 나머지가 항상 $0$이 되기 때문입니다.
식으로 보면 $6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3$
$(주어진 수) = (나누는 수) \cdot (몫) + (나머지)$ 관점으로 보면, 나머지가 0임을 의미합니다.

2. 다항식의 인수
다항식 $f(x)$와 $g(x)$가 있을 때, $f(x)$를 $g(x)$로 나누었을 때 나머지가 $0$이라면, $g(x)$는 $f(x)$의 인수입니다.

다항식을 인수분해 했을 때, 곱으로 표현된 각 항(하나 하나의 덩어리)을 인수라 합니다.

ex) $x^2 - x - 2$의 인수:
$(x-2)$, $(x+1)$, $(x-2)(x+1)$
이유 : $x^2 - x - 2$를 $(x-2)$ 또는 $(x+1)$로 나누었을 때 나머지가 $0$이 되기 때문입니다.
$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$로 인수분해가 가능하기 때문에
$(x-2)$ 또는 $(x+1)$로 나누었을 때 나머지가 $0$
$(x-2)(x+1)$로 나누었을 때도 나머지가 0이기 때문입니다.

3. 인수 정리

다항식 $f(x)$에 대하여 $f(a) = 0$이면, $(x-a)$는 $f(x)$의 인수다.

인수 정리와 나머지 정리의 관계

앞서 배운 나머지 정리의 개념과 함께 생각해보면,

$f(a) = 0$라는 것은 $f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나눈 나머지가 0 임을 의미합니다.
즉, 원래 식은 $f(x) = (x-a)Q(x) + 0$에서 양변에 $x = a$를 대입해 준것이죠.
결과적으로, $f(x) = (x-a)Q(x)$ 식은 보면 $f(x)$가 $(x-a)$를 인수로 가진다는 것도 알 수 있습니다.

최종적으로 인수정리 개념에 대해 정리해보자면

인수정리
$f(a) = 0$
↔ $f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나눈 나머지가 0 (나머지정리 개념)
↔ $f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나누어떨어진다.
↔ $f(x) = (x-a)Q(x)$
↔ $f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 갖는다.

모두 같은 의미라 정리 할 수 있습니다.

4. 나머지정리와 조립제법의 차이

나머지 정리 : 일차식으로 나눈 나머지를 구하는 가장 쉬운 방법
조립제법 : 일차식으로 나눈 몫, 나머지 구하는 방법
→ 몫, 나머지 다 구해야 되는 상황에서는 조립제법, 나머지만 구해도 되는 상황에서는 나머지정리가 편리

특징	나머지 정리	조립제법
주요 기능	일차식으로 나눈
주요 기능	나머지를 구하는 가장 쉬운 방법	몫과 나머지를 동시에 구하는 방법
장점	계산 과정이 간단하며 빠르게 나머지 구할 수 있음	몫까지 필요한 경우 효율적
적용 조건	$x$의 계수에 제한 없음	조립제법 해석시 $x$의 계수가 반드시 1
제약 사항	몫을 구할 수 없음	$x$의 계수가 1이 아닌 경우 추가적인 계산 필요

몫과 나머지를 동시에 구하기 위해 조립제법을 사용할 때, 만약 $x$의 계수가 1이 아닌 경우에는 조립제법의 결과를 쓰고 식변형을 통해 구해줄 수 있습니다. (조립제법 설명 보러가기: 목차 1-3)

5. 예제문제

개념원리 50p 필수예제 05 (1)

$f(x) = 3x^3 - x^2 + ax + 5$

$f(x) = (x - 1)Q _1(x) + 4 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 4$ ← (나머지 정리 결과)

$f(x) = (3x - 1)Q_2(x) + R \quad \Rightarrow \quad f\left(\frac{1}{3}\right) = R$=?

문제를 읽으며 $(주어진 식) = (나누는 식) \cdot (몫) + (나머지)$ 로 바로바로 정리해 줍니다.
추가로, 나머지 정리에 대한 결과도 옆에 함께 쓰는 습관을 가지도록 합시다.
나누는 식이 다르므로 몫도 다르기 때문에 $Q_1(x)$와 $Q_2(x)$로 표현
나머지가 주어져있지 않은 경우 일차식으로 나눈 나머지이므로 상수 $R$을 이용해 함께 써줍니다.

나머지 $R$이 무엇인지 구해야하는데 $f\left(\frac{1}{3}\right) = R$이므로 $f\left(\frac{1}{3}\right)$의 값이 필요합니다.

$f(1) =4 $를 이용해 $f(x) = 3x^3 - x^2 + ax + 5$의 미지수 $a$를 구해주고 $f\left(\frac{1}{3}\right)$의 값을 구해줍니다.

풀이)

$f(1) = 3(1)^3 - (1)^2 + a(1) + 5 = 4$

$\therefore a = -3$

$f\left(\frac{1}{3}\right)$

$= 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 + a\left(\frac{1}{3}\right) + 5$

$= \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - 1 + 5 = 4 = R$

$\therefore R = 4$

개념원리 50p 필수예제 05 (2)

문제를 읽으며 바로 식을 써줍시다!!

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x - 2)Q_1(x) + 12$

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x + 1)Q_2(x) + 6$

$a, b = ?$

모르는 $Q_1(x)$와 $Q_2(x)$를 사라지게 하기 위해 나누는 식이 0되는 $x$값 $x = 2$, $x = -1$을 각각 대입해 줍니다.

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x - 2)Q_1(x) + 12$

$x = 2$ 대입:
$8 + 4a + 2b - 4 = 12$
$\therefore 2a + b = 4 \quad \text{(식 ①)}$

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x + 1)Q_2(x) + 6$

$x = -1$ 대입:
$-1 + a - b - 4 = 6$
$\therefore a - b = 11 \quad \text{(식 ②)}$

식 ①과 식 ②를 연립해주면

$\therefore a = 5, b = -6$

개념원리 51p 필수예제 06 (1)

$f(x) = (x+4)Q(x) + 11 \quad \Rightarrow \quad f(-4) = 11$

$f(x) = (x-3)Q'(x) - 3 \quad \Rightarrow \quad f(3) = -3$

문제에 따라, 식을 이용할 수도 있고 값을 이용할 수도 있으니 처음 배우는 단계라면 식과 나머지 정리 결과 둘 다 항상 함께 쓰도록 합시다.

$f(x) = (x+4)(x-3)Q^n(x) + ax + b$

나누는 식이 이차식이라 나머지 일차 이하이므로 $ax + b$라고 식을 세워 줍니다.

참고:) 나머지 식을 세울 때
나누는식이 2차 → 나머지 일차 이하 = $ax + b$
나누는식이 3차 → 나머지 일차 이하 = $ax^2 + bx + c$

나머지를 구하라 하였으므로 미지수 $a, b$를 구해줘야 합니다.

미지수가 2개이므로 식도 2개가 필요한데 조건으로 $f(-4) = 11$, $ f(3) = -3$인 식2개도 주어졌으므로 이를 이용하여 미지수의 값을 구해 줍니다.

$f(x) = (x+4)(x-3)Q^n(x) + ax + b$

$x = -4$ 대입:
$f(-4) = -4a + b = 11$
$x = 3$ 대입:
$f(3) = 3a + b = -3$

식의 개수와 미지수의 개수가 같다면, 연립 방정식을 이용하여 각각의 미지수 값을 구할 수 있습니다.

중학교 2학년 때 배운 가감법, 대입법을 이용해 연립해줘도 되지만 오늘은 조금 다르게 미지수의 값을 구해보도록 하겠습니다.

그냥 이렇게도 구할 수 있구나 생각만 해주시면 될 것 같아요. 그냥 바로 가감법이용해 두식을 빼주셔도 나오니 그냥 편하게 참고로만 봐주세요.

첫번째 식에서 두번째 식이 되기위해서는? 이라고 생각해 주시면 됩니다. 이렇게 문자 하나의 계수가 맞아 고정시켜둘 수 있을 때 많이 써줍니다.

첫번째 식에서 두번째 식이 되기위해서는 좌변에는 $7a$를 더해줘야 하고, 우변에는 $-14$를 더해줘야 됩니다.
식의 값이 변하지 않게 하기 위해서는 항상 양변에 같은 수를 더하거나 빼줘야 하므로 $7a = -14$ 라는 결론이 나옵니다.

즉, $a=-2$가 나오게되고 남은 $b$는 두 식 중 하나에 $a$값을 대입하여 구해주시면 됩니다.

최종적으로 구하고자 하는 나머지는 $-2x + 3$

개념원리 51p 필수예제 06 (2)

$f(x) = (x-2)Q _1(x) + 3$ $\Rightarrow f(2) = 3$

$f(x) = (x+2)Q_2(x) - 1$ $\Rightarrow f(-2) = -1$

나누는 식이 다르니 몫도 다르게 꼭 표시해줍시다.

$(x^2-x+1)f(x)$를 $(x^2-4)$인 이차식으로 나누었을 때 나머지는 일차이하 이므로 $ax + b$로 미지수 잡아줍니다.

$(x^2-x+1)f(x) =$ $(x^2-4)$ $Q_3(x) + ax + b$

$(x^2-x+1)f(x) =$ $(x+2)(x-2)$ $Q_3(x) + ax + b$

미지수 $a,b$ 값을 구하면 나머지를 구할 수 있습니다.

모르는 $Q_3(x)$를 제거하기 위해 $(x+2)(x-2)$가 0 되는 $x$ 값 2와 -2를 대입해 주도록 할께요.

$x=2$를 대입하면,
$(4-2+1)f(2) = 2a + b$
여기서 $f(2) = 3$이므로 $\therefore 9 = 2a + b , , , \text{(식 ①)}$

$x=-2$를 대입하면,
$(4+2+1)f(-2) = -2a + b$
여기서 $f(-2) = -1$이므로 $\therefore -7 = -2a + b , , , \text{(식 ②)}$

두 식을 연립해주면

$\therefore$ 나머지 $= 4x + 1$

6. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 47p~51p) 백지테스트.pdf

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 43p~44p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 10. 항등식과 나머지 정리 - 확인체크, 연습문제 풀이

단디 티쳐 — Sun, 19 Jan 2025 10:00:55 +0900

1단원 -2. 항등식과 나머지 정리 확인체크 / 연습문제 풀이

이번 글에서는 항등식과 나머지 정리를 중심으로, 다항식 나눗셈과 항등식 문제를 조립제법, 계수비교법, 수치대입법으로 풀이하는 방법을 다룹니다. 개념원리 교재의 확인체크와 연습문제 풀이를 통해 실전에서 활용할 수 있는 빠르고 정확한 풀이법을 익혀보세요.

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1. 확인체크 주요 문제 풀이

개념원리 공통수학 1 : 38p ~ 44p

설명할 문제 : 개념원리 41p 확인체크 64, 66번, 개념원리 44p 확인체크 72번

개념원리 41p 확인체크 64

최고차항이 만들어지는 조합 , 상수항이 만들어지는 조합을 구하고 $3x^2$이 만들어지는 항을 구하여 바로 a,b,c의 값을 구해주도록 합시다!

$\therefore a = 1, b = 3 , c = -2$

개념원리 41p 확인체크 66

$(x+1)(x^2-2)f(x) = x^4 + ax^2 - b$

$x = -1$ 대입 : $0 = 1 + a - b$

$x^2 = 2$ 대입 : $0 = 4 + 2a - b$

연립하면 $a = -3, b = -2$

$\therefore a + b = -5$

이 문제를 언급한 이유는, 우변이 $x^2$에 대한 식이기 때문에 반드시 $x$의 값을 대입할 필요 없이, $x^2$의 값을 한 번에 대입하는 아이디어와 사고 방식을 익히기 위함입니다.

개념원리 44p 확인체크 72번

조립제법을 연달아 하는 풀이를 바로 써줍니다. 원리도 꼭 아셔야 해요.

이전글의 개념원리 44p 발전예제 04 설명을 참고하도록 합시다.

$\therefore abcd = 14$

2. 확인체크 주요 문제 풀이

개념원리 공통수학 1 : 45p ~ 46p

설명할 문제 : 개념원리 45p 73번, 74번, 77번, 78번 /개념원리 46p 79번, 80번, 82번, 84번

개념원리 45p 연습문제 73번

$x^2 - x - 2 = a(x-b)^2 + c(x-b)$ $x$에 대한 항등식

크게 두가지 풀이 방법으로 풀어주도록 할께요.

풀이 1) 항등식의 미정 계수 풀이법 - 수치대입법 이용

$(x-b)$가 반복되므로 $x = b$ 대입

$b^2 - b - 2 = 0$, $(b-2)(b+1) = 0$, $b = 2$ 또는 $b = -1$
$\rightarrow b > 0$ 이므로 $\therefore b = 2$

풀이 2 :) 식의 꼴을 이용

$ (x-b)$가 $(x-2)$이거나 $(x+1)$

$\rightarrow b > 0$ 이므로 $\therefore b = 2$

답은 이미 나왔지만 그래도 다른 미지수 a,c의 값을 구해보면,

$(x-2)$ $(x+1)$ $= (x-2)$ $ \big(a(x-2) + c\big) $

항등식이므로 좌변과 우변의 식이 같기 위해서는

$x+1 = a(x-2) + c$

$x+1 = ax - 2a + c$

$\therefore a = 1$, $-2 + c = 1$, $c = 3$

또는 지난시간에 배운 조립제법과 내림차순 꼴의 항등식 파트를 이용해서 해석하면

$x^2 - x - 2 =$ $a$ $(x-2)^2 +$ $c$ $(x-2) +$ $0$

$(x-2)$가 내림차순꼴로 반복되어있으므로 조립제법을 연달아 해주면

$a=1$, $c=3$ 이라는 결론이 나옵니다.

$\therefore a= 1, b = 2, c = 3$

개념원리 45p 연습문제 74번

$P(x)$는 모르는 애니까 모르는 식을 제거해주는 풀이를 해보도록 하겠습니다.

$(x+1)(x-1)$이 0되는 $x$값 $-1, 1$을 대입

$x = -1$ 대입 시:
$0 = 0 \cdot P(-1) - a + b \quad \therefore -a + b = 0$
$x = 1$ 대입 시:
$6 = 0 \cdot P(1) + a + b \quad \therefore a + b = 6$
미지수 $a, b$ 2개, 식 2개이므로 연립해주면 $a = 3$, $b = 3$입니다.

$P(0)$의 값은?

$P(x)$의 $x$자리에 0이 들어갔으므로 식에 $x=0$을 대입해 줍니다.

$x(x+1)(x+2) = (x+1)(x-1)P(x) + 3x + 3$

$x = 0$ 대입 시:
$0 = -P(0) + 3$
$\therefore P(0) = 3$

개념원리 45p 연습문제 77번

주어진 식을 보면, $P_1(x), P_2(x), P_3(x)$가 등장하므로 이 식을 먼저 써주도록 합시다.

$P_n(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-n)$으로 $P_n(x)$의 경우 $(x-1)$부터 $(x-n)$까지 곱

$P_1(x) = (x-1)$
$P_2(x) = (x-1)(x-2)$
$P_3(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$

최종 식 : $(2x-3)^3 = a + b(x-1) + c(x-1)(x-2) + d(x-1)(x-2)(x-3)$

반복되는 꼴이 있으므로 수치대입법을 이용해 주는데, 미지수 $a, b, c, d$ 4개이므로 식도 4개를 구해줘야 합니다.

즉, 4개의 수를 대입해줘야 합니다.

$x = 1$ 대입 시
$(x-1) = 0$으로 $b(x-1), c(x-1)(x-2), d(x-1)(x-2)(x-3)$ 사라짐
$-1 = a \quad \therefore a = -1$

$x = 2$ 대입 시
$(x-2) = 0$으로 $c(x-1)(x-2), d(x-1)(x-2)(x-3)$ 사라짐
$1 = a + b \quad \therefore b = 2$

$x = 3$ 대입 시
$(x-3) = 0$으로 $d(x-1)(x-2)(x-3)$ 사라짐
$27 = a + 2b + 2c$
$\therefore c = 12$

$x = 0$ 대입 (아무거나 가능, 미지수 4개 식 4개 필요)
$-27 = a - b + 2c - 6d$
$\therefore d = 8$

$\therefore P(0) = 3$

$a - b + c - d = (-1) - (2) + (12) - (8) = 1$

개념원리 45p 연습문제 78번

$x$에 대한 이차방정식 $x^2 + k(2p-3)x - (p^2-2)k + q + 2 = 0$입니다.

이 이차방정식이 ( 실수 $k$값에 관계없이 ) $1$을 근으로 가진다는 것은

( 실수 $k$값에 관계없이 ) $x=1$ 대입 시 성립한다고 해석할 수 있겠죠.!!

$x=1$ 대입
$1 + k(2p-3) - (p^2-2)k + q + 2 = 0$ ← 이 식은 실수 $k$값에 관계없이 성립

$k$에 대한 내림차순 정리 $\rightarrow ( )k + ( ) = 0$꼴

$-p^2 + 2p - 1 = -(p-1)^2 = 0 \quad \therefore p = 1$

$3 + q = 0 \quad \therefore q = -3$

$\therefore p + q = -2$

개념원리 46p 연습문제 79번

일정한 값을 $k$로 두고 식을 써줍니다.

$\frac{4x + ay + b}{x + y - 1} = k$

일정한 값 $k$를 $x, y$ 값에 관계없이 가진다
$\Rightarrow x, y$에 대한 항등식
$\Rightarrow x, y$에 대해 내림차순 정리
(-----)$x + $ ( -----)$y + $ (-----) $= 0$ 정리

$4x + ay + b = k(x + y - 1)$
$\Rightarrow (4 - k)x + (a - k)y + (b + k) = 0$

0을 $0 = 0 \cdot x + 0 \cdot y + 0$ 꼴로 볼 수 있으므로

$4−k=0,a−k=0,b+k=0$

$\therefore k = 4, a = 4, b = -4$

다른 풀이 :)

식을 조금 더 관찰해 보면, "$x, y$ 값에 관계없이 일정한 값"을 가지기 위해서는 모든 계수의 비율이 같아 약분되어 $x, y$값이 제거되면 $x, y$에 어느 값을 넣어도 약분되어 제거되기 때문에 일정한 값을 가지게 됩니다.

주어진 $x$ 계수의 비율이 4배 된 것이므로 $y$와 상수항도 4배 해주면 $a = 4, b = -4$라는 것을 바로 알 수 있습니다.

개념원리 46p 연습문제 80번

$Q(x)$는 모르는 애 입니다. 모르는 애를 제거하기 위해서는 $x^2 - x + 1$을 인수분해 하여 0이 되는 값을 대입해 줘야 하지만, 인수분해가 안되기 때문에 $Q(x)$의 식을 세워 계수비교법 이용해 줍니다.

$(\text{사차}) = (\text{이차}) \times (\text{이차})$ 이므로 $Q(x)$는 이차식이 됩니다.

확인이 쉬운 최고차 계수와 상수항 정도는 맞춰 바로 $Q(x)$를 세워주면 $x^2 + cx + b$ 라고 세울 수 있습니다.

