공통수학 1 💡시험 기간 필수 복습💡RPM 11p 53번 문제 풀이 & 해설 - 공통 부분이 있는 다항식의 전개

📌 문제 : 공통수학 1 RPM 11p 53번

이 문제는 공통수학 1에서 등장하는 복잡한 제곱식과 치환 기법을 응용하는 대표 유형입니다. 치환을 통해 계산 복잡도를 줄이고, 합차 공식과 곱셈 공식을 정확히 적용해야 풀 수 있는 문제입니다.

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."

---

🧠 문제 요약

$a = \sqrt{7}$

$\left((5+2a)^3 - (5-2a)^3\right)^2 - \left((5+2a)^3 + (5-2a)^3\right)^2$ 의 값을 구하시오.

---

🔍  해설 요약

• 치환을 통해 복잡한 다항식 정리를 단순화
• 합차 공식: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ 활용
• $a^2 = 7$을 빠르게 적용해 $AB$를 계산

---

✏️  풀이 과정

Step 1. 치환 설정

숫자 계산이 복잡하다면, 반복되는 수나 식은 하나의 문자로 치환 후 정리해 주도록 합시다. 

$\left((5+2a)^3 - (5-2a)^3\right)^2 - \left((5+2a)^3 + (5-2a)^3\right)^2 = \left(A^3 - B^3\right)^2 - \left(A^3 + B^3\right)^2$

---

Step 2. 합차 공식 적용

$5+2a$와 $5-2a$가 반복되므로 $5+2a = A$, $5-2a = B$라 치환 해 줍니다.

((5+2a)^3 - (5-2a)^3)^2 - ((5+2a)^3 + (5-2a)^3)^2 = (A^3 - B^3)^2 - (A^3 + B^3)^2$

---

Step 3. $AB$ 계산
$AB = \left(5+2a\right)\left(5-2a\right) = 25 - 4a^2 = -3 \quad \text{(여기서 $a^2 = 7$임으로 계산)}$

---

Step 4. 최종 계산
$\left(A^3 - B^3\right)^2 - \left(A^3 + B^3\right)^2 = (-2B^3)(2A^3) = -4\left(AB\right)^3 = -4 \times \left(-27\right) = 108$

---

✅ 정답: 108

💡 Tip

반복되는 수나 항이 있다면, 치환할 수 있지 않을까 가능성 열어두고 접근하기

📎 관련 문제

• 공통부분이 있는 다항식의 전개 - 개념원리 20p 필수예제 05