이후 전개하여 계수비교법을 이용하여 줍니다.

다른풀이:)

$x^4 + x^3 + 0 \cdot x^2 + ax + b = (x^2 - x + 1) Q(x)$

계수들로만 생각하여 바로 $Q(x)$를 구해주셔도 됩니다.

$Q(x)$를 구하고 나면 필요한 $x$의 계수와 상수항의 계수만 한번 더 구해주시면 됩니다.

다른풀이 :)

직접 나누기를 이용하여 풀어주는 방법도 있습니다.

참고로 배웠던것을 복습해 보자면, $x^4, x^3, x^2$의 계수와 나누는 식의 계수가 모두 주어져 있으므로 직접 나누기를 이용하면 $Q(x)$를 구할 수 있습니다. 바로 이렇게 생각이 어려운 학생이라면 직접나누기를 하면서 어떤 계수들이 몫에 영향을 미치는지 생각하면서 해보도록 합시다!

개념원리 46p 연습문제 82번

자주 나오는 빈출 유형 입니다.

$ (3 + 2x - 4x^2)^3 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_6x^6 $

$x = 1$ 대입
$1 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_6$
$x = -1$ 대입
$-27 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots + a_6$

추가 참고 :)
$x = 0$ 대입 $27 = a_0$
최고차 계수 비교 $ (- 4x^2)^3 = a_6x^6 $ 이므로 $-64 = a_6$

두 식을 연립해주면

$\therefore -13 = a_0 + a_2 + a_4 + a_6$

가끔 $a_2 + a_4 + a_6$ 를 묻는 경우도 있습니다. 습관적으로 문제 풀이를 하다가 $a_0$를 확인하지 못하고 답을 적는데 꼭 어떤 값의 합을 묻는지 꼼꼼히 확인하고 풀도록 합시다!!

▶ $a_2 + a_4 + a_6 = (a_0 + a_2 + a_4 + a_6) - (a_0) = ( -13 ) - ( 27 ) = -40$

추가로 $a_{\text{홀수}}$ 들의 합을 구하고 싶다면 두식을 빼주시면 됩니다.

개념원리 45p 연습문제 83번

"모든 실수 $x, y, z$에 대하여 $\rightarrow$ $x, y, z$ 에 대한 항등식" 입니다.

$x - y - z = 1$과 $x - 2y - 3z = 0$은 $x, y, z$ 사이의 관계를 나타냅니다.

따라서, 이 관계를 만족하도록 $y$와 $z$를 $x$에 대해 표현한 뒤, 이를 주어진 식에 대입하여 $x$에 대한 내림차순 형태로 정리하면 됩니다.

$x, y$ 관계 구하기 위해 $z$ 제거 $\rightarrow z$ 계수 맞춰줌

$x, z$ 관계 구하기 위해 $y$ 제거 $\rightarrow y$ 계수 맞춰줌

(주어진 식 ) = $axy + byz + czx = 12$

$a x (2x - 3) + b (2x - 3)(-x + 2) + c (-x + 2)x = 12$

$2a x^2 - 3a x - 2b x^2 + 7b x - 6b - c x^2 + 2c x = 12$

$x$에 대해 내림차순 정리

$(2a - 2b - c)x^2 + (-3a + 7b + 2c)x + (-6b - 12) = 0$

0을 $0 = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0$ 꼴로 볼 수 있으므로

$2a - 2b - c = 0$, $-3a + 7b + 2c = 0$, $-6b - 12 = 0$

나온 결과를 연립해주면

$a = 6$, $c = 16$, $b = -2$

$\therefore a+b+c = 20 $

개념원리 45p 연습문제 84번

$ x^n(x^2 + ax + b) = (x - 3)^2 Q(x) + 3^n(x - 3) $

$x-3$이 반복되므로, $ x = 3$ 대입
$ \rightarrow 3^n(9 + 3a + b) = 0 $
$ 3^n \neq 0$ 이므로 $9 + 3a + b = 0$ → $b = -3a - 9 $

이를 다시 처음 식에 적용해주고 $(x-3)$을 묶어주면

$ (x - 3)$ $x^n(x + a + 3)$ $= (x - 3)$ $ \large((x - 3)Q(x) + 3^n\large))$ 입니다.

$ x^n(x + a + 3) = (x - 3)Q(x) + 3^n $ 이므로

$ x = 3$ 대입

$ 3^n(6 + a) = 3^n $

좌변과 우변이 같기 위해

$ 6 + a = 1 \quad \therefore a = -5 $

$ b = -3a - 9 \quad \therefore b = 6 $

$ \therefore ab = -30 $

다른풀이 :)

인수분해를 이용해도 좋지만, 다음글에서 배울 내용을 미리 이용해서 풀어보자면,

$9 + 3a + b = 0$를 구하는 과정 까지는 내용이 동일하지만, 해석하는 것이 차이가 있습니다.

$9 + 3a + b = 0$을 $x^2 + ax + b$ 에 $x = 3$ 대입 시 $0$이 된다 생각 할 수 있습니다.

그러면 인수정리에 의해 $x^2 + ax + b$가 $(x - 3)$을 인수로 가진다 할 수 있습니다.

즉, $ x^n(x^2 + ax + b) = (x - 3)\left(x - \frac{b}{3}\right)$ 로 최고차와 상수항 맞춰 바로 인수분해 가능

$ x^n(x^2 + ax + b) = (x - 3)^2 Q(x) + 3^n(x - 3) $

$x^n$ $(x-3)$ $\left(x - \frac{b}{3}\right) =$ $(x - 3)$ $\big((x - 3)Q(x) + 3^n\big)$

$x^n\left(x - \frac{b}{3}\right) = (x - 3)Q(x) + 3^n$

$x = 3$ 대입

$3^n\left(3 - \frac{b}{3}\right) = 3^n$

$\therefore 3 - \frac{b}{3} = 1 \implies$ $b = 6$

$\Rightarrow (x - 3)\left(x - \frac{b}{3}\right) = (x - 3)(x - 2)$

$x^2 + ax + b = (x - 3)(x - 2)$ 인 것이므로 전개해주면 $a = -5$

$\therefore ab = -30$

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 9. 항등식과 나머지 정리 - 다항식의 나눗셈과 항등식

단디 티쳐 — Sat, 18 Jan 2025 10:00:15 +0900

1단원 - 2. 항등식과 나머지 정리 - 항등식과 방정식

지난 글에 이어 이번 글에서는 항등식의 성질을 기반으로 조립제법, 계수비교법, 수치대입법을 활용해 다항식 나눗셈 문제를 효과적으로 푸는 방법을 소개합니다. 다항식 나눗셈은 수능과 내신 대비에서 반드시 알아야 할 핵심 개념이며, 반복 학습을 통해 실전에서도 빠르고 정확한 풀이가 가능합니다. 이번 내용을 통해 문제 해결 능력을 한 단계 끌어올려 보세요.

개념원리 공통수학 1 : 43p ~ 44p

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1. 문제 풀이에 이용할 주요 개념

다항식의 나눗셈에 대한 등식 (검산식)
"(주어진 식) = (나누는 식) $ \cdot $ (몫) + (나머지) " 로 정리 가능

이렇게 배웠었죠?

다항식의 나눗셈에 대한 등식도 우변을 전개하면 좌변과 우변의 식이 같기 때문에 항등식이라고 할 수 있습니다.

항등식이기 때문에 당연히 미정계수법인 수치대입법과 계수비교법을 모두 사용할 수 있겠죠.

이제 다항식의 나눗셈에 대한 등식을 항등식 관점에서 보고 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

2. 예제 문제

설명할 문제 : 개념원리 43p 필수예제 03, 개념원리 44p 발전예제 04

개념원리 43p 필수예제 03 (1)

$x^3 + ax + b = (x^2 - 3x + 2)Q(x) + 2x + 1$

문제를 읽으며 바로 식을 써줘야 합니다. 몫은 주어져 있지 않기 때문에 $Q(x)$로 두고 식을 써줍니다.

식을 분석해보면, $Q(x)$는 구체적인 식이 주어지지 않았으므로 모르는 식입니다.
이 모르는 식을 제거 하는 쪽으로 풀이를 할 수 있고,
좌변이 삼차식이므로 우변도 삼차식이여야 하기 때문에 나누는식 2차에 몫 1차를 곱해줘야 삼차식이 된다는 단서를 뽑아 풀이를 할 수도 있습니다.
( 물론 직접 나누기 방법을 이용 할 수도 있습니다.)

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$로 인수분해가 가능
$x=1$과 $x=2$ 대입시 0이 되어 모르는 식인 $Q(x)$를 제거 가능
그래서 방법 1을 사용하여 풀이해 줍니다.
( 당연히 방법 2, 직접나누기 방법도 가능하지만, 문제를 분석하여 가장 효율 적인 풀이를 할 수 있어야 합니다.)

$x^3 + ax + b = (x^2 - 3x + 2)Q(x) + 2x + 1$

$x^3 + ax + b = (x-1)(x-2)Q(x) + 2x + 1$

개념원리 43p 필수예제 03 (2)

$x^3 + ax^2 + bx + 2 = (x^2 + x + 1)Q(x)$

나누어 떨어지면 나머지는 $0$입니다. 몫은 주어져 있지 않기 때문에 $Q(x)$로 두고 식을 써줍니다.

방법 1을 쓰려고 하니까 $x^2 + x + 1 = 0$ 되는 $x$값을 넣어줘야 하는데, 인수분해가 안 돼서 $x$값을 구할 수 없습니다. $\Rightarrow$ 방법 2 사용

좌변이 삼차식이므로 우변의 $Q(x)$는 일차식이 됩니다.

이 방법이 조금 헷갈리거나 힘들다면 처음에는 $px+q$로 두고 비교해주셔도 되지만 가능하시다면 눈으로 최고차, 상수항을 보고 바로 $x+2$를 적을 수 있도록 합시다.

이후, 우변의 식을 전개하여 $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$를 적고, 계수 비교를 해주셔도 되고,

전개한 식을 직접 적지 않더라도 구하고자 하는 $x^2$과 $x$의 계수를 만드는 것만 계산해도 됩니다.

개념원리 43p 필수예제 03 - 직접 나누기 방법 사용

모든 풀이 과정에는 배울점이 있다고 생각합니다.

개념원리 풀이에 (2)에 대한 직접 나누기는 풀이되어있기 때문에 (1)에 대해 설명하도록 할께요.

이렇게 답을 구해주고 나면 끝입니다. 답은 나왔지만 문제를 보는 눈을 더 기르기 위해 조금만 분석을 해볼까요 ?

심화 문제집에 이 아이디어를 이용해서 푸는 문제가 있어 언급해 봅니다.

직접나누기 방법을 사용하니까 아예 $Q(x)$ 식이 구해짐
$x^3 + ax + b$ 식의 삼차계수와 이차계수가 주어져 있음
또한 나누는 식의 $x^2 - 3x + 2$도 이차계수와 일차계수가 주어져있음
이 계수들이 몫을 정하는데 관여하는 계수들임
즉, 이러한 계수를 줬다는 것이 $Q(x)$를 직접 준 것이나 다름 없는 것이죠.

위의 설명이 잘 이해가 안된다면, 아래의 그림을 보고 아! 계수비교로도 $Q(x)$ 바로 식세울 수 있네 ! 하셔도 좋습니다. ^^

$x^3 + ax + b = (x^2 - 3x + 2)Q(x) + 2x + 1$ 식까지만 쓰고 어떻게 풀지 고민할때,

주어진 식이 3차이고 2차항까지 계수가 나왔네?
나누는식도 2차,1차항까지는 주어져있네?
$\Rightarrow$ '직접나누기를 하면 $Q(x)$의 식을 구할 수 있겠네'

이 생각도 하실 수 있다면 아주 좋습니다.

$x^3 + ax^2 + bx + 2 = (x^2 + x + 1)Q(x)$ 의 경우에는 $ax^2$인 이차항의 계수가 미지수니 직접나누기에서는 몫이 정확하게 나오지는 않겠죠 ?

이정도까지만 하고 다음번에 심화문제집 포스팅을 할 때 이 내용을 언급하면서 한번 더 다뤄보도록 하겠습니다. 반복해서 여러가지 풀이법을 공부하도록 합시다.

개념원리 43p 필수예제 04 - 조립제법과 내림차순 꼴의 항등식

문제의 주어진 식을 보면 우변의 $(x-1)$이 2차, 1차로 반복되며 내림차순 정리되어 있습니다.

조립제법을 연달아 쓰는 유형인데, 단순히 '이런건 이렇게 푸네' 외우기 보다는 원리를 이해하고 반복하여 응용문제가 나와도 풀 수 있는 실력을 기르도록 합시다.

주어진 식의 우변을 $(x-1)$로 묶어줍니다.

그러면 나눗셈 식 및 나머지 관계로 식을 해석할 수 있습니다.

일차식으로 나눈 몫, 나머지를 구하는 방법인 조립제법을 이용해 몫과 나머지를 구해줍니다.

$(x-1)$로 나눠주기 때문에 맨왼쪽 수는 1입니다.

몫: $a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 3x^2 + 3x + 2$, 나머지: $d = 4$

몫의 결론으로 $3x^2 + 3x + 2 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$가 나왔는데, 이를 $(x-1)$로 한 번 더 묶어줍니다.

그러면 $3x^2 + 3x + 2$를 $(x-1)$로 나눴을 때 몫과 나머지를 구하는 것이므로 한 번 더 조립제법 해줍니다.

나온 몫을 $(x-1)$로 한번 더 나눠 주는 거라 이전 조립제법 결과에 이어서 해줄 수 있습니다.

몫: $a(x-1) + b = 3x + 6$, 나머지: $c = 8$

몫의 결론으로 $3x + 6 = a(x-1) + b$이 나왔는데, $3x + 6 = (x-1)a + b$로 정리하여 $3x + 6$을 $(x-1)$로 나눴을 때 몫과 나머지를 구하는 것이므로 한번 더 조립제법이 가능합니다.

몫: $a=3$, 나머지: $b=9$

이렇게 $a, b, c, d$ 값을 모두 구할 수 있습니다. $a=3$, $b=9$, $c = 8$, $d = 4$

역으로 조립제법의 결과만 보고 해석하는 과정도 해보도록 하겠습니다.

맨 왼쪽의 수가 1이기 때문에 $(x-1)$로 나누었을 때를 반복하는 것입니다. 조립제법 해석시 주의해야 할 점은 나누는 식의 $x$ 계수를 1로 해석해야합니다.

식을 차근차근 하나씩 써가며 해석 할 수 있어야 합니다.

조립제법의 결론으로 식을 구하는 과정을 해보았으니 자주 반복해 써보시고 이게 익숙해 졌다면 다음번에 문제에 나왔을 때는 아래의 결론으로 바로 식을 구해낼 수 있어야 합니다.

위의 풀이를 참고하여 아래의 문제를 연습해 보세요. 자주 등장하는 유형이니 반복 학습을 권장 합니다.

문제
$2x^3 - 3x^2 - 4x + 2 = a(2x+1)^3 + b(2x+1)^2 + c(2x+1) + d$
$a + b + c + d$의 값은?

$\therefore \text{답 } =$ $\frac{11}{4}$

개념원리 43p 필수예제 04 - 다른풀이

방법 1 ) 문제에서 주어진 식의 우변을 다 전개하여 계수비교법을 이용 하는 방법

방법 2 ) 값들을 넣어가며 수치대입법을 이용하는 방법

방법 3) $x - 1 = X$로 치환하여 계수비교법을 이용하는 방법

방법1의 경우 우변에 미지수도 많고 정리가 힘들기 때문에 비추천하는 방법입니다.

방법2의 경우도 a,b,c,d 미지수가 4개라 식도 4개를 구해 연립까지 해줘야 하므로 귀찮은 방법입니다.

제 생각에는 그나마 괜찮은 풀이는 제가 처음 설명했던 조립제법을 연달아 하는 메인 풀이와 방법3 정도의 풀이가 좋은 것 같아 아래에서 방법3의 풀이를 간단하게 언급하고 넘어가도록 하겠습니다.

방법3 풀이)

$x - 1 = X$이므로 $x = X + 1$

$3(X+1)^3 - (X+1) + 2 = aX^3 + bX^2 + cX + d$

좌변을 전개하여 정리하면

$3X^3 + 9X^2 + 8X + 4 = aX^3 + bX^2 + cX + d$

$\therefore a = 3, b = 9, c = 8, d = 4$

3. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 43p~44p) 백지테스트.pdf

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 38p~42p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 8. 항등식과 나머지 정리 - 항등식과 방정식 : 개념과 문제풀이법

단디 티쳐 — Wed, 15 Jan 2025 11:29:16 +0900

1 단원 - 2. 항등식과 나머지 정리 - 항등식과 방정식

고등학교 수학에서 항등식과 방정식은 필수 개념입니다. 방정식은 특정 값에서만 성립하는 해를 찾는 것이 목적이지만, 항등식은 모든 값에 대해 항상 성립하는 식입니다. 이를 효과적으로 풀이하기 위해 미정계수법의 계수비교법과 수치대입법을 이해하는 것이 중요합니다.

이번 글에서는 개념원리 교재 예제 문제를 통해 항등식과 방정식의 차이를 설명하고, 실제 시험에서 자주 출제되는 유형별 풀이법을 소개합니다. 각 방법의 장단점을 비교하며 학습하면 수능 및 내신 대비에 도움이 될 것입니다.

개념원리 공통수학 1 : 38p ~ 42p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

배울 내용 요약

방정식

$2x - 1 = 3$ $\Rightarrow x = 2$
특정 $x$에 대해서만 성립
목적: 특정 $x$를 구하는 것 (즉, 해를 구하는 것)

항등식

$2x - 1 = ax - 1$ $\Rightarrow a = 2$
" 어떤 $x$ 값에 대하여도, 모든 $x$에 대해서, 임의의 $x$에 대해서, $x$에 관계없이 " 성립
목적: 식을 항등식으로 만들어 주는 것
- "미정계수법"
  1. 계수비교법: 양변의 동류항 계수 비교 - 항등식 성질 이용
  2. 수치대입법: 적당한 수를 대입하여 값이 같음을 이용 - 항등식 정의를 이용

1. 항등식과 방정식

방정식의 목표는 '식을 만족하는 근,해 구하는 것이 목표' 라면, 항등식은 '좌변과 우변을 같은 식으로 만들어 주는 것이 목표' 입니다.

방정식의 $2x - 1 = 3$

$x$에 3을 대입했을 때 성립하지 않습니다.
$x$에 4를 대입해도 성립하지 않습니다.
$x$에 2를 대입했을 때만 성립합니다.
즉, 특정 값에서만 식을 만족하고 이를 만족하는 $x$값을 구하는 것이 목표이자 답

항등식은 문자에 어떤 값을 넣어도 '항'상 성립하는 '등식'을 보고 항등식이라고 합니다. 그렇다면 좌변과 우변의 식이 같아야 항상 값도 같고 등식도 성립하겠죠?

항등식의 $2x - 1 = ax - 1$

좌변과 우변의 식이 같아지게 우변의 $x$의 계수 $a$를 2로 만들어주면 된다.
$2x - 1 = 2x - 1$ 로 식이 같아지면 $x$에 1을 대입하든, 2를 대입하든 항상 성립
즉, 어떤 $x$ 값에 대하여도, 모든 $x$에 대해서, 임의의 $x$에 대해서, $x$에 관계없이 성립한다

2. 항등식의 성질

그래서 나오는 항등식의 성질로는

$ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'$ 이 $x$에 대한 항등식
↑↓ 각각의 계수가 같아야 하므로
$a = a', b = b', c = c'$

$ax^2 + bx + c = 0$ 이 $x$에 대한 항등식
- 0을 좌변의 꼴과 같게 생각해주면, $ax^2 + bx + c = 0x^2 + 0x + 0$

↑↓ 각각의 계수가 같아야 하므로
$ a = 0, b = 0, c = 0$

이렇게 계수를 맞춰 좌변과 우변의 식이 같도록 해주면 됩니다.

결론/정리 :

항등식의 정의 : 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식
항등식의 성질
① $ax^2 + bx + c = 0$이 $x$에 대한 항등식 $\Leftrightarrow a = 0, b = 0, c = 0$
② $ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'$이 $x$에 대한 항등식 $\Leftrightarrow a = a', b = b', c = c'$

아직 조금 헷갈린다면 단순하게 말하자면 방정식과 항등식의 차이는 방정식은 $x$ 값을 구하는 것이라면, 항등식은 계수를 구하는 것 입니다.

3. 항등식에서의 "기준문자"

어떤 $x$ 값에 대하여도/ 모든 $x$에 대해서/ 임의의 $x$에 대해서/ $x$에 관계없이 성립하는
$\Rightarrow "x에 대한 항등식" $

어떤 $k$ 값에 대하여도/ 모든 $k$에 대해서/ 임의의 $k$에 대해서/ $k$에 관계없이 성립하는
$\Rightarrow "k에 대한 항등식" $

어떤 $x, y$ 값에 대하여도/ 모든 $x, y$에 대해서/ 임의의 $x, y$에 대해서/ $x, y$에 관계없이 성립하는
$\Rightarrow "x, y에 대한 항등식" $

이렇게 어떤 문자를 기준으로 봐주는지에 따라 같은 식이여도 답이 달라질 수 있습니다.

예를 들어, $kx + y = 0$ 이라는 식에서 기준문자를 바꿔가며 풀어보도록 하겠습니다.

$x$에 대한 항등식으로 보는 경우

$x$를 문자로, 다른 이외의 것은 다 상수로 보기 ( 즉, $k, y$는 상수 취급) $\Rightarrow x$ 의 계수비교

0을 $0x + 0$으로 볼 수 있음

$\Rightarrow kx + y = 0x + 0$

$\therefore k = 0 , y = 0$

$k$에 대한 항등식으로 보는 경우

$k$를 문자로, 다른 이외의 것은 다 상수로 보기 ( 즉, $x, y$는 상수 취급) $\Rightarrow k$ 의 계수비교

0을 $0k + 0$으로 볼 수 있음

$\Rightarrow xk + y = 0k + 0$

$\therefore x = 0 , y = 0$

이처럼, 같은 식이더라도 어떤 문자를 기준 문자로 보냐에 따라 답이 달라 질 수 있으니 무조건 $x$의 계수만 비교하지 않도록 합시다.

4. 미정계수법

항등식을 푸는 방법은 "정해지지 않은(미정) 계수를 구하는 법 : 미정계수법"을 이용합니다.

미정계수법에는 두가지가 있습니다.

1. 계수비교법 : 좌변과 우변의 식이 같아야 한다는 항등식의 성질을 이용해서 동류항의 계수를 비교하는 방법

2. 수치대입법 : 문자에 어떤 값을 넣어도 성립한다는 항등식의 정의를 이용해서 계수를 구하는 방법

아래의 예제 문제를 보면서 두가지 방법을 비교해 보도록 하겠습니다.

5. 예제 문제

항등식과 방정식 문제는 고등 수학 내신과 수능 대비에서 필수적으로 다루는 유형입니다. 예제별 풀이를 통해 항등식 문제 해결 전략을 배워 시험에 자주 출제되는 핵심 유형을 쉽게 이해할 수 있습니다. 빠르고 정확한 풀이를 위해 다양한 접근법을 비교하며 학습해 보세요!

설명할 문제 : 개념원리 41p 필수예제01, 개념원리 42p 필수예제02

개념원리 41p 필수예제01 (1)

풀이1. 계수비교법 이용

전개하여 동류항 계수를 비교해 줍니다.

전개할 때 부터 이렇게 동류항끼리 세로로 정리해가며 전개해주면 나중에 계산이 편리하답니다.

여튼, 전개해주고 각 동류항의 계수를 비교해주면

$a - 1 = b$, $-3 - a = -2$, $3 = c$

$\therefore a = -1, b = -2, c = 3$

풀이2. 수치대입법 이용

항등식은 기준문자에 어떤 값을 넣어도 성립한다는 점을 이용한 방법입니다.

아무값이나 넣어도 성립하는 것은 맞지만 그래도 어느수를 넣냐에 따라 계산이 복잡할 수도 있고 편리할 수도 있습니다.

예1)

$x = 100$ 대입 $\to$ $99 \left(100^2 + 100a - 3 \right) = 100^3 + 100^2b - 200 + C$

$\to$ 계산이 복잡

예2)

$x = 0$ 대입 시, 우변은 $c$만 남게 됩니다.
$\to$ $(-1)(-3) = c $

$\to$ $c = 3 $

$c$의 값을 바로 구하기 가능

답은 결국 같게 나오겠지만, 이렇게 어떤 값을 대입하냐에 따라 풀이가 복잡할수도, 편리할 수도 있습니다.

저는 아래와 같이 값을 대입해 주었지만, 다른 값을 넣어서 풀었다고 해서 잘못된 풀이 인것은 아닙니다.

최종 풀이 :

$x = 0$ 대입 $\to$ $(-1)(-3) = c $ $\therefore c = 3$

$x = 1$ 대입 $\to$ $(x - 1) = 0$에 의해 좌변 통째로 $0$됨
$0 = 1 + b - 2 + c$ $\therefore b = -2$

$x = -1$ 대입

$-2(1 - a - 3) = -1 + b + 2 + c$ $\therefore a = -1$

최종답 : $\therefore a = -1, , b = -2, , c = 3$

개념원리 41p 필수예제01 (2)

풀이1. 계수비교법 이용

전개하여 동류항 계수를 비교해 줍니다.

$a + b + c = 2$, $-a - 2b + c = -6$, $-2a = -2$
세 번째 식에 의해 $a = 1$이라는 결론
첫 번째, 두 번째 식을 $a = 1$로 대입하여 정리 후 연립

$\therefore a = 1$, $b = 2$, $c = -1$

풀이2. 수치대입법 이용

적당한 수를 넣어가며 값이 같음을 이용해 줍니다.

주어진 식을 보면

$(x+1), (x-2), x$가 반복되는 것을 알 수 있습니다.

$x = 0$ 대입 시 $x$를 포함한 항 사라지고 $a$ 관련식 남음
$-2 = a(1)(-2) + 0 + 0 \Rightarrow a = 1$
$x = -1$ 대입 시 $x+1$을 포함한 항 사라지고 $b$ 관련식 남음
$2 + 6 - 2 = 0 + b(-1)(-3) + 0 \Rightarrow b = 2$
$x = 2$ 대입 시 $x-2$를 포함한 항 사라지고 $c$ 관련식 남음
$8 - 12 - 2 = 0 + 0 + c(2)(3) \Rightarrow c = -1$

최종 결론 : $\therefore a = 1$, $b = 2$, $c = -1$

미정계수법 문제는 계수비교법과 수치대입법 중 하나를 선택해 풀이합니다.

반복되는 항이 있는 경우: 수치대입법이 편리한 경우가 많습니다.
반복되는 항이 없거나 전개가 간단한 식: 계수비교법을 사용하면 더 빠릅니다.

단, 모든 문제에 동일하게 적용되는 것은 아니며, 문제 유형에 따라 풀이법을 선택해야 합니다. 두 가지 방법을 모두 연습해 보며 자신에게 익숙한 방법을 찾는 것이 중요합니다.

미정계수법 요약/정리
1. 계수비교법
- 전개하여 양변의 동류항 계수 비교
- 좌변 우변 식 같게 (항등식 성질 이용)
- 반복되는 꼴이 없거나 전개가 쉬운 식에서 사용

2. 수치대입법
- 적당한 수를 대입하여 값이 같음을 이용
- 문자에 어느값을 넣어도 성립 (항등식 정의를 이용)
- 반복되는 꼴이 있는 경우 사용

개념원리 42p 필수예제02 (1)

문제에서 "등식 ~ 이 k의 값에 관계없이 항상 성립할 때" 라는 멘트가 나왔습니다. 그렇다면 $k$에 대한 항등식 이라고 생각할 수 있는데 항등식은 좌변과 우변의 식을 같게 해줘야 하기 때문에 기준문자 k 기준 내림차순 정리를 해서 각 항의 계수를 비교해주면 됩니다.

정리하자면, 위의 4가지 멘트가 나오면 " 기준문자에 대한 항등식이구나 " 생각 후 바로 " 기준문자에 대해 내림차순 정리 해보자 " 이렇게 바로 나와야 합니다.

문제의 주어진 식을 k에 대해 내림차순 정리를 해줄텐데, 저의 경우 속도를 좀 더 빠르게 하기 위해 아래와 같은 방법으로 식을 빠르게 정리하도록 합니다.

1. 식을 보고 기준문자의 최고차수를 판단한다.

이 문제에서는 기준문자 k의 최고 차수는 1

2. 내림차순 정리 틀을 먼저 만들어 준다.

이 문제에서는 k 최고 차수가 1이므로 ( 비워두기 )$k$ + ( 비워두기 ) = 0 틀 만들어 두기

ex) k의 최고 차수가 2인경우 ( 비워두기 )$k^2$+ ( 비워두기 )$k$ + ( 비워두기 ) = 0 틀 만들어 두기

3. 이후 차례로 전개하면서 괄호안에 바로바로 적기

주어진 식을 눈으로 차례 대로 전개하면서

머리로 $2kx$ 생각 -> (k 있으니) 첫번째 괄호에 $2x$ 적기

머리로 $-x$ 생각 -> (k 없으니) 두번째 괄호에 $-x$ 적기

머리로 $ky$ 생각 -> (k 있으니) 첫번째 괄호에 $y$ 적기

...

이렇게 바로바로 내림차순 정리 꼴로 적어줍니다. 그냥 전개해서 정리하셔도 되고 굳이 이 방법으로 하실 필요는 없지만 조금이나마 도움이 되었으면 하는 바램으로 적어봅니다. 조금 익숙해 지면 속도 정확성 다 잡을 수 있으니 연습해보는 것도 좋을 것 같아요.

이후, 우변의 0의 경우 $0k+0$으로 볼 수 있으므로 계수비교법을 이용하면, $2x + y - 1 = 0$, $-x + y - 7 = 0$

미지수가 2개고 식도 2개이므로 연립해주면 각각의 $x$, $y$값을 구할 수 있습니다.

최종 결론 : $\therefore x = -2$, $y = 5$

개념원리 42p 필수예제02 (2)

문제에서 "모든 실수 $x, y$" 멘트가 나왔습니다.
$\Rightarrow x, y$에 대한 항등식
$\Rightarrow x, y$에 대해 내림차순 정리

$x, y$의 최고차가 각각 1차이므로 $\rightarrow (\text{비워두기})x + (\text{비워두기})y + (\text{비워두기}) = 0$ 틀 만들고 바로 넣기

$(a-b+2)x + (-2a+3b-3)y = 0$ 의 식으로 정리 됩니다.
우변이 $0$인 경우 $0 \cdot x + 0 \cdot y$로 볼 수 있습니다.
$(a-b+2)x + (-2a+3b-3)y = 0 \cdot x + 0 \cdot y $

계수 비교법을 이용하여 $x, y$ 계수를 같게 해주면
$a-b+2 = 0$, $-2a+3b-3 = 0$

미지수 $a, b$ 2개, 식 2개이므로 연립해주면 $a, b$ 값을 구할 수 있습니다.

최종 결론 : $\therefore a = -3$, $b = -1$

6. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 38p~42p) 백지테스트.pdf

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 10p~35p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 7. 다항식의 연산 RPM 주요 문제 풀이

단디 티쳐 — Mon, 13 Jan 2025 10:00:12 +0900

1단원 - 1. 다항식의 연산 RPM 주요 문제 풀이

다항식의 연산은 고등학교 수학에서 필수적인 단원으로, 수능 기출 문제, 내신 대비, 모의고사 고난도 문제 해결에 꼭 필요한 지수 법칙, 분배 법칙, 곱셈 공식 등을 다룹니다. 이번 글에서는 RPM 수학 교재를 활용해 다항식 연산 주요 문제 풀이와 고등학교 내신 대비를 위한 필수 유형을 정리했습니다. 이를 통해 자주 등장하는 핵심 공식과 유형별 문제 풀이법을 익히고, 고난도 문제에도 자신감을 얻을 수 있습니다. 빠르게 복습이 필요한 학생이라면 아래의 문항만이라도 꼭 복습하도록 합시다.

RPM 공통수학 1 : 6p ~ 19p

설명할 문제 :

RPM 11p 53번

RPM 13p 13p 62번, 64번, 68번

RPM 15p 78번

RPM 16p 83번, 84번, 87번

RPM 17p 91번, 92번, 94번

RPM 18p 102번

RPM 19p 105번, 107번, 109번, 110번

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

RPM 11p 53번

숫자 계산이 복잡하다면, 반복되는 수나 식은 하나의 문자로 치환 후 정리해 주도록 합시다.

$\left((5+2a)^3 - (5-2a)^3\right)^2 - \left((5+2a)^3 + (5-2a)^3\right)^2 = \left(A^3 - B^3\right)^2 - \left(A^3 + B^3\right)^2$

$5+2a$와 $5-2a$가 반복되므로 $5+2a = A$, $5-2a = B$라 치환해줍니다.

((5+2a)^3 - (5-2a)^3)^2 - ((5+2a)^3 + (5-2a)^3)^2 = (A^3 - B^3)^2 - (A^3 + B^3)^2$

$AB$ 값 계산:
$AB = \left(5+2a\right)\left(5-2a\right) = 25 - 4a^2 = -3 \quad \text{(여기서 $a^2 = 7$임으로 계산)}$
최종 계산:
$\left(A^3 - B^3\right)^2 - \left(A^3 + B^3\right)^2 = (-2B^3)(2A^3) = -4\left(AB\right)^3 = -4 \times \left(-27\right) = 108$

RPM 13p 62번

구하고자 하는 식을 먼저 보면

A^2 + B^2 + C^2 = (A + B + C)^2 - 2(AB + BC + CA)공식 사용 위해 (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 로 정리

$A^2 + B^2 + C^2 = (A + B + C)^2 - 2(AB + BC + CA)$ 공식을 이용하는데, 천천히 괄호를 이용해 정리해 줍니다.

A^2 + B^2 + C^2 = (A + B + C)^2 - 2(AB + BC + CA) 공식을 이용하여 (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 을 푸는 과정

주어진 $a + b + c = 4$, $abc = -6$이므로 $ab + bc + ca$의 값만 구해주면 됩니다.

$ab + bc + ca$ 값 구하는 과정

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

$16 = 14 + 2(AB + BC + CA)$

$\therefore ab + bc + ca = 1$

최종계산 :

$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = (ab + bc + ca)^2 - 2abc(a + b + c)$

$= (1)^2 - 2(-6)(4)$

$= 1 + 48$

$= 49$

RPM 13p 64번

계산하는 과정이 복잡하니 여러번 반복하면서 구조를 보도록 합시다. 식을 정확히 쓰고 주어진 것과 구해야하는 것이 무엇인지 정확히 파악하며 문제를 풀어야 합니다.

구하고자 하는 식을 먼저 보면

A^2 + B^2 + C^2 = (A + B + C)^2 - 2(AB + BC + CA) 공식 사용 위해 (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 로 정리

$A^2 + B^2 + C^2 = (A + B + C)^2 - 2(AB + BC + CA)$ 공식을 이용하는데, 천천히 괄호를 이용해 정리해 줍니다.

A^2 + B^2 + C^2 = (A + B + C)^2 - 2(AB + BC + CA) 공식을 이용하여 (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 계산

$a^2 + b^2 + c^2 = 8$이므로 구해야 하는 것은 $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$입니다.

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$ 구하는 과정 - RPM 62번 참고

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = (ab + bc + ca)^2 - 2abc(a + b + c)$

이 식에서 $a + b + c = 0$ 이므로 $- 2abc(a + b + c)$ 항은 0 입니다. $ ab + bc + ca $의 값만 구해주면 됩니다.

$ ab + bc + ca $ 값 구하는 과정 - $a^2 + b^2 + c^2 = 8$, $a + b + c = 0$ 주어짐
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$
$0 = 8 + 2(ab + bc + ca)$
$\therefore ab + bc + ca = -4$

다시 식으로 돌아와서

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = (ab + bc + ca)^2 - 2abc(a + b + c)$

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = (-4)^2 - 2abc(a + b + c)$

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 16 - 0$

$\therefore a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 16$

최종계산:

$a^4 + b^4 + c^4 $

$= (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 $

$= (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$

$= 8^2 - 2(16)$

$= 64 - 32$

$= 32$

$\therefore a^4 + b^4 + c^4 = 32 $

RPM 13p 68번

수 자체로 전개해서 계산하셔도 되지만 문자로 치환 후 식을 정리해주고 계산해주면 조금 더 편리 할 수 있습니다.

수를 문자로 치환한 후 계산하는 과정을 해보면,

$102 = a, \sqrt{105} = b$ 라 하면

$\frac{(a+b)^3 + (a-b)^3}{a} = \frac{(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)}{a}$

$= \frac{2a^3 + 6ab^2}{a}$

$= 2a^2 + 6b^2$

$= 2 \times 102^2 + 6 \times 105$

여기서, 일의 자리 숫자를 구하라 하였으므로 일의 자리 숫자만 계산을 해주면

$2 \times 102^2 + 6 \times 105 \approx 2 \times 2^2 + 6 \times 5 = 8 + 30 = 38$

따라서, 일의 자리 숫자는 $8$입니다.

$\therefore 8$

RPM 15p 78번

주어진 식 : $f(x) = (x - \frac{1}{2})Q(x) + R$

구하고자 하는 것 : $xf(x) = (2x - 1) \times 몫 + 나머지$ 식에서 몫과 나머지 구해야 함.

주어진식을 구하고자 하는 식의 꼴로 바꿔주기 위해 양변에 $x$를 곱해 좌변을 먼저 $xf(x)$로 바꿔줍니다.

$xf(x) = x \left( (x - \frac{1}{2})Q(x) + R \right)$

참고 :) $xf(x) = x(x - \frac{1}{2})Q(x) + R$ 이렇게 쓰지 않도록 주의해주세요.
우변의 전체에 $x$를 곱해줘야 합니다.

식을 전개하고 나누는 식 $2x - 1$이 보이도록 정리해 줍니다.

나누는 식 2x - 1 이 보이도록 식 정리

나누는 식 $2x - 1$로 일차인데, 나머지 $Rx$도 일차로 (나누는 식의 차수)=(나머지 차수)로 같게 됩니다.

이 경우에는 $Rx$가 $2x - 1$로 한 번 더 나눠지게 되므로 나머지로 보면 안됩니다.

$Rx$를 $2x - 1$로 한번 더 나누어 줌
직접 나누기 방법을 이용하셔도 되고, 좌변과 우변이 같아지게 식의 계수를 맞춰줘도 됩니다.

Rx를 2x-1로 나누었을 때 몫과 나머지 구하는 방법

따라서,

$xf(x) = (2x - 1) \frac{1}{2} Q(x) + (2x - 1) \frac{R}{2} + \frac{R}{2}$

$= (2x - 1) \left( \frac{1}{2} Q(x) + \frac{R}{2} \right) + \frac{R}{2}$

결론적으로, 몫: $\frac{1}{2} x Q(x) + \frac{R}{2}$, 나머지: $\frac{R}{2}$

RPM 16p 83번

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right)$
$a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = \frac{1}{2} \left( (a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 \right)$

첫번째 공식이 많이 쓰이긴 하나, 이 문제는 두번째 공식을 사용한 문제입니다. 증명과정은 이전 글에서 했으므로 바로 두번째 공식을 사용해 풀이해 주도록 합시다.

$a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca $

$= \frac{1}{2} \left( (a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( (3+\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2 + 4^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 9 + 6\sqrt{2} + 2 + 9 - 6\sqrt{2} + 2 + 16 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 38 \right)$

$= 19$

RPM 16p 84번

사용하는 곱셈 공식
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) $
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right)$

문제의 주어진 식 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ 입니다.

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ 에서 $a+b+c = 15$ 이므로 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ 가 0이 되어야 합니다.

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) = 0$ 이므로 $a = b = c$라는 결론이 나오게 됩니다.

설명 :)
$(\text{어떤 수})^2 \geq 0$
: 어떤 수가 양수 또는 음수라면 제곱을 하면 양수, $0$을 제곱하면 $0$이므로 $(\text{어떤 수})^2$는 항상 $0$보다 크거나 같습니다.
$0$보다 크거나 같은 수 세 개를 더해 $0$이 나오기 위해서는 전부 $0$이어야 합니다.
즉 , $(a-b)^2 = 0, , (b-c)^2 = 0, , (c-a)^2 = 0$ 이므로
$a - b = 0, b - c = 0, c - a = 0$
$\therefore a = b = c$

다시 문제를 보면 $a+b+c = 3a = 15 , \therefore a = b = c = 5, abc = 5^3 = 125$

자주나오는 곱셈 공식이라 특징을 한번 더 정리해 보자면,
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
$ \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) = 0$
위의 식이 나온 경우 결론은 $a = b = c$

RPM 16p 87번

혹시나 어렵다 느낄 수 있지만, 문제의 조건을 차근차근 식으로 정리하다보면 생각보다 많이 봤던 문제입니다.

문제에서 주어진 문장을 하나씩 식으로 바꿔봅니다.

‘세 정사각형 A, B, C 넓이의 합은 $75$’ $\rightarrow$ $a^2 + b^2 + c^2 = 75$
‘둘레의 길이 합은 $52$’ $\rightarrow 4a + 4b + 4c = 52$ $\therefore a + b + c = 13$
‘정사각형 A의 넓이를 $S_A$’ $\rightarrow S_A = a^2$
‘직사각형 D의 넓이를 $S_D$’ $\rightarrow S_D = (a+b)(a+c)$

‘$S_D - S_A$의 값을 구하시오’

$\rightarrow S_D - S_A = (a+b)(a+c) - a^2$
$= a^2 + ac + ba + bc - a^2$

$= ab + bc + ca$ =?

즉, $a^2 + b^2 + c^2 = 75$, $a + b + c = 13$을 주고 $ab + bc + ca$ 값을 구하는 문제입니다. 생각보다 간단하죠?

바로 공식을 이용해 계산해 줍니다.

$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$

$75 = 13^2 - 2(ab+bc+ca)$

$\therefore ab + bc + ca = 47$

RPM 17p 91번

풀이법이 2가지가 있는데 공식 사용 순서를 설명해가며 풀이 하도록 할께요. 어떤 방법을 쓰셔도 좋습니다.

풀이1

$(x^2 - 4)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 이므로 $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$

$= (x-2)(x+2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

$= (x-2)(x^2 + 2x + 4)(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - b^3$ 이용

$= (x^3 - 8)(x^3 + 8)$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 이용

$= (x^3)^2 - (8)^2$

$= x^6 - 64$

$x^6 = 70$

$= 70 - 64$

$= 6$

풀이2

$(a^2 + ab + b^2) (a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$ 공식 이용 후 $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$ 공식이용

(a^2 + ab + b^2) (a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4 이용 후 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 공식이용

RPM 17p 92번

$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ 이렇게 괄호 4개가 있는 경우 2개씩 묶어서 먼저 전개해 줘야함
묶어서 전개해 줄때 공통부분이 생기도록 두개씩 묶기
이때 $a^2 + 5a - 1 = 0$이 주어져 있으므로 $a^2 + 5a = 1$ 을 이용가능한지 확인

일차항의 계수는 상수끼리 합! 이므로 아래와 같이 두개씩 묶어 정리 한 후 $a^2 + 5a = 1$을 이용해 계산 해 줍니다.

괄호가 4개인 유형 a^2 + 5a = 1 이용

RPM 17p 94번

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right)$
$x + \frac{1}{x}$의 값만 구해주면 됨

중3 때 배운 유리화 기억나시죠?

유리화 하는 과정

그렇다면, $x + \frac{1}{x} = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$ 입니다.

최종계산:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) = 6^3 - 3 \times 6 = 6 \times (36 - 3) = 6 \times 33 = 198$

$\therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = 198$

RPM 18p 102번

문제를 읽으며 조건을 차근차근 식으로 바꿔적어 줍니다.

육면체

육면체에서 가로의 길이를 $a$, 세로의길이를 $b$, 높이를 $c$라고 미지수를 두고 식을 세워 볼께요.

‘겉넓이가 $148$’ $\rightarrow 2 (ab + bc + ca) = 148$ $\therefore ab + bc + ca = 74$
‘모서리 길이 합이 $60$’ $\rightarrow 4 (a+b+c) = 60$ $\therefore a + b + c = 15$

육면체 대각선 길이

피타고라스 (직각 삼각형)을 이용하여 각각의 대각선 길이의 식을 세우면 위와 같습니다.

$\overline{BG}^2 + \overline{GD}^2 + \overline{DB}^2 = (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) + (a^2 + b^2)$ $= 2(a^2 + b^2 + c^2)$

주어진 조건은 $ab + bc + ca = 74$, $a + b + c = 15$ 이고, 구하고자 하는 것은 $2(a^2 + b^2 + c^2)$ 입니다.

$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$

$= 15^2 - 2(74)$

$= 225 - 148$

$= 77$

이므로 $\overline{BG}^2 + \overline{GD}^2 + \overline{DB}^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) = 154$

RPM 19p 105번

$x^3 + 4x^2 + 5x + a = (x^2 + x + 2)Q(x)+0$

‘나누어 떨어진다’라는 말은 나머지가 $0$이라는 뜻입니다.

직접 나누기를 하여 나온 나머지가 $0$이 되도록 풀이하는 방법도 있고, 좌변과 우변이 같도록 $Q(x)$를 바로 세워줄 수도 있습니다. 바로 $Q(x)$의 식을 세우는 방법도 알아두면 정말 많이 쓰이니 직접나누기로 풀었었다면 이 풀이도 연습해 보도록 합시다.

좌변은 삼차식인데 우변의 나누는식이 이차식이므로 $Q(x)$는 일차식이어야 합니다. 일차식을 세울 때, 최고차 계수와 상수항을 맞춰 바로 세워 줄 수 있습니다.

이후 $x^2$과 $x$가 만들어 지는 항을 구하여 $a$값을 바로 구해줄 수 있습니다.

최고차 계수와 상수항 맞춰 바로 식세우고 $a$값 구하기

RPM 19p 107번

$(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+10)$

‘전개식 하나의 항 = 각 괄호에서 하나씩 선택’입니다.

괄호가 $10$개 있으므로 $x^9$ 계수를 구해주기 위해 9개는 $x$를, 1개는 상수를 선택해 주면 됩니다.

괄호가 많을 때 해당하는 항 구하는 방법

$\therefore x^9$ 의 계수는 55

RPM 19p 109번

구하고자 하는 식의 차수가 높아 하나하나 $x$를 거듭제곱 해보며 계산하기에는 매우 귀찮습니다.

이럴때 차수 낮추기 풀이를 이용합니다.

'차수 낮춰주는 풀이'

우변에 루트 (또는 허수: 2단원에서 배울 예정)만 두고 나머지 이항
양변 제곱 후 '=0' 으로 정리
최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

주어진 식 $x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$에서 루트를 없애주기 위해
우변에 루트2만 남겨두고 이항 후 제곱해주면
루트가 사라지고 (이차)=0 꼴만 남게 됩니다.

분모에 2가 있더라도 당황하지 말고 천천히 이항 후 대입! 알겠죠 ?

$2x = 1 - \sqrt{2}$

$2x - 1 = -\sqrt{2}$

$4x^2 - 4x + 1 = 2$

$\therefore 4x^2 - 4x - 1 = 0$

이렇게 0 이라는 값을 이용하여 풀이1에서는 차수를 낮춰 주는 방법, 풀이2에서는 직접나누기를 이용해 나머지를 생각해주는 방법 두가지로 풀어보도록 하겠습니다.

풀이 1 ) 차수 낮추는 방법

$4x^2 - 4x - 1 = 0$이므로 $4x^2 - 4x - 1 $와 곱해지는 항은 제거하면서 식을 정리해 줍니다.

$8x^4 - 6x^2 - 6x + 5$

$= 2x^2(4x^2 - 4x - 1) + 8x^3 - 4x^2 - 6x + 5$

$= 2x(4x^2 - 4x - 1) + 4x^2 - 4x + 5$

$= (4x^2 - 4x - 1) + 6$

$= 6$

풀이2) 직접나누기를 이용하는 방법

8x^4 - 6x^2 - 6x + 5 = (4x^2 - 4x - 1)(2x^2 + 2x + 1) + 6

$8x^4 - 6x^2 - 6x + 5 = (4x^2 - 4x - 1)(2x^2 + 2x + 1) + 6 =$ $0 + 6$

$4x^2 - 4x - 1 = 0$ 이므로 $ (4x^2 - 4x - 1)(2x^2 + 2x + 1) = 0 $으로 제거 됩니다.

즉, $8x^4 - 6x^2 - 6x + 5$의 값은 6이 됩니다.

이렇게 값이 0이 되는 식으로 나눠주면 (나누는식)X(몫)의 항이 통째로 0이 되므로 결국 나머지의 값만 구해주는 것이 됩니다. 이 풀이까지 꼭 기억해두도록 합시다.

RPM 19p 110번

주어진 조건 $(a+b+c)^2 = 2ab + 2bc + 2ca + 3$ 에서 두 가지를 얻을 수 있습니다.

$a+b+c = 3$ 대입 시

$(a+b+c)^2 = 2ab + 2bc + 2ca + 3$

$3^2 = 2ab + 2bc + 2ca + 3$
$6 = 2ab + 2bc + 2ca$
$\therefore ab + bc + ca = 3$

$(a+b+c)^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 3$
$\therefore a^2 + b^2 + c^2 = 3$

$a^2 + b^2 + c^2$와 $ab + bc + ca$의 값이 같은 것을 알 수 있습니다.

$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ 이면 $a = b = c$이고, 문제에서 $a+b+c = 3$ 라 하였으므로 $a = b = c = 1$입니다.

$(a^2 + 2ab - b^2)(b^2 - bc + 2c^2) = 4$

$\therefore \text{답 = } 4$

참고 )

$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ 이면 $a = b = c$ 설명

$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ 이면

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$

$\frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right) = 0$

0보다 크거나 같은 수인 제곱들의 합이 0이 되기 위해서는 각각이 0 되야함.

$a-b = 0, b-c = 0, c-a = 0$ 이므로 $a = b = c$

고등 내신에서는 시간이 부족한 경우가 많으니 $a^2 + b^2 + c^2$와 $ab + bc + ca$ 값이 같네? 하자마자 $a = b = c$ 두고 바로 풀어줄 수 있어야 합니다. 달달 외우기보다는 이 문제를 체크해두고 반복해서 풀어 자연스럽게 받아들이도록 합시다.

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 -1 - 6. 다항식의 연산 확인체크 - 연습문제 풀이

단디 티쳐 — Sat, 11 Jan 2025 10:00:36 +0900

1단원 -1. 다항식의 연산 확인체크 / 연습문제 풀이

이번 글에서는 배운 개념을 정리하고 주요 예제 문제를 다양한 풀이법으로 풀어보며 학습을 점검하겠습니다. 같은 문제도 풀이 방법에 따라 효율성이 달라지기 때문에, 다양한 접근법을 익히는 것이 중요합니다. 이를 통해 문제 해결 능력을 키우고, 실전에서 더 빠르고 정확하게 문제를 풀 수 있도록 대비해 봅시다.

1-1. 확인체크 주요 문제 풀이

개념원리 공통수학 1 : 10p ~ 32p

설명할 문제 : 개념원리 24p 확인체크 26번, 24p 확인체크 27번, 30p 확인체크 39번

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

개념원리 24p 확인체크 26번

$x = \sqrt{2} + 1, , y = \sqrt{2} - 1$

각각을 제곱, 세제곱 등을 하게 되면 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 등 항이 점점 늘어나기 때문에 계산의 편리를 위해 미지수 값이 a-b, a+b 형태로 나온 경우 저희는 켤레 관계라고 하고 하나씩 대입하기 보다는 $x + y , , x - y , xy $ 값을 이용할 준비를 하셔야합니다.

★☆point ★☆
미지수 값 a-b, a+b 형태 (켤레 관계) → $x + y , , x - y , xy $ 값 이용

$x + y = 2\sqrt{2}, , x - y = 2, xy = 1$

이를 이용하여 주어진 식의 값을 구해줍니다.

$x^4y - xy^4 $

$= xy(x^3 - y^3)$
$= xy {(x-y)^3 + 3xy(x-y)}$
$= 1 {8 + 6} = 14$

개념원리 24p 확인체크 27번

이 문제는 곱셈공식 변형글에서도 잠시 언급한 적이 있는데 가끔 학생들이 다른 공식을 써서 틀리길래 언급해 봅니다.

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab$
$a^2$과 $b^2$ 사이가 +
음수든 양수든 제곱을 하게 되면 전부 +로 바뀌게 됩니다.

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
$a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
세제곱을 하게 되면 음수는 음수, 양수는 양수 부호가 유지 됩니다.
$ (a + b)$를 세제곱하게 되면 $a^3$ 과 $b^3$ 중간이 +
$ (a - b) $를 세제곱 하게 되면 $a^3$ 과 $b^3$ 중간이 -

$a^2$과 $b^2$ 사이가 - 인 공식은 $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $입니다. 헷갈리지 않도록 주의해 주세요!

$x^3 + \frac{1}{x^3} $

$= \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$

위의 식에서 $x + \frac{1}{x} $을 구해줘야 합니다.
$x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x + \frac{1}{x}\right)$
$8\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$\therefore x + \frac{1}{x} = 4$
값을 대입하여 계산을 마무리 해줍니다.

$= 64 - 12 = 52$

개념원리 30p 확인체크 39번

직접 나눠서 몫과 나머지를 구해줘도 되지만, 여러가지 풀이법을 익혀두도록 합시다.

식만 정리해서 (주어진식)=(나누는식)(몫)+(나머지) 꼴로 정리하는 방법입니다. $(x^2 + x + 1)$로 묶어줘야 하기 때문에 이를 이용해 정리해주는 방법을 배워 볼께요. 이 풀이는 나중에 다른단원에서 '차수 낮춰주는 풀이'로도 쓰이니 꼭 이해하고 넘어가도록 합시다.

x^3을 x^2+x+1로 표현

최고차 $x^3$을 표현하기 위해 $x$ 곱하기 $(x^2 + x + 1)$를 해줍니다.
그러면 $x^2 + x$ 항이 추가가 됨
좌변과 우변의 값이 같아야 하기 때문에, 추가된 것을 상쇄하기 위해 $-x^2 - x$를 더해줍니다.
그 후, 좌변에 남아 있는 $-2x + 1$을 추가해 줍니다.

좌변과 우변의 식이 같게 상쇄 과정을 거침

정리해 주면,

$x^3 - 2x + 1 = x(x^2 + x + 1) - x^2 - 3x + 1$

마찬가지로 뒤에 남아있는 $-x^2 - 3x + 1$ 항도 $(x^2 + x + 1)$로 표현이 가능하므로 한 번 더 식을 변형

$x^3 - 2x + 1 = x(x^2 + x + 1) - (x^2 + x + 1) - 2x + 2$

$(x^2 + x + 1)$로 묶어서 정리해 주는데, ac-bc=(a-b)c=c(a-b) 꼴을 잘보면서 묶어줍시다!

$x^3 - 2x + 1 = x$ $(x^2 + x + 1)$ $-$ $(x^2 + x + 1)$ $ - 2x + 2$

$x^3 - 2x + 1 = $ $(x^2 + x + 1)$ $(x - 1) - 2x + 2$

즉 , $x^3 - 2x + 1$ 을 $(x^2 + x + 1)$ 로 나누었을 때 몫 $(x - 1)$ , 나머지 $ - 2x + 2$ 입니다.

$Q(x) = x - 1, R(x) = -2x + 2$

$Q(3) = 2, , R(-1) = 4$ 이므로 $Q(3) + R(-1) = 6$

식의 값은 유지한체 정리해줘야 합니다. 심화문제에서도 유용하게 쓰이니 연습해주시는게 좋아요.

1-2. 연습문제 풀이

개념원리 공통수학 1 : 33p ~ 35p

설명할 문제 : 개념원리 연습문제 33p 45번, 48번, 49번/ 개념원리 연습문제 34p 51번, 53번, 54번/ 개념원리 연습문제 35p 56번, 57번, 59번, 60번

개념원리 연습문제 33p 45번

첫번째 괄호 기준 case 분류해서 풀도록 합시다.

첫번째 괄호 기준 case 분류 하는 과정

$ x^2 $ 의 계수를 확인하라 하였으므로 첫번째 괄호기준 case 분류를 바로 해줍니다.
$ x^3 $의 경우 다른 어떤 항과 곱하더라도 $ x^2 $을 만들수는 없습니다.
이후 각각의 케이스에서 $ x^2 $ 만들어지는 항을 적고 계산하여 답을 구해 줍니다.

Q. 처음부터 $ 6x^2 $, $12x$ , $8$ 만 적고 풀면 안되나요 ?

case분류를 하기전에, $x^3$이 $x^2$을 만들지 못한다고 판단하고 가능한 것들만 case분류 하자 생각을 했다면 가능합니다.

하지만 위의 풀이처럼 문제를 보자마자 첫번째 괄호 기준 case분류 하자 했다면 다 써주고 푸는 것이 좋습니다.

즉, '판단 후 case분류'와 'case분류 후 판단' 둘 다 어느것이든 상관없지만, 두 과정을 한꺼번에 하는 것은 비추천합니다.

지금 case 분류하는 과정이 너무 쉬워서 한번에 많이 하는데, 지금 따로 생각하는 것을 연습해 놔야 나중에 심화 문제에서 풀이가 꼬이지 않고 문제를 체계적으로 풀 수 있습니다.

개념원리 연습문제 33p 49번에서는 '판단 후 case분류' 하는 과정으로 풀어보도록 하겠습니다. 풀이를 비교하면서 봐주세요 ^^

(정리)

case 분류란 하나의 기준으로 가능한 모든 경우를 나누어 각 경우를 따로따로 고려해 주는 방법입니다.

생략하다보면 심화문제에서 풀이가 꼬일 수도있고, 그렇다면 case 분류를 해주는 의미가 없어지기 때문에 문제를 체계적으로 해결하고 모든 상황을 빠짐없이 파악해주기 위해 꼭 하나의 기준으로 모든 경우를 봐주도록 연습해주세요!

개념원리 연습문제 33p 48번

$2x - 1$로 나누기 때문에 $2x - 1 = 0$, $x = \frac{1}{2}$ 이므로 맨 왼쪽에 있는 수 $k = \frac{1}{2}$ 입니다.

조립제법을 이용해 관점 바꾸기를 하는 과정

$\text{몫} = x^2 + 3, , \text{나머지} = -2$

차근차근 조립제법을 한 후에 조립제법의 결론을 적고, 관점바꾸기를 해주시면 됩니다.

식을 쓸 때는 항상 등호가 성립하도록 식의 값을 유지한체 써주도록 합시다.

개념원리 연습문제 33p 49번

$x^5$ 항은 어차피 $7x^6, \dots, 100x^{99}$ 항과 곱해서는 나올 수 없음→ 생략해서 적어줌

즉, $x^5$ 항만 궁금하다면 $(1 + 2x + 3x^2 + \cdots + 100x^{99})^2 \approx (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5)^2$

이렇게 식을 봐도 된다는 뜻입니다.

case 분류를 이용해 x^5항을 구하는 방법

이렇게 먼저 $x^5$이 가능한 항을 판단 후 case 분류를 해주었습니다.

항이 여러개라 바로 첫번째 괄호 기준 case 분류를 하게 되면 너무 많아지겠죠? 그래서 판단 후 case 분류를 해주는 풀이로 풀어 보았습니다. 위의 개념원리 연습문제 33p 45번 풀이와 한번은 꼭 비교해 보시길 바랍니다.

개념원리 연습문제 34p 51번

상반 대칭 다항식, 계수가 대칭되는 다항식

구하고자 하는 식의 꼴이 대칭 되어있습니다. 상반 대칭 다항식이라 하는데, 이 경우 주요 개념은 곱셈공식의 변형을 사용하는 것입니다. 나중에 상반 방정식을 배우기도 하니 꼴을 꼭 기억해둡시다.

상반 대칭 다항식 : 식의 꼴이 대칭
주요 사용 개념 : 곱셈 공식 변형
→ 나중에 배울 상반 방정식과 풀이 과정이 같음

주어진 식의 경우 아래와 같이 변형시켜 줍니다.

$x^2 + 3x + 1 = 0$

$x + 3 + \frac{1}{x} = 0$
$\therefore , x + \frac{1}{x} = -3$

(구하고자 하는 식)을 정리해 주도록 할께요.

괄호를 이용해 식을 정리해 가는 과정

식을 이어 써갈때 괄호를 꼭 잘 쓰도록 합시다. 식이 길어져도 정확하게 이어나갈 수 있어야 합니다!!

개념원리 연습문제 34p 53번

$f(x) = (x^2 - 2x + 3)(x - 1) + 3x - 2$

문제를 다 읽으면서 f(x)를 ~로 나누었을 때 몫이~, 나머지가~ 라는 멘트가 나오면 이 식을 바로 적을 수 있어야 합니다.

여기서 구하고자 하는 것은 $ (x^2 - x - 1) $으로 나누었을 때 몫과 나머지를 구하는 것인데, 위의 식을 전개해서 직접 나누는 방법을 사용하셔도 되고 주어진 식을 바로 변형 시키는 방법도 있습니다. 값은 유지, 등호 성립하게 식변형을 해주셔야 합니다.

$f(x) =$ $(x^2 - 2x + 3)$ $(x - 1) + 3x - 2$
이 식을 먼저, 나누는 식에서 $(x^2 - x - 1)$ 이 보이도록 식을 정리해 줍니다.
이후 (a+b)c = ac +bc를 이용해서 전개해 주도록 할께요.

나누는 식에서 (x^2 - x - 1)이 보이도록 식을 정리하는 과정 1

이 상황에서, $(x^2 - x - 1)$을 나누는 식으로 보면 나누는 식은 2차 나머지도 $-x^2 + 8x - 6$이 2차
(나누는 식의 차수) > (나머지 차수) 성립 안함.
즉, 한 번 더 나눌 수 있다는 것이죠.

나머지를 $(x^2 - x - 1)$로 한 번 더 표현 해보도록 할께요.

나누는 식에서 (x^2 - x - 1)이 보이도록 식을 정리하는 과정 2

나누는 식 $(x^2 - x - 1)$, 몫 $(x - 2)$, 나머지 $+ 7x - 7$로, 나누는 식이 2차식이고 나머지가 1차식임이라 (나누는 식의 차수) > (나머지 차수) 성립 한다는 것을 확인할 수 있습니다.

몫과 나머지의 합을 구하라 하였으므로 $(x - 2) + 7x - 7 = 8x -9 $

$\therefore $ $ 8x -9$

개념원리 연습문제 34p 54번

f(x)를 (x^2+1)로 나눈 몫과 나머지

문제를 읽으면 이 식이 주어진 것을 알 수 있습니다.

주어진 $f(x)^2$를 $(x^2+1)$로 나눈 나머지를 구해야 합니다.

식의 양변을 제곱하여 좌변을 $f(x)^2$ 보이도록 정리
우변은 $(x^2+1)$이 보이도록 묶어 나누는식, 몫, 나머지 관점 보이게 정리

(실전 풀이) - 이해 안되면 밑에 풀이 읽고 다시 읽어보기

양변을 제곱할 때 좌변은 $f(x)^2$

우변은 $(x^2+1)Q(x)$를 $a$로, $(x+1)$을 $b$로 보면, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 꼴

여기서 $a$는 $(x^2+1)$ 이므로 $a^2 + 2ab$ 항들은 $(x^2+1)$로 나누어떨어집니다.(또는 $(x^2+1)$로 묶인다 생각해주셔도 됩니다.)
따라서 $b^2$만 나머지로 남게 됩니다.
$b^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$인데, 나누는 식 $(x^2+1)$은 2차식이고, 나머지도 $x^2 + 2x + 1$로 2차입니다.
따라서 나머지를 한 번 더 나누어야 합니다.
$x^2 + 2x + 1 = (x^2+1) + 2x$로 표현되며, 최종 나머지는 $2x$가 됩니다.

이렇게 풀이를 하셔도 되고 이해가 좀 어려운 분들은 아래의 식 풀이를 보시고 다시 위의 설명을 봐주세요.

같은 설명이지만 굳이 식을 쓰지 않더라도 바로 나머지를 구할 수 있어야 합니다.

(식 정리 풀이) - 원리 이해

주어진 $f(x)^2$를 양변 제곱하면 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 형태가 됩니다.

$f(x)^2$를 $(x^2+1)$로 나눈 나머지를 구하는 과정 1

여기서 나누는식 몫 나머지 관점으로 보기에는 나누는식이 2차, 나머지도 2차이기 때문에 나머지가 한번 더 나눠 진다는 것을 알 수 있습니다. ( 또는 나머지가 $(x^2+1)$로 한번더 표현 가능하다는 것을 알 수 있습니다.)
나머지 $x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 1) + 2x$
이후 나누는 식 $x^2+1$로 함께 묶어 줍니다.

$f(x)^2$를 $(x^2+1)$로 나눈 나머지를 구하는 과정 2

나누는 식이 2차이고 나머지는 1차이므로 나누는식, 몫, 나머지 관계가 성립 합니다.

$\therefore R(x) = 2x, \quad R(3) = 6$

개념원리 연습문제 35p 56번

$a^7 + b^7$ 공식을 모르는데, 어떻게 구하지 ? 했을 수 있습니다. 지수법칙을 생각하며 강제로 해당하는 항을 만들어 주고 필요없는 항을 빼주면서 구할 수 있습니다. $a^5 + b^5$ 도 자주 나와 같이 정리해 두었습니다.

$a^5 + b^5$, $a^7 + b^7$

$a^7 + b^7$을 보면, 구하고자 하는 것은 $a^3 + b^3$ , $a^4 + b^4$, $ab$입니다. 각각을 주어진 조건으로 구해볼께요.

1. $ab$ 값 구하기
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$1 = 5 + 2ab$
$\therefore -2 = ab$

2. $a^3 + b^3$ 값 구하기
$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$
$= 1 + 6 = 7$
$\therefore a^3 + b^3 = 7$

3. $a^4 + b^4$ 값 구하기
$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(a^2b^2)$
$= (a^2 + b^2)^2 - 2(a^2b^2)$
$= 25 - 8$
$= 17$
$\therefore a^4 + b^4 = 17$

최종답 $a^7 + b^7$ 값 구하기
$a^7 + b^7$

$= (a^3 + b^3)(a^4 + b^4) - a^3b^3(a+b)$
$= 7 \times 17 - (-2)^3(1)$
$= 119 - (-8)$
$= 127$
$\therefore a^n + b^n = 127$

개념원리 연습문제 35p 57번

$a + b + c = 2$를 $b + c = 2 - a$, $a + c = 2 - b$, $a + b = 2 - c$로 변형하여 식을 정리하는 것이 포인트 입니다.
이렇게 변형을 자주 하니 기억하도록 합시다 ! (관련문제 : RPM 49번)

$(a+b+c)^2 + (-a+b+c)^2 + (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2$

$= 2^2 + (2 - 2a)^2 + (2 - 2b)^2 + (2 - 2c)^2$

$= 4 + (4 - 8a + 4a^2) + (4 - 8b + 4b^2) + (4 - 8c + 4c^2)$

$= 4(a^2 + b^2 + c^2) - 8(a+b+c) + 16$

$= 4\left((a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)\right) - 8(a+b+c) + 16$

$= 4 \left( 4 - 2(-1) \right) - 8(2) + 16$

$= 4 \cdot 6$

$= 24$

개념원리 연습문제 35p 59번

내접원의 넓이:
$\text{넓이} = \pi r^2 = \frac{\pi}{4} \quad \therefore , r = \frac{1}{2}$

접하는 삼각형과 반지름의 관계

큰원의 반지름 길이는 4 , 작은 원의 반지름 길이는 $\frac{1}{2}$ 이렇게 정리가 됩니다.
큰원의 반지름=선분OA=선분OP=4입니다.

사각형 IOHP에 대해 더 자세하게 보도록 할께요.

사각형에서 피타고라스를 하는 과정

문제에서 선분PH, 선분PI에 대해 물었으므로 미지수 $x,y$를 잡아줍니다.
피타고라스를 이용해 관련 식을 하나 뽑아줍니다.
추가로 구하고자 하는 것은 $x^3 + y^3$이 되게 됩니다.

내접원 특징, 직각 삼각형 내접원 정사각형

내접원 반지름과 내접원 특징을 이용해서 선분IH길이가 4라는 점을 이용해 $x, y$ 관련식을 한개 더 뽑아 줍니다.

이제 $x^2 + y^2=16$ , $x + y=5$ 를 이용해서 $x^3 + y^3$ 값을 구해주면 됩니다.

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
$16 = 25 - 2xy$
$\therefore xy = \frac{9}{2}$

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$
$= 125 - \frac{27}{2}(5)$
$= \frac{250}{2} - \frac{135}{2}$
$= \frac{115}{2}$

$\therefore x^3 + y^3 = \frac{115}{2}$

개념원리 연습문제 35p 60번

'차수 낮춰주는 풀이'를 하도록 해보겠습니다.

우변에 루트 (또는 허수: 2단원에서 배울 예정)만 두고 나머지 이항
양변 제곱 후 '=0' 으로 정리
최고차항 표현 → 상쇄 + 남은 항 → 정리 반복

30p 확인체크 39번 풀이를 참고하고 오시면 더 구조가 잘 보일듯 합니다^^

$x = 1 + \sqrt{7}$을 제곱하면 $x^2 = 1 + 2\sqrt{7} + 7 = 8 + 2\sqrt{7}$

식이 더 복잡해집니다. 루트를 제거하기 위해 우변에는 $\sqrt{7}$만 남겨두고 좌변으로 모두 이항한 후 제곱합니다.

이항하여 제곱하는 풀이는 '차수낮추는 풀이'에서 많이 쓰이는데

$x - 1 = \sqrt{7}$

$(x - 1)^2 = 7$

$x^2 - 2x + 1 = 7$

$x^2 - 2x - 6 = 0$

여기서 $x^2 - 2x - 6 = 0$ 값이 0 이라는 것에 초점을 맞추어 풀이를 2가지로 풀이 할 것입니다.

sol 1 > 0의 값을 이용해 식의 차수 낮추는 방법

차수 낮춰주는 풀이를 이용

이렇게 0과 곱해지는 항은 제거되면서 차수가 낮아집니다.

sol 2 > 직접 나누기를 이용하는 방법

직접 나누는 방법 이용

직접 나눠 (나누는 식)X(몫)+(나머지) 꼴로 바꿔 준 후 $x^2 - 2x - 6 = 0$이므로 (나누는 식)X(몫)=0 으로 나머지만 남게 됩니다. 이 식을 얻기 위해 직접 나누기 방법을 해줬던 것 입니다.

두가지 풀이 다 알아 두시길 바랍니다.

1-3. 추가자료

개념 정리 자료 ( 한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다.

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 10p~35p) 백지테스트.pdf

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 27p~32p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 5. 다항식의 연산 - 다항식의 나눗셈

단디 티쳐 — Thu, 9 Jan 2025 10:00:16 +0900

1단원-5.다항식의 연산 - 다항식의 나눗셈

앞서 지난 글에서 다항식의 덧셈과 뺄셈에 대해 배우고, 전개와 곱셈공식을 배우며 곱셈에 관한 내용을 정리했습니다. 이번 글에서는 다항식에서의 나눗셈에 대해 설명해 보려고 합니다. 중학교때는 수에 관해 계산하는 내용을 배웠다면 고등수학에서는 식으로 확장하는게 1단원의 주요 내용입니다. 오늘 내용을 하고 나면 다항식의 사칙 연산을 할 수 있겠네요^^

개념원리 공통수학 1 : 27p ~ 32p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 다항식의 나눗셈

(다항식) $ \div $ (단항식)

다항식 나누기 단항식

수에서 계산

수에서의 나누기

식에서 계산

식에서의 나누기

(다항식) $ \div $ (다항식)

수에서와 식에서 직접 나눗셈을 하는 방법입니다.

수와 식에서의 나누기

이렇게 (다항식) $ \div $ (다항식)을 할때는

1. 내림차순으로 정리하고, 계수가 0인 항은 비워 둡니다.

2. 수를 나눌때와 같은 방법으로 계산합니다.

예제를 보면서 직접 나누는 방법에 대해 알아볼께요.

예제 : $(4x^3 - 2x^2 - 4) \div (2x^2 - 1)$

1. 내림차순으로 정리하고 계수가 0인 항은 비워 둡니다. ( 이해를 위해 이미지에서는 연한 회색으로 표시해 뒀습니다.)

다항식 나눗셈 과정 1

2. 수를 나눌때와 같은 방법으로 계산합니다.

$4x^3$을 제거해주기 위해 (나누는 수의 최고차항) $2x^2$과 무엇을 곱하면 될까요 ?

다항식 나눗셈 과정 2

$2x$를 곱하면 되므로 몫의 자리에 $2x$를 적어줍니다. 이 $2x$를 나누는식과 곱한 값을 두번째 줄에 넣고 빼주면 $4x^3$이 사라지고 $ -2x^2 + 4x - 4 $가 남게 됩니다.

$ -2x^2 $을 제거해주기 위해 (나누는 수의 최고차항) $2x^2$과 무엇을 곱하면 될까요 ?

다항식 나눗셈 과정 3

$-1$를 곱하면 되므로 몫의 자리에 $-1$를 적어줍니다. 이 $-1$를 나누는식과 곱한 값을 두번째 줄에 넣고 빼주면 $-2x^2$이 사라지고 $ 4x - 5 $가 남게 됩니다.

이제 , 나누는 식인 $ 2x^2 - 1 $에 어떤 것을 곱해줘도 최소한 2차가 생겨 $ 4x $항을 제거해 줄 수 없으니 여기서 나누기는 끝나게 됩니다. 더 나눌 수 없게 되는 거죠 ! 즉, 몫은 $ 2x - 1 $ 나머지는 $4x - 5$가 됩니다.

이렇게 직접 나누는 방법에 대해서는 익혔고 몇문제만 연습하시다보면 금방 할 수 있을 꺼에요.

1-2. 다항식의 나눗셈에 대한 등식

수에서 나누기를 했을 때를 먼저 생각해보겠습니다.

왼쪽과 같이 나누기를 해주면 안된다! 라고 초등학교때 배웠었죠 ? 그렇다면 왜 안될까요 ? 이유는 나머지5가 나누는 수 4로 한번 더 나눠지기 때문입니다. 그래서 (나누는 수) > (나머지) 라고 배웁니다.

$ 9=4 \cdot 1 + 5 $ 는 맞는 식일까요?

이식은 왼쪽식의 검산식이기도 합니다.
나누기 과정은 틀렸지만 좌변과 우변의 값이 같은 것은 알 수 있습니다. (값 자체로는 등호가 성립하는 맞는 식)
하지만, "주어진수 = (나누는 수 ) $ \cdot $ (몫) + 나머지"로 식을 보는 관점에서는 잘못된 식이라고 할 수 있습니다.
(나누는 수 4 ) < (나머지 5) 이기 때문에 나누기 과정이 틀렸기 때문이지요.

이렇게 식을 어느 관점에서 보냐에 따라 맞는 식일수도 잘못된 식 일 수도 있습니다.

다항식에서 나누기를 했을 때를 이제 생각해봅시다.

다항식에서도 수에서의 계산과 마찬가지로 끝까지 나눠 줘야 합니다.
첫번째 식을 보면 나머지인 $ - x - 3 $을 나누는 수 $ x + 3 $으로 한번 더 나눠 줄 수 있기 때문에 잘못된 나누기입니다.
두번째 식의 경우 나머지인 $ 6 $을 나누는 수 $ x + 3 $으로 더이상 나눠 줄 수 없기 때문에 바른 계산 이라고 할 수 있습니다.

다항식에서도 나누기를 하면 수에서 검산을 하듯이 "주어진 식 = (나누는 식) $ \cdot $ (몫) + 나머지" 형태로 식을 나타낼 수 있습니다.

첫번째 식의 검산 식을 보면 우변을 전개하여 정리해 주면 좌변과 우변의 식이 같아지면서 등호가 성립한다는 것을 알 수 있습니다. (식 자체는 등호가 성립하여 맞는 식)
이 식을 "주어진 식 = (나누는 식) $ \cdot $ (몫) + 나머지" 관점으로 본다면 나누는 식이 $ x + 3 $, 나머지가 $ - x - 3 $으로 한번 더 나눠 줄 수 있기 때문에 잘못된 식이라고 할 수 있습니다.

이렇게 식을 어느 관점에서 보냐에 따라 맞는 식일수도 잘못된 식 일 수도 있습니다.

최종정리를 하도록 해볼께요.

★다항식의 나눗셈에 대한 등식 (검산식)
" (주어진 식) = (나누는 식) $ \cdot $ (몫) + (나머지) " 로 정리 가능

수 : (나누는 식) > (나머지) 를 만족해야함
다항식 : (나누는 식의 차수) > ( 나머지의 차수) 를 만족해야함

고등수학에서는 " (주어진 식) $ \div $ (나누는 식) "을 "(주어진 식) = (나누는 식) $ \cdot $ (몫) + (나머지) " 로 잘 표현합니다. 식을 볼 때 이 관점으로 식을 정리하고 해석하는 것이 목표입니다.

다항식의 나눗셈에 대한 등식

이 식을 "주어진 식 = (나누는 식) $ \cdot $ (몫) + 나머지" 관점으로 보면,

다항식의 나눗셈 등식에서 관점 차이에 따른 몫과 나머지 변화

나누는 식을 $ x + \frac{b}{a} $ 로 보면, 몫은 $ a \cdot Q(x) $ , 나머지는 $ R $ 입니다.
나누는 식을 $ \left(x + \frac{b}{a}\right) \cdot a $ 로 보면, 몫은 $ Q(x) $ , 나머지는 $ R $ 입니다.

이렇게, 어떤 식을 나누는 식으로 보냐에 따라 몫과 나머지는 달라지게 됩니다.

(나누는 식의 차수) > ( 나머지의 차수)만 만족한다면 어느 식을 나누는 식으로 보든 상관 없습니다.

참고 :)

가끔 문제에서 '나누어 떨어진다' 라는 조건이 주어지는데 이는 나머지가 0이라는 뜻입니다.

나머지가 0이라면 $ f(x) $를 온전히 곱꼴로만 나타내어 진다는 뜻이죠. 이에 대해서는 인수분해 단원에서 좀 더 자세하게 배워보도록 하겠습니다.

1-3. 조립제법

: $ f(x) $를 $x$에 대한 일차식으로 나눌 때, 직접 나눗셈을 하지 않고 계수만 이용하여 몫과 나머지를 구하는 방법

일차식으로 나눈 몫, 나머지 둘다 구할 때 쓰는 방법 (주의 : x의 계수가 1인 경우만 사용가능 )

조립제법 방법에 대해 간단히 설명하도록 하겠습니다. 원리에 대해서는 다른글로 다루도록 할께요.

예제 : $(x^3 - 5x + 1) \div (x + 2)$ 의 몫과 나머지를 구하시오.

1. 다항식의 계수를 첫 번째 줄에 차례로 적는다. 계수가 $0$인 항은 그 자리에 $0$을 적는다.

ex ) $x^3 - 5x + 1 = 1x^3 + 0x^2 - 5x + 1$ → 1 0 -5 1

조립 제법 과정 1 : 계수를 먼저 적어준다

2. (나누는 식) $= 0$이 되는 $x$값을 맨 왼쪽에 적는다.

ex ) $x+2=0$이므로 $x = -2$

조립제법 과정 2 : 나누는식이 0되는 x값을 제일 왼쪽에 적어 준다.

3. 최고차항의 계수는 그대로 내려 적는다.

조립제법 과정 3 : 최고차항은 그대로 밑으로 내려서 적어준다.

4. 맨 왼쪽에 있는 수 $(1)$과 방금 아래에 적은 수 $(2)$를 곱한 결과를 다음 칸 $(3)$ 에 적고, 위에 있는 수 $(4)$와 합한 값을 더해 $(5)$에 내려 적는다. ( 처음배우면 복잡할 수 있으니 괄호 숫자를 잘보고 따라와 주세요 ! )

→ 대각선은 곱하기 젤 왼쪽 수 , 세로로는 더하기

조립제법 과정4

5. 위의 과정을 반복하며 적는데, 대각선으로는 $x(\text{맨 왼쪽 수})$로 아래로는 더하기를 반복하여 한 칸씩 적는다.

파란색 선은 $x(\text{맨 왼쪽 수})$ , 빨간색 선은 위 아래 수 더하기 !

조립제법 과정 5

조립제법 과정 6

6. 결론 해석

조립제법에서 가장 오른쪽에 있는 수는 나머지가 됩니다. 왼쪽에 있는 수들은 몫의 계수들이 됩니다.

조립제법에서 주의 해야할 점은 $x$의 계수가 1인 일차식으로 나누었을 때 몫과 나머지를 구할 수 있다는 것이에요.

문제가 " $(x^3 - 5x + 1) \div (x + 2)$ 의 몫과 나머지를 구하시오." 였기 때문에 $ (x + 2)$가 나누는 식이라는 것을 알 수 있지만, 조립제법의 결과만 나와있더라도 어떤 식으로 나누는 지 알 수 있어야 합니다.

이와 관련해서 예제를 한개 더 보도록 할께요.

어떤식을 뭐로 나누는지 등에 대한 정보 없이 조립제법의 결과만 나와있습니다.

조립제법 결과

예를 들어, 위와 같은 조립제법 결과가 있다고 생각해 볼께요.

맨 왼쪽에 있는 수를 구할 때 (나누는 식) $= 0$이 되는 $x$값 을 구해줬는데, 이 과정을 반대로 해주시면 됩니다.
맨 왼쪽에 있는 수가 $-\frac{1}{2}$ 이므로 $x=-\frac{1}{2}$ , $x+\frac{1}{2}=0$ 즉, 나누는 식은 $x+\frac{1}{2}$ 이 됩니다.
나누는식은 $x$의 계수가 1인 일차식 입니다. 꼭 기억해 주세요!
다항식의 계수도 차례대로 써줬듯이 반대로 차례로 읽어주시면 됩니다.

조립제법 결과 해석하는 방법

그렇다면, 조립제법으로 $x$의 계수가 1인 일차식의 몫과 나머지만 구할 수 있을까요? $x$의 계수가 다르다면 조립제법을 사용하지 못하는 걸까요 ?

조립제법을 배우기 직전에 나눗셈의 등식(검산식)은 " (나누는 식의 차수) > ( 나머지의 차수)만 만족한다면 어느 식을 나누는 식으로 보든 상관 없습니다. " 라고 배웠었죠 ? 관점만 바꿔서 생각해주시면 됩니다.

즉, 조립제법 결론에서$(2x + 1)$를 나누는 식으로 보고 싶다면,

$5x^3 + 3x^2 + 2x + 1 =$ $(x + \frac{1}{2})$ $(5x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{4})$ $+ \frac{1}{8}$
$5x^3 + 3x^2 + 2x + 1 =$ $(x + \frac{1}{2})$ $\cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot $ $(5x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{4})$ $+ \frac{1}{8}$
$5x^3 + 3x^2 + 2x + 1 =$ $(2x + 1)$ $ \cdot \frac{1}{2} \cdot $ $(5x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{4})$ $+ \frac{1}{8}$

이렇게 나누는 식의 관점을 바꾸기 위해 식의 값은 유지한체 변형해주면 됩니다.

$(2x + 1)$ 를 나누는 식으로 보면, 몫은 $ \frac{1}{2} \cdot $ $(5x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{4})$ , 나머지는 $+ \frac{1}{8}$

1-4. 예제 문제

문제를 보면서 배웠던 개념을 복습해 보도록 합시다.

설명할 문제 : 개념원리 31 p 필수예제 13, 개념원리 31p 필수예제 14, 개념원리 32p 필수예제 15 (2)

개념원리 31 p 필수예제 13

문제에서 다항식을 뭐로 나누었을 때 몫이~ 나머지가~ 이런 설명이 있으면 바로 식으로 적어주면서 읽어 주세요.

나머지를 이항하여 생각

이후 나머지를 이항해서 정리 해 줍니다.

$x^4 - 3x^2 - 8x - 15 = A \cdot (x^2 + x + 3)$

여기서 나누는 식은 A , 몫은 $(x^2 + x + 3)$ 입니다.

$x^4 - 3x^2 - 8x - 15 = (x^2 + x + 3) \cdot A $

곱하기는 자리 바꿔도 상관없으니 이렇게 식을 보면, 나누는 식은 $(x^2 + x + 3)$, 몫은 A입니다.

직접 나누기를 이용하여 A를 구해 볼께요.

cf) $A = (x^4 - 3x^2 - 8x - 15) \div (x^2 + x + 3)$ 처럼 한번 더 이항해서 A=으로 정리해 생각해셔도 됩니다.

다항식 나누기 다항식에서 직접 나누는 방법

줄맞춰 적어주고, 계수가 0인 항은 꼭 비워서 적어줘야 합니다.

개념원리 31p 필수예제 14

문제에서 다항식을 뭐로 나누었을 때 몫이~ 나머지가~ 이런 설명이 있으면 바로 식으로 적어주면서 읽어 주세요.

$f(x) = (x - \frac{2}{3}) Q(x) + R$

그런데, 문제에서 $(3x - 2)$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하라고 하였습니다.

식의 값은 유지한체 $(3x - 2)$로 나누었을 때의 관점으로 식을 변형해 볼께요.

$f(x) = (x - \frac{2}{3}) Q(x) + R$
$f(x) = (x - \frac{2}{3}) \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot $ Q(x) + R$
$f(x) = (3x - 2) \cdot \frac{1}{3} \cdot Q(x) + R$

나누는 식을 $(3x - 2)$ 로 보면, 몫은 $ \frac{1}{3} \cdot Q(x) $ , 나머지는 $ + R$ 입니다.

나누는 식의 차수가 일차고 나머지가 상수항이므로 $(3x - 2)$를 나누는 식으로 보는 것이 가능합니다.

이렇게 관점을 바꿀 때는 나누는 식의 차수와 나머지의 차수를 꼭 확인 해 주세요.

$\therefore \text{몫} = \frac{1}{3} Q(x), \text{나머지} = R$

개념원리 32p 필수예제 15 (2)

나누는 식의 $x$의 계수가 2인데, 조립제법을 이용해서 몫과 나머지를 구해볼께요.

2x^3-5x^2+5x+3을 2x-3으로 나누었을 때 조립 제법의 결과

일단, (나누는 식)=0 되는 $x$ 값을 제일 왼쪽에 써주고 조립제법을 해줍니다.

조립제법을 해석 할때는 $x$의 계수가 1이라고 해석을 해야 하기 때문에, 조립제법 해석의 결과를 먼저 써줍니다.

2x^3-5x^2+5x+3을 2x-3으로 나누었을 때 조립 제법의 결과를 해석한 식

이후, 문제에서는 $(2x-3)$으로 나누는 식을 보라고 하였기 때문에, 식의 값은 유지한체 관점을 변형시켜 줍니다.

조립제법 결과에서 나누는 식 관점을 변형시켜 표현한 식

$\therefore , \text{몫} = (x^2 - x + 1), , \text{나머지} = 6$

이렇게, $x$의 계수가 1이 아닌 다른 수 일때 조립제법을 사용시 해석할때는 $x$의 계수를 1로 해석하고 관점을 변형시켜주는 풀이를 해야합니다.

이렇게 식을 볼때 관점에 따라 식을 변형 시킬 수 있고, 나눗셈의 등식은 응용문제가 매우많고 뒤에 항등식단원에서도 계속계속 나올 내용이기 때문에 오늘 공부한 내용이 조금 어렵더라도 정확히 이해하고 항등식 단원을 공부하시길 바랍니다!

1-5. 추가자료

개념 정리 자료 ( 한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다.

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 27p~32p) 백지테스트.pdf

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 22p~26p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 -1 - 4. 다항식의 연산 - 곱셈 공식의 변형

단디 티쳐 — Tue, 7 Jan 2025 11:24:10 +0900

1단원-1. 다항식의 연산 - 곱셈 공식의 변형

수학에서 곱셈 공식은 다항식을 빠르고 효율적으로 전개하는 데 필수적인 도구입니다. 이번 글에서는 곱셈 공식의 변형과 활용을 다룰 예정입니다. 주어진 문제를 빠르게 해결하기 위해 기존의 공식을 어떻게 응용하고 변형 할 수 있는지, 이 파트는 공식을 단순 암기하셔도 좋지만 구조를 이해하고 증명 과정을 따라가는 학습법을 통해 보다 깊이 있는 학습을 해보세요!

개념원리 공통수학 1 : 22p ~ 26p

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

1-1. 곱셈 공식의 변형

곱셈 공식의 변형은 기존 공식을 이항하여 정리한 식입니다. 자주 등장하기 때문에 빠르게 풀기 위해 공식을 외우기 편한 형태로 변형하여 사용합니다. 암기를 싫어하는 저는 어떻게 외웠는지도 같이 설명해 드릴께요! 이건 저만의 방법이고 처음 곱셈공식의 변형을 접하는 학생들에게 조금이나마 도움이 되었으면 하여 작성합니다. 그냥 외울래~ 하는 학생들은 스킵하시고 예제문제 풀이만 봐주셔도 괜찮습니다. ^^

(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab$
(2) $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$, $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$

추가)
$a= x , b= \frac{1}{x} $ , $a \cdot b = x \cdot \frac{1}{x} = 1$
(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 $
(2) $(x - \frac{1}{x^2})^2 = (x + \frac{1}{x^2})^2 - 4$, $(x + \frac{1}{x^2})^2 = (x - \frac{1}{x^2})^2 + 4ab$

증명 :

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$에서 $2ab$를 이항하면 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$에서 $2ab$를 이항하면 $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$

그냥 단순 암기를 하셔도 좋지만 혹여나 공식 암기를 싫어할 수 있으니 제가 알려드린 방법으로 생각해보는 것도 좋을 것 같습니다.

생각(1)

a^2 + b^2 = (a + b)^2 + \boxed

$(a + b)^2 $를 전개하면 $a^2 + b^2 + 2ab$입니다. 좌변의 $a^2 + b^2 $과 같아지기 위해 $+ 2ab$를 제거해줘야 합니다. 즉, $ -2ab $가 네모박스에 들어가야 합니다.

이런식으로 $(a + b)^2 $를 순간적으로 전개하여 =(등호) 성립을 위해 좌변과 우변을 같게 만들어 주는 것입니다.

(a - b)^2 = (a + b)^2 + \boxed

$(a - b)^2 $를 전개하면 $ a^2 + b^2 - 2ab$, $(a + b)^2 $를 전개하면 $a^2 + b^2 + 2ab$입니다.

좌변과 같아지기 위해 네모박스에 $ - 4ab$가 들어가면 됩니다.

저도 이방법으로 이용해 주는데, 익숙해지니까 전개한 식을 굳이 쓰지 않아도 딱 떠오르면서 바로바로 쓸 수 있더라구요. 하지만 연습을 좀 했는데도 전개한 식이 바로바로 떠오르지 않는다면 아래의 생각(2) 방법으로도 한번 해보세요! 공식 암기가 계속 안되는 학생들한테 설명해주는 방법인데 나름 효과가 있었습니다.

생각(2)

곱셈공식 구조 이미지화

각 식은 $ 2ab$ 만큼 차이가 나기 때문에 이렇게 한칸에 $ 2ab$ 차이가 나는 계단을 생각해 주는 것입니다.

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 + \boxed{\phantom{xxx}} $
좌변의 $a^2 + b^2$이 되기 위해 $(a + b)^2$ 상태에서 한 칸 내려와 줘야 하므로 네모는 $-2ab$.

$(a - b)^2 = (a + b)^2 + \boxed{\phantom{xxxx}}$
좌변의 $(a - b)^2$ 상태가 되기 위해 $(a + b)^2$ 상태에서 두 칸 내려와 줘야 하므로 네모는 $-4ab$.

$(a + b)^2 = (a - b)^2 + \boxed{\phantom{xxxx}}$
좌변의 $(a + b)^2$ 상태가 되기 위해 $(a - b)^2$ 상태에서 두 칸 올라가 줘야 하므로 네모는 $+4ab$.

이런식으로 박스와 없는 항을 목표상태, 박스와 있는 항을 현재상태에서 $\boxed{\text{어떤 행동?}}$ 이라고 해석해주시면 됩니다.

(3) $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
$a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$

추가:)
$a= x , b= \frac{1}{x} $ , $a \cdot b = x \cdot \frac{1}{x} = 1$
$ x^3 + \frac{1}{x^3} = ( x + \frac{1}{x} )^3 - 3( x + \frac{1}{x} ) $
$ x^3 - \frac{1}{x^3} = ( x - \frac{1}{x} )^3 + 3( x - \frac{1}{x} ) $

증명:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$에서 $3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b) $를 이항하면

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$에서 $ -3a^2b + 3ab^2 = -3ab(a - b) $를 이항하면

$a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$

$a^3 + b^3$ 중간의 부호가 + 인경우, $ (a + b) $가 반복되고 $ 3ab$ 앞의 부호는 음수
$a^3 - b^3$ 중간의 부호가 - 인경우, $ (a - b) $가 반복되고 $ 3ab$ 앞의 부호는 양수

무작정 외워주기보다 이렇게 구조를 보면서 외워줍시다!

a^2-b^2=(a-b)(a+b) 인데 (a-b)^2으로 많이 생각

세제곱에서는 부호가 반영되므로, $a^3 - b^3$의 경우 바로 $(a-b)^3$으로 생각해줄 수 있겠죠 ?!

(4) $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$

증명 :

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$에서 $2ab + 2bc + 2ca$를 이항하면

$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$

(1)번 공식인 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab $를 보면, 제곱이 2개일때와 3개일때 형태가 비슷해보이는것을 알 수 있습니다.

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab 과 a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) 구조 비교

(5) $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$
$a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = \frac{1}{2} \left( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 \right)$

증명 :

이 공식은 매우 중요합니다. 시험에서 정말 많이 출제되니 증명과정을 따라 써가며 익숙해지도록 합시다.

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca $

$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

$ \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $ 이기 때문에 등호가 성립합니다.

$= \frac{1}{2} \cdot (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca)$

괄호안에 $a^2$이 2개, $b^2$이 2개, $c^2$이 2개, $- 2ab$, $- 2bc$, $- 2ca$가 있게 됩니다.

$= \frac{1}{2} \cdot ($ $a^2 - 2ab + b^2$ $+$ $b^2 - 2bc + c^2$ $+$ $c^2 - 2ca + a^2$ $)$

$= \frac{1}{2} \cdot $ $ \left( \right. $ $(a - b)^2$ $+$ $(b - c)^2$ $+$ $(c - a)^2$ $ \left. \right) $

$a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca $

$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)$

$ \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $ 이기 때문에 등호가 성립합니다.

$= \frac{1}{2} \cdot (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca)$

괄호안에 $a^2$이 2개, $b^2$이 2개, $c^2$이 2개, $+ 2ab$, $+ 2bc$, $+ 2ca$가 있게 됩니다.

$= \frac{1}{2} \cdot ($ $a^2 + 2ab + b^2$ $+$ $b^2 + 2bc + c^2$ $+$ $c^2 + 2ca + a^2$ $)$

$= \frac{1}{2} \cdot $ $ \left( \right. $ $(a + b)^2$ $+$ $(b + c)^2$ $+$ $(c + a)^2$ $ \left. \right) $

(6) $ a^3 + b^3 + c^3 =(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc $

증명 :

곱셈공식의 (9)번 공식 $ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 에서 $ - 3abc$를 이항하면

$ a^3 + b^3 + c^3 =(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc $

여기서, 우변의 괄호안 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca $는 바로 위의 (5)에서 봤던 공식입니다.

같이 적용해보면,

$ a^3 + b^3 + c^3 $

$=(a + b + c)$ $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ $+ 3abc $

$=$ $(a + b + c)$ $\frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$ $+ 3abc $

또는,

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = $ $\frac{1}{2}$ $(a + b + c)$ $\left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

이렇게 정리할 수 있습니다.

1-2. 예제문제

이렇게 곱셈 공식의 변형에 대한 개념은 마쳤고 예제문제를 풀면서 정리해보도록 할께요. 곱셈공식 변형 파트에서는 주로 구하고자 하는 것과 주어진 조건이 무엇인지 판단하고 기본 공식을 적어가며 연습하는데 초점을 맞춰주세요!

설명할 문제 : 개념원리 24p 필수예제 07, 개념원리 24p 필수예제 08, 개념원리 25p 필수예제 09, 개념원리 25p 필수예제 10, 개념원리 26p 필수예제 11

개념원리 24p 필수예제 07

주어진 조건:$x + y = 2$, $x^3 + y^3 = 14$

구하고자 하는 것: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ <- 공식(1) 이용

여기서 $(x + y)$의 값은 주어져 있고, $xy$는 주어진 식으로 구해야 합니다.

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ <- 공식(3) 이용
$14 = 2^3 - 3xy(2)$
$6 = -6xy$
$\therefore xy = -1$

구하고자 하는 것 :

$x^2 + y^2$

$= (x + y)^2 - 2xy$

$ = 2^2 - 2(-1)$

$= 4 + 2$
$= 6$

$\therefore x^2+y^2 = 6$

개념원리 24p 필수예제 08

(1)번 문제

주어진 조건 : $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ , $x \cdot \frac{1}{x} = 1$, x>0

역수 관계가 나오면 $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ $ 조건도 주어진 거나 다름 없습니다. 꼭 기억하기!

구하고자 하는 것 : $x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3$ $x \cdot \frac{1}{x} $ $\left( x + \frac{1}{x} \right)$

$\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 의 값을 알아야 답을 구할 수 있습니다. 주어진 식을 이용해 $\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 구해봅시다.

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$ $x \cdot \frac{1}{x} $
$ 3= \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$
$ 5= \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 $
$ \left( x + \frac{1}{x} \right) = \pm \sqrt{5}$
$ x>0 $ 이므로
$ \left( x + \frac{1}{x} \right) = + \sqrt{5}$

많이하는 실수 - $x^2 = A $ $\therefore \quad x = \pm \sqrt{A}$

최종 계산:
$x^3 + \frac{1}{x^3} $

$= \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right)$
$= 5\sqrt{5} - 3(1)(\sqrt{5})$
$= 2\sqrt{5}$

(2)번 문제

주어진 조건 : $x^2 - 3x + 1 = 0$

구하고자 하는 것 : $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$ $\left( x + \frac{1}{x} \right)$
역수 관계가 나온 경우 곱은 1이다. 즉, $\left( x + \frac{1}{x} \right)=1$
$\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 의 값을 알아야함

$\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 의 값을 구하기 위해
문제의 주어진 조건 $x^2 - 3x + 1 = 0$ 에서 양변을 $ x $로 나눠 주면 $x -3 + \frac{1}{x} = 0$
즉, $x + \frac{1}{x} = 3$

$x^2 + \frac{1}{x^2} $

$= \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$

$= 9 - 2$
$= 7$

개념원리 25p 필수예제 09

주어진 식을 전개해보면,

$= (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$
$= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)$

구해야하는 것은 $ a^2 + b^2 + c^2 $ , 문제에서 주어진 것은 $ ab + bc + ca $ 입니다.

$ a^2 + b^2 + c^2 $
$ = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ca) $
$ = 64-2(17) $
$ = 30 $

다시 이어가보면,

$= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)$

$ = 2(30)-2(17) $

$ = 60 - 34 $

$ = 26 $

이렇게 처음부터 전개를 해서 구할 수도 있지만, 공식 (5)를 이용하여 구할 수도 있습니다.

추가 풀이 :)

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

양변에 2를 곱해주면

$2((a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ca)) = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$ 공식 이용

$2((a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)) = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

$2(8^2 - 3(17)) = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

$26 = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

이 식을 바로 이용하여 계산을 진행할 수 있습니다.

개념원리 25p 필수예제 10

(1)번 문제

공식 (5)를 사용하는 문제입니다. 공식을 바로 적용해줍시다.

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

인데, $a-b=4-\sqrt{2} , b-c=4+\sqrt{2}$ 의 값은 주어져 있고, $ c-a $ 의 값은 구해줘야 합니다.

$ (a-b)+(b-c) = a-c $
$ (4-\sqrt{2}) + (4+\sqrt{2}) = a-c $
$ 8 = a-c $
$\therefore c-a = -8 $

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca $

$= \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( (4-\sqrt{2})^2 + (4+\sqrt{2})^2 + (-8)^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 16 - 8\sqrt{2} + 2 + 16 + 8\sqrt{2} + 2 + 64 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 100 \right) = 50$

(2)번 문제

$ a^3+b^3+c^3 $ 을 포함하는 공식은 공식 (6)번 $ a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$ 입니다.

구하고자 하는 것 : $ a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$

$a+b+c=2, , a^2 + b^2 + c^2=6, , abc=-2$ 는 주어져 있으므로 이 조건을 이용하여 $ ab+bc+ca $만 추가로 구해주면 됩니다.

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$
$2^2 = 6 + 2(ab+bc+ca) $
$-2 = 2(ab+bc+ca) $
$\therefore , ab+bc+ca = -1$

다시 구하고자 하는 식을 가져와 계산해주면,

$a^3 + b^3 + c^3$

$= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$

$= 2 \times (6 - (-1)) + 3 \times (-2)$

$= 2 \times 7 - 6 = 8$

$\therefore , a^3 + b^3 + c^3 = 8$

개념원리 26p 필수예제 11

< 직육면체 대각선길이 공식 증명 >

직육면체에서 가로길이 $=a$, 세로길이 $=b$, 높이 $=c$라 하면,

밑면 □$EFGH$를 보면, 피타고라스 정리에 의해

밑면 $EFGH$와 선분 $BF$는 직각 관계이므로, $\triangle BFH$는 직각삼각형이 됩니다.

즉, 직육면체에서 대각선의 길이는 $ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ 입니다.

이제 문제 풀이를 시작해 보겠습니다. 문제를 읽으면서 바로바로 식으로 정리 해 줍시다.

겉넓이가 90이고 -> $2(ab+bc+ca) = 90$ -> $\therefore (ab+bc+ca) = 45$
모든 모서리 길이의 합이 48일 때 -> $4(a+b+c) = 48$ -> $\therefore a+b+c = 12$
이 상자의 대각선 길이는? -> $ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ = ?

즉, 정리해보자면

주어진 조건: $ (ab+bc+ca) = 45$, $ a+b+c = 12$
구해야 하는 것: $ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$
$= (12)^2 - 90$
$= 144 - 90$
$= 54$

이므로

$\therefore , \text{직육면체 대각선 길이}$
$= \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

1-4. 추가자료

개념 정리 자료 ( 한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다.

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 22p~26p) 백지테스트.pdf

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 17p~21p) 백지테스트.hwp

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

공통수학 1 - 1 - 3. 다항식의 연산 - 곱셈 공식 증명 유도와 예제 문제 풀이

단디 티쳐 — Mon, 6 Jan 2025 11:55:11 +0900

1단원-1. 다항식의 연산 - 곱셈 공식 증명/유도

수학 문제 풀이에서 다항식의 전개는 매우 중요한 과정입니다. 곱셈 공식을 정확히 알고 활용하면 식을 깔끔하게 전개하고 효율적으로 문제를 풀 수 있습니다. 곱셈 공식을 증명/유도 하는 과정을 따라 적으며 연습해보고 문제를 풀 때 공식이 자연스럽게 떠오를 수 있게 해봅시다.

개념원리 공통수학 1 : 17p ~ 21p

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1-1. 곱셈 공식

$(1) \quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(2) \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
$(3) \quad (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
$(4) \quad (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$
$(5) \quad (x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc$
$\quad (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$
$(6) \quad (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
$(7) \quad (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \quad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$(8) \quad (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3, \quad (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$
$(9) \quad (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$
$(10) \quad (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$

혹시나 너무 많아서 암기를 못하겠다고 하는 친구들이라면 아래의 공식만 형광펜 쳐두고 암기하셔도 됩니다. 아주 조금 줄어들었죠? 더는 못 줄이니까 이거는 꼭 외우기!! 그리고 그냥 달달 외우기 보다는 문제를 풀때 적용된 공식을 한번씩 써보면서 암기하는 것을 추천합니다.

$(1) \quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$(2) \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
$(5) \quad (x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc$
$(6) \quad (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
$(7) \quad (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $
$(8) \quad (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3, \quad (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$
$(9) \quad (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$
$(10) \quad (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$

1-2. 곱셈 공식 유도

곱셈 공식을 유도하는 과정은 단순히 전개해보는 것입니다. 이전 글에서 언급한 1-2. 다항식의 곱셈에서 다항식의 분배법칙을 이용해 전개해 나가는 것 입니다.

(x+y)(a+b+c)=ax+bx+cx+ay+by+cy 다항식의 분배법칙 증명

$(1) \quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 공식 유도

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 공식 유도

이렇게 분배법칙을 이용해 하나씩 전개해 보도록 할께요.

$(2) \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 공식 유도

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

$(3) \quad (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ 공식 유도

$(x + a)(x + b)$
$= x^2 + bx + ax + ab$
$= x^2 + (a + b)x + ab$

$(4) \quad (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ 공식 유도

$(ax + b)(cx + d)$
$= acx^2 + adx + bcx + bd$
$= acx^2 + (ad + bc)x + bd$

$(5) \quad (x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc$ 공식 유도

(x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc 공식 유도

$(6) \quad (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 공식 유도

$ (a+b+c)^2 $

$=(a+b+c)(a+b+c)$
$=(a^2+ab+ac)+(ab+b^2+bc)+(ac+bc+c^2)$
$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$(7) \quad (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \quad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ 공식 유도

$ (a+b)^3 $

$= (a+b)(a+b)(a+b)$

2개 먼저 전개

$=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

$=(a^3+2a^2b+ab^2)+(ba^2+2ab^2+b^3)$
$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$ (a-b)^3 $

$= (a-b)(a-b)(a-b)$

2개 먼저 전개

$=(a-b)(a^2-2ab+b^2)$

$=(a^3-2a^2b+ab^2)+(-ba^2+2ab^2-b^3)$
$=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$(8) \quad (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3, \quad (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$ 공식 유도

$ (a+b)(a^2-ab+b^2) $

$= (a^3-a^2b+ab^2)+(ba^2-ab^2+b^3)$

$= a^3 + b^3 $

$ (a-b)(a^2+ab+b^2) $

$= (a^3+a^2b+ab^2)+(-ba^2-ab^2-b^3)$

$= a^3 - b^3 $

$(9) \quad (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 공식 유도

$ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$=(a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c)+(a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc)+(a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-c^2a)$
$=a^3+b^3+c^3-3abc$

$(10) \quad (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$ 공식 유도

$(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$((a^2+b^2)+ab)((a^2+b^2)-ab)$ ← $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 공식 이용

$=(a^2+b^2)^2-(ab)^2$
$=a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2$
$=a^4+a^2b^2+b^4$

1-3. 예제문제

예제문제를 풀면서 공식 기본형을 꼭 한번씩 써보면서 연습해 보시길 바랍니다. 그렇게 연습하다보면, 나중에 배울 인수분해 과정에서 식의 꼴이 바로 보여 전개된 식을 다시 묶어주는 인수분해 과정에서도 편할꺼에요.

설명할 문제 : 개념원리 19p 필수예제 04, 개념원리 18p 14-(2), 개념원리 20p 필수예제 05, 개념원리 21p 확인체크 17번

개념원리 19p 필수예제 04-(1)

(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca 공식 이용 예제 문제

$(6) \quad (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 공식 문제입니다. 공식을 꼭 써보며 공부합시다!
각 항을 먼저 동그라미 쳐서 하나로 생각해주는 것이 제일 먼저 입니다. a,b,c가 보이게 먼저 정리해주세요. - 부호 같은 경우 묶어서 생각해준다는 것은 앞글에서 했었죠 ?
이후 각항을 제곱해서 적고 2곱하기 웃음(^-^) 만들기!! (첫번째 줄의 빨간색 (1),(2),(3)을 보면 ^-^모양이지 않나요 ? )

계산실수가 많이 나는 학생이라면 괄호를 이용해서 적어주시고 정리하도록 해주세요! 괄호쓰는게 익숙하지 않은 학생들이라 어디에 괄호를 써야 할지 모르겠다면 동그라미 대신 괄호를 쓴다 생각해주면 됩니다.

차근차근 빨라 질테니 너무 처음부터 한번에 답을 내려고 하지말고, 괄호를 이용해 공식 꼴이 보이게 정리하면서 공부해주세요.

개념원리 19p 필수예제 04-(2)

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 공식 이용 예제 문제

$(7) \quad (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $ 공식 문제입니다.
각 항을 먼저 동그라미 쳐서 하나로 생각
괄호를 이용해 공식 구조로 적어 주고 정리해 주면 됩니다.

개념원리 19p 필수예제 04-(3)

(x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc 공식 이용 예제 문제

$(5) \quad (x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc$ 공식 문제입니다.
a, b, c 가 보이게 동그라미를 쳐줍니다.
$x^3$ 을 먼저 쓰고, $x^2$ 의 계수는 한 개씩 더해주고, $x$ 의 계수로는 두 개씩 웃음($^-^$) 모양으로 곱한 각각을 더해주고, 상수항으로는 세 개를 다 곱한 것을 적어주시면 됩니다.

개념원리 19p 필수예제 04-(4)

주어진 식에서 한 항의 부호만 다르고 다른 것은 모두 같으므로 $(10) \quad (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$ 공식을 이용한 문제입니다.

즉, 주어진 식을 $ (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) $ 꼴로 봐줘야 해요.

(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4 공식 이용 예제 문제

a,b에 해당하는 항을 동그라미 쳐주고 괄호를 이용해 공식 적용을 해줍니다.
이후 계산하여 정리

회색글씨처럼 $ (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) $ 꼴이 보이게 정리 하는 과정을 꼭 해주세요!! 계산실수가 많이 나는 유형입니다.

너무 어렵더라도 자꾸 연습하다보면 눈에 보일테니 반복 ! 또 반복! 하도록 해주세요.

개념원리 19p 필수예제 04-(5)

$(2) \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 공식을 여러번 쓰는 유형이에요.

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 공식 이용 예제 문제

1번째 줄에서 2번째 줄 : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 에서 $ a=x, b=y $로 봐줍니다.
2번째 줄에서 3번째 줄 : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 에서 $ a=x^2, b=y^2 $으로 봐줍니다.
3번째 줄에서 4번째 줄 : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 에서 $ a=x^4, b=y^4 $으로 봐줍니다.

조금 어렵거나 틀렸다면, $ (x^4 + y^4)(x^4 - y^4) = (x^4)^2 - (y^4)^2 = x^8 - y^8 $ 이렇게 중간중간 적어가보면서 해보는 것을 추천합니다.

개념원리 19p 필수예제 04-(6)

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 , (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3, (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 공식 이용 예제 문제

1번째 줄에서 2번째 줄 : $(2) \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 공식 사용
2번째 줄에서 3번째 줄 : $(8) \quad (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3, \quad (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$ 공식 사용

두개의 공식을 사용해야하는 문제 입니다. 공식의 꼴이 보이도록 괄호를 이용해 적어주고 계산하도록 연습해주세요.

★☆★☆

$(a$ $+$ $b)(a^2$ $-$ $ab+b^2) = a^3$ $+$ $b^3$

$(a$ $-$ $b)(a^2$ $+$ $ab+b^2) = a^3$ $-$ $b^3$

(8)번 공식의 경우

앞이 +면 (중간은 -) 결론도 +

앞이 -이면 (중간은 +) 결론도 -

앞의 괄호 부호를 따라가니 주의 해주세요.

개념원리 18p 14-(2)

$(9) \quad (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 공식을 이용하는 문제가 없어서 하나 추가로 가져와봤습니다.

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc 공식 이용 예제 문제

복잡할 수 있지만, 동그라미 또는 괄호를 이용해 공식의 꼴이 보이도록 정리하면서 연습하다보면 나중에는 이공식이구나! 바로 보일 수 있으니 꼭 공식이 보이도록 적은 후 대입하는 연습을 하도록 하세요.

저는 공식을 적용할때 아직도 괄호를 한번 쓴 후 정리를 합니다.

남들은 "머리로 계산하고 정리하는 과정을 한번에 생각"할때, 저는 그냥 "(3번째 줄)괄호이용해서 적는데 집중 -> (4번째 줄)계산하는데 집중" 이렇게 나눠서 처리하다보니 속도나 정확성에서 오히려 더 좋았던 것 같아요. 물론 쉬운 공식은 바로바로 하는 편입니다. ( 계산과 정리가 남들보다 더 빠르게 바로바로 되는 학생이라면 아주 좋습니다. 무조건 이렇게 하라는 건 아니에요.)

개념원리 20p 필수예제 05

공통부분이 있는 다항식 문제 풀이 tip

주어진 식을 전개하여 동류항끼리 정리할 때 특정한 꼴의 식은 곱셈 공식을 이용하여 전개 할 수 있지만 곱셈공식을 사용할 수 있는 특정 꼴이 아닌 경우 그나마 조금 더 효율적으로 전개하는 방법을 이문제를 통해 배워보도록 할께요.

(1)번 문제 풀이 :

$ (x^2 + x + 2)(x^2 + x - 4) $식을 하나하나 전개해도 되지만, $ x^2 + x $ 공통부분이 있기 때문에 $ X = x^2 + x $ 치환하여 전개해 주는 방법을 이용해 보도록 할께요.

$ (x^2 + x + 2)(x^2 + x - 4) $

$ X = x^2 + x $ 치환

$= (X + 2)(X - 4) $

전개

$ = X^2 - 2X - 8 $

$ X = x^2 + x $ 치환 한것을 다시 대입

$ = (x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 8 $

각각을 전개

$ = (x^2)^2+2 (x^2) (x) +(x)^2 - 2(x^2) - 2(x) - 8 $

정리

$ = x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x - 8 $

동류항끼리 정리

$ = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x - 8 $

(2)번 문제 풀이 :

전개를 하나하나 다하면 힘들고 오래걸리니까 공통부분이 생기도록 두개씩 짝지어 줄 것입니다.

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ 에서
좌변의 상수항끼리의 합 = 우변의 $x$의 계수
좌변의 상수항끼리의 곱 = 우변의 상수항

인 것을 알 수 있습니다. 그렇다면, 두개씩 묶어서 먼저 전개를 해 줄 때 $x$의 계수 또는 상수항의 계수를 같게 전개를 해주면 공통 부분이 생긴다는 것을 알 수 있습니다. 자주 나오니 꼭 기억하도록 합시다.

$(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)$

두개씩 먼저 전개를 해주려고 하는데, -1+3=2이고 -2+4=2 로 상수항끼리의 합을 같게 , 즉 전개했을 때 $x$의 계수가 같게 전개 가능

$= (x-1)(x+3)(x-2)(x+4)$

$(x-1)(x+3)$끼리 전개, $(x-2)(x+4)$끼리 전개 해줌

$= (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 8) $

$x^2 + 2x $ 공통 부분을 X로 치환

$= (X - 3)(X - 8) $
$= X^2 - 11X + 24 $

$(X = x^2 + 2x) $ 치환한것을 다시 대입

$= (x^2 + 2x)^2 - 11(x^2 + 2x) + 24 $
$= x^4 + 6x^3 + 4x^2 - 11x^2 - 22x + 24 $

동류항끼리 정리

$= x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 22x + 24$

개념원리 21p 확인체크 17번

주의해야할점 : 등호가 성립 되게 세로로 식을 적어가며 풀이 해주기

항상 등호를 이용해 위에 쓴식과 아래에 쓰는 식의 값이 같은지 생각해주면서 문제 풀이를 해야합니다. 제 풀이 과정을 보면 =를 쓰면서 밑에 식을 정리하고 또 다음줄에 =를 쓰면서 식을 정리하고.. 이 과정이 반복되는 것을 알 수 있습니다.

처음에는 오래걸리고 힘들겠지만, 이 습관을 가지면 계산실수를 덜하게 되고 속도도빨라지며, 시험때 검산하기도 편하니 꼭 연습하시길 바랍니다.

풀이 :

$(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)$

$=$ $ \frac{1}{4} (5-1)$ $(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)$

$(2) \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$공식 사용을 위해 $(5-1)$을 곱해주고 싶은데 위의 식이랑 비교 해보았을 때 그냥 곱해주게 되면 원래 값에 4가 곱해진 값을 갖게 됩니다. 그러면 위의 식과 아래의 식이 같다라는 등호를 쓸 수 없게 되겠죠 ?
그래서 역수인 1/4 를 곱해서 위의 식과 아래의 식을 같게 만들어 줍니다.

$=$ $\frac{1}{4}$ $(5^2 - 1)(5^2 + 1)$ $(5^4 + 1)(5^8 + 1)$

$=$ $\frac{1}{4}$ $(5^4 - 1)$ $(5^4 + 1)$ $(5^8 + 1)$

$=$ $\frac{1}{4}$ $(5^8 - 1)$ $(5^8 + 1)$

$=$ $\frac{1}{4}$ $(5^{16} - 1)$

답 : $= \frac{1}{4}(5^{16} - 1)$

이렇게 수에서도 곱셈공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

1-4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일/pdf)

이 파일로 수업 내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다.

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 17p~21p) 백지테스트.pdf

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 14p~16p) 백지테스트.hwp

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공통수학 1 - 1 - 2. 다항식의 연산 - 지수 법칙과 다항식의 곱셈

단디 티쳐 — Thu, 2 Jan 2025 10:00:25 +0900

1단원-1. 다항식의 연산 - 지수 법칙과 다항식의 곱셈

이번 글에서는 '지수 법칙'과 '다항식의 곱셈'에 대한 성질을 배우고, 이를 활용한 계산 방법과 문제 풀이를 연습해 보겠습니다. 또한, 지수 법칙이 어떻게 성립하는지 증명하는 과정을 따라해보며 원리를 이해할 수 있도록 하고 예제를 통해 개념을 확실히 체득해 봅시다.

개념원리 공통수학 1 : 14p ~ 16p

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1-1. 지수법칙

$ a^b $ → $a$를 $b$번 곱한다. $ a $를 '밑', $ b $를 '지수'라 한다.

$ a^m \times a^n = a^{m+n}$

예: $3^2 \times 3^3 = (3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3) = 3^{2+3} = 3^5$

$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

예: $3^3 \div 3^2 = \frac{3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} = 3^{3-2} = 3^1$

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

예: $ (3^2)^3 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^{3 \times 2} = 3^6 $

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$

예: $ (3 \times 2)^3 = (3 \times 2) \times (3 \times 2) \times (3 \times 2) = 3^3 \times 2^3 $

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

예: $ \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3^3}{2^3} $

추가 설명 :)

$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ 이 식은 사실 $ m > n $ 일 때만 가능하다고 배웁니다. 왜냐하면 지금까지는 지수에 자연수만 쓸 수 있다고 배웠기 때문이에요. 그래서 지수에 0이나 음수를 쓸 수 없기 때문에 바로 아래의 식처럼 배웁니다.

$$ a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = \begin{cases} a^{m-n} & (m > n \text{일 때}) \\ 1 & (m = n \text{일 때}) \\ \frac{1}{a^{n-m}} & (m < n \text{일 때}) \end{cases} $$

하지만, 고2 대수과목을 할때 이 지수를 실수범위까지 확장하게 되는데, 안그래도 어려운 내용이 많은데 또 새로운 계산까지 익숙해 져야 한다는 것이 꽤 힘든 과정입니다. 그래서 저는 미리 학생들에게 $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ 라고만 정의를 시켜 미리 익숙해지도록 연습시킵니다. 고2 과정인 대수과목을 설명할 때 더 자세하게 다룰 예정이지만, 학교 서술형에 쓰지만 않는다면 문제될것은 없으니 간단하게 설명해보도록 할께요.

$n = m$일 때 $a^n \div a^m = a^{n - m}$ 으로 정의하기 위해 $a^0 = 1$이라는 개념이 도입됩니다.

$$ a^n \div a^n $$

$$= \frac{a \times a \times \cdots \times a}{a \times a \times \cdots \times a} = 1 \quad \text{(실제 계산)}$$

$$ = a^{n - n} = a^0 \quad (\leftarrow a^n \div a^m = a^{n - m} \text{이용)} $$

실제 계산 결과는 1인데, $a^n \div a^m = a^{n - m}$를 사용하면 $ a^0 $ 입니다. 즉, $a^0 = 1$가 됩니다.

$n < m$일 때 $a^n \div a^m = a^{n - m}$ 으로 정의하기 위해 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$이라는 개념이 도입됩니다.

$$a^n \div a^m $$

$$= \frac{a \times a \times \cdots \times a}{a \times a \times \cdots \times a} = \frac{1}{a^{m - n}} \quad \text{(실제 계산)} $$ $$ = a^{n - m} \quad (\leftarrow a^n \div a^m = a^{n - m} \text{이용)} $$

$ \frac{1}{a^{m - n}}$과 $ a^{n - m}$의 값이 같다는 것을 알 수 있습니다. 이를 일반화 시켜보면 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 가 됩니다.

결론 (학교 서술형에서는 사용x)
$ a^n \div a^m = a^{n - m} $
$a^0 = 1$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

어렵게 느껴질 수있지만, 미리 익숙해져놓으면 대수 과목을 공부할때 편리하니 미리 해두시는 것을 추천합니다.

예제 : $\left( \frac{2}{3} a^2 b \right)^3 \div \left( a^3 b \right)^2 \times \left( -\frac{1}{2} b^2 \right)^3$

풀이 : $= \left( \frac{8}{27} a^6 b^3 \right) \div \left( a^6 b^2 \right) \times \left( -\frac{1}{8} b^6 \right)$

$= \left( \frac{8}{27} \times -\frac{1}{8} \right) \cdot a^{6 - 6} \cdot b^{3 - 2 + 6}$

수는 수끼리 괄호 이용해서 바로 적기, 문자의 지수를 정리할 때는 나누기는 빼기, 곱하기는 플러스로 바로 적어줌

$= -\frac{1}{27} a^0 b^7$

값들을 정리해서 한번 더 적어주고, $a^0 = 1$을 써서 한번 더 정리

$= -\frac{1}{27} b^7$

1-2. 다항식의 곱셈

다항식의 곱셈에 대해서 설명해보도록 할께요.

단항식과 다항식, 전개와 인수분해 설명

*괄호는 하나의 항으로 생각!

좌변의 경우 곱으로 연결되어있기 때문에 하나의 항 "단항식"이고, 우변의 경우 항이 여러개이므로 "다항식"입니다. 단항식을 다항식으로 만드는 과정을 우리는 "전개한다"라고 합니다. 반대로 다항식을 단항식으로 만드는 과정을 "인수분해한다"라고 이야기 합니다. 그렇다면, 좌변에서 우변으로의 전개는 왜 식이 저렇게 나오게 되는 것 일까요?

(x+y)(a+b+c)=ax+bx+cx+ay+by+cy 다항식의 분배법칙 증명

$(x + y)(a + b + c) = ax + bx + cx + ay + by + cy$에서 좌변은 가로의 길이가 $(a+b+c)$, 세로의 길이가 $(x+y)$인 전체 사각형의 넓이라고 생각할 수 있습니다. 우변의 경우 사각형을 쪼개서 세로 길이 $x$와 가로 길이 $a$인 사각형 넓이 $ax$, 세로의길이 $y$와 가로 길이 $a$인 사각형 넓이 $ay$...이렇게 작은 사각형 넓이의 합을 구해주는 것입니다.

결국 넓이는 같으니 $(x + y)(a + b + c) = ax + bx + cx + ay + by + cy$ 라는 결론이 나옵니다.

가로 길이 하나와 세로길이 하나가 만나서 작은 사각형의 넓이를 이루듯이 식의 좌변의 첫번째 괄호와 두번째 괄호가 하나씩 곱해져 우변의 하나의 항을 이루게 되는 것이죠.

예제 : $(2x - 3y + 1)(x + y - 2)$를 전개하시오.

풀이 :

(2x)가 (x)와 만나서 $2x^2$, (y)와 만나서 $2xy$, (-2)와 만나서 $-4x$
(-3y)가 (x)와 만나서 $-3xy$, (y)와 만나서 $-3y^2$, (-2)와 만나서 $6y$
(1)이 (x)와 만나서 $x$, (y)와 만나서 $y$, (-2)와 만나서 $-2$

이렇게 생각하면서 아래의 식을 바로 씁니다.

$= 2x^2 + 2xy - 4x - 3xy - 3y^2 + 6y + x + y - 2$

이후 동류항끼리 정리해 줍니다.

/ (슬래시 또는 엑스)를 이용해 계산해준건 제거하면서 정리해주면 계산실수를 줄일 수 있습니다.

$= 2x^2 - xy - 3x - 3y^2 + 7y - 2$

1-3. 예제 문제

추가로 몇가지 문제를 보면서 부족한 개념을 채우고 배운 내용을 적용하고 정리해 보도록 할께요.

설명할 문제 : 개념원리 15p 9번, 16p 필수예제 03

개념원리 15p 9번

풀이 :

다항식의 곱셈에 대한 성질을 이용한 예제 문제

답은 분배법칙을 사용한 ㄱ,ㄹ입니다. 전개해 주는 것만 분배법칙이라 생각을 많이 하는데 다시 묶어주는 인수분해 과정도 분배법칙에 해당합니다. 대부분 학생들이 ㄱ과 같은 오른쪽으로 공식적용은 잘하는데 고등수학에서는 ㄹ과 같은 왼쪽으로 공식 적용도 할 수 있어야합니다.

ㄴ,ㄷ은 이전글에서 배운 "다항식의 덧셈 법칙"과 관련 있습니다. 추가로 다항식의 곱셈에 대한 성질도 간단히 정리하고 넘어가도록 할께요.

"다항식의 곱셈에 대한 성질" 정리
세 다항식 $A, B, C$에 대하여
(1) 교환법칙: $AB = BA$ : 자리를 바꿔도 결과가 같다
(2) 결합법칙: $(AB)C = A(BC)$ : 괄호 위치가 달라져도(다르게 묶여도) 결과가 같다.
(3) 분배법칙: $A(B + C) = AB + AC$, $(A + B)C = AC + BC$

16p 필수예제 03

풀이 : 아까 1-2 다항식의 곱셈 설명에서, " 좌변의 첫번째 괄호와 두번째 괄호가 하나씩 곱해져 우변의 하나의 항을 이루게 된다. " 라고 설명을 했었죠 ?? 이 성질을 생각해보면, 첫번째 괄호 $(1 + 3x + 2x^2 + 4x^3)$에서 하나씩 선택이 되고, 두번째 괄호 $(3 + 2x + 4x^2 + 5x^3)$에서 하나씩 선택이 되어 전개가 될 것입니다. 즉, "전개식의 하나의 항"은 "전개 전 각각의 괄호에서 하나씩 선택"이라고 생각이 가능합니다.

다항식의 전개 특징 : 전개식의 하나의 항은 전개 전 각각의 괄호에서 하나씩 선택

(참고 : 문자 대신 숫자가 있더라도 가능합니다.)

그래서 아예 $x^3$이 만들어지는 항만 생각해볼 것입니다.

( 아래 그림의 제일 왼쪽 단계 ) : 왼쪽 괄호에서 선택될 수 있는 모든 경우의 수를 먼저 생각해보면 $1 $ , $+ 3x$ , $+ 2x^2$ , $+ 4x^3$입니다. 이를 먼저 써 놓을께요. 하나의 기준으로 모든 경우를 먼저 생각하는 것을 보고 case 분류한다라고 합니다.

x^3이 만들어지는 항만 구하는 효율적인 풀이 방법 (왼쪽부터 순서대로 진행과정을 보여줌)

(위의 그림의 중간 단계) : 이제, $x^3$항이 만들어지도록 두번째 항을 차례대로 써 줍니다.
(위의 그림의 마지막 단계) : 이후 계산해주고 각각의 만들어진 항은 더하기 관계이기 때문에 더해서 $x^3$의 계수를 구해줍니다.

case 분류를 먼저 해주고 각각의 경우를 생각해주는것은 너무너무 중요합니다. 이제 자주 나올꺼에요. case 분류하는 방법이 안 익숙하고 처음 들어봤더라도 이제 계속 나올꺼니까 천천히 익숙해져도 괜찮아요.

추가 관련 문제

설명했던 개념을 조금 더 확장시켜 본다면, 괄호가 여러개 이더라도 전개했을 때의 하나의 항은 각 괄호안에서 하나씩 선택 하여 만들어지게 됩니다.

괄호가 여러개인 경우 전개식의 하나의 항은 각각의 괄호에서 하나씩 선택

$x^3$ 항을 만들기 위해서는 세개의 괄호에서 모두 $x$가 선택 되어야 합니다.
$x^2$항을 만들기 위해서는 두개의 괄호에서는 $x$, 하나의 괄호에서는 상수가 선택 되어야 합니다.
$x$항을 만들기 위해서는 한개의 괄호에서는 $x$, 다른 두개의 괄호에서는 상수가 선택 되어야 합니다.
상수항을 만들기 위해서는 모든 괄호에서 상수가 선택 되어야 합니다.

즉, 요약하자면 " 전개식 하나의 항 = 각각의 괄호에서 하나씩 선택 " 이라고 생각하면 됩니다.

16p 필수예제 03 (2)

풀이를 설명하기 전에, 한가지 예를 먼저 들어볼께요. 천천히 이해하며 따라가 봅시다.

숫자계산에서 다항식의 곱셈에 대한 성질 이용

좌변 처럼 인수분해 한 꼴에서 계산을 해도, 우변처럼 전개한 꼴에서 계산을 해도 같은 결과를 가지게 됩니다.

다항식의 곱셈에 대한 내용이 숫자들간의 계산에서도 당연히 성립한다는 뜻이죠.

곱꼴로 정리된 식을 전개하는 과정

이 식을 전개하면 이렇게 전개가 되겠죠 ? 여기서 문자들만 살짝 지워보겠습니다.

곱꼴로 정리된 식을 전개하는 과정에서 숫자만 생각

첫 줄의 인수분해된 꼴 $ (3 + 5)(2 + 3 + 2)$를 계산한 값과 세번째 줄의 $ 6 + 9 + 6 + 10 + 15 + 10 $의 계산 값은 같은 결과를 가지게 되겠죠?
$(3x + 5)(2y^2 + 3y + 2) $의 전개식에서 상수항을 포함한 모든 항의 계수들의 총합이 6 + 9 + 6 + 10 + 15 + 10 입니다.
즉, $ (3 + 5)(2 + 3 + 2)$를 계산한 값 = $(3x + 5)(2y^2 + 3y + 2) $의 전개식에서 상수항을 포함한 모든 항의 계수들의 총합

이런 결론이 나오게 됩니다. 문자에 1을 대입해도 문자가 사라지는 것과 같으니 상수항을 포함한 모든 항의 계수들의 총합을 구하기 위해서는 문자들을 제거해서 바로 계산한다 생각해주셔도 되고 문자들에 1을 대입했다 생각해주셔도 되는 것입니다.

상수항을 포함한 모든 항의 계수들의 총합은 문자 무시 가능, 문자에 1넣었다 생각 가능

이제 문제를 본격적으로 풀어보도록 하겠습니다.

$ (2x^2 - x + 3)(5x^3 - 2x^2 + x + 1)$ 의 전개식에서 상수항 포함한 모든 항의 계수들의 총합

"$x$ 를 제거 해서 쓰기 또는 $x$에 1 대입"한다 생각
$ = (2 - 1 + 3)(5 - 2 + 1 + 1) $
$ = (4) \times (5) = 20 \quad \therefore 20 $

중요한 내용도 많고 정확히 원리를 이해하기 위해 충분한 연습을 하도록 합시다.

1-4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일/pdf)

이 파일로 수업 내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다.

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 14p~16p) 백지테스트.pdf