공통수학 1 - 1 - 18. 인수분해 - 인수분해 활용

1단원 - 3. 인수분해 

지금까지 공부했던 인수분해 내용을 바탕으로 활용문제를 풀어보도록 할께요. 수학 시험이나 내신 대비, 그리고 수능을 준비하는 과정에서 인수분해를 빠르고 정확하게 푸는 능력은 필수적입니다. 이번 글에서는 "개념원리 공통수학 1" 교재를 기반으로 인수분해 활용 문제를 체계적으로 정리하고, 다양한 유형별 문제 풀이법을 소개합니다.

 

또한, 삼각형과 인수분해의 관계, 치환을 활용한 인수분해 방법, 그리고 항의 개수에 따른 접근법 등 실전에서 자주 나오는 문제 유형을 상세히 분석합니다. 본문에서는 필수예제 풀이 과정을 하나씩 따라가며 개념을 완벽히 이해할 수 있도록 설명하였으니, 인수분해 문제 해결 능력을 키우고 싶은 학생이라면 끝까지 읽어보시길 추천합니다.

 

개념원리 공통수학 1 : 71p ~ 72p

 

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1-1. 필수예제 풀이 

필수예제 풀이를 보며, 논리적으로 

개념원리 71p 필수예제 07

복잡한 수의 계산에서는 반복되는 수를 $X$로 치환하고 인수분해 공식을 적극 활용하여 풀이 해줍니다.

 

(1) 

$\frac{2026^3 + 1}{2025 \times 2026 + 1}$

• $2026 = X$ 치환

$= \frac{X^3 + 1}{(X-1)X + 1}$
$= \frac{(X+1)(X^2 - X + 1)}{X^2 - X + 1} \quad \leftarrow , a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ 이용
$= X + 1$
$= 2026 + 1$
$= 2027$

 

(2)

$\sqrt{50 \times 52 \times 54 \times 56 + 16}$

• $50 = x$ 치환

$= \sqrt{(x)(x+2)(x+4)(x+6) + 16}$ 

• 여기서, 괄호가 4개이므로 공통부분을 만들기 위해 2개씩 묶어 풀어줍니다. 
• 상수항의 합이 $x$의 계수를 결정하므로 0+6 = 2+4 입니다.
• 즉, $(x)$와 $(x+6)$ , $(x+2)$와 $(x+4)$로 두개씩 묶어 먼저 전개를 해줍니다. 

$= \sqrt{(x^2 + 6x)(x^2 + 6x + 8) + 16}$

• $(x^2 + 6x)$이 반복되므로 A로 치환하여 정리해 주셔도 되고 굳이 치환없이 한덩어리로 묶어서만 생각해주셔도 됩니다.

$= \sqrt{(x^2 + 6x)^2 + 8(x^2 + 6x) + 16}$

$ (x^2 + 6x) ----- +4 $

$ (x^2 + 6x) ----- +4 $
$= \sqrt{(x^2 + 6x + 4)^2}$

• $\sqrt{A^2} = |A|$ 로 항상 절댓값으로 정리하는 습관을 가지도록 합시다. 

$= |x^2 + 6x + 4|$

• $x = 50$ 대입

$= | 50^2 + 6 \times 50 + 4 | $ ← 절댓값 안이 양수이므로 그냥 나옴
$= 2500 + 300 + 4$ 
$= 2804$

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개념원리 71p 필수예제 08

주어진 조건 : $a-b = 5, b-c = -2$

$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$  → 항 여러개, 문자 여러개 : 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리 

 

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 → 차수가 같으므로 어떤 문자 기준 내림차순 정리하든 상관 없음

 

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리:

$= -(b-c)a^2 + (b^2 - c^2)a - bc(b-c)$

$= -(b-c)a^2 + (b - c)(b + c)a - bc(b-c)$

1. 공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
   $= -(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$
2. 한 번 더 인수분해
   $= -(b-c)(a-b)(a-c)$

따라서,
$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$

$= -(b-c)(a-b)(a-c)$

• 주어진 조건 : $a-b = 5, b-c = -2$, 구해야 하는 것 : $ a-c $
  $a-c = a-b + b-c = 5 + (-2) = 3$ 

$= -(-2)(5)(3) = 30$

$\therefore 30$

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개념원리 72p 필수예제 09

삼각형 세 변의 길이 $a, b, c$ → 길이이므로 $a > 0, b > 0, c > 0$

$a^3 - b^3 - ab - c^2a + a^2b - bc^2 = 0$ → 항 여러개, 문자 여러개 : 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리 

 

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$a$: 3차, $b$: 3차, $c$: 2차 

 

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준으로 내림차순 정리:

$-(a+b)c^2 + a^3 + b^2a - b^2a - b^3 = 0$

$-(a+b)c^2 + a^2(a+b) - b^2(a+b) = 0$

1. 공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
   $-(a+b)(c^2 - a^2 + b^2) = 0$

즉 , 주어진 식 : $-(a+b)(c^2 - a^2 + b^2) = 0$

• 여기서, $a > 0, b > 0$ 이므로 $a+b \neq 0$ 입니다.
• 그렇다면 값이 0이 되기위해서는 $c^2 - a^2 + b^2 = 0$ 이여야 합니다.
• $\therefore c^2 + b^2 = a^2$

따라서, '빗변이 $a$인 직각 삼각형(변 관계로 설명) 또는 $\angle A = 90^\circ$인 직각 삼각형(각 관계로 표현)'이라는 결론이 나오게 됩니다. 

가끔 학교 내신 문제에서 변 관계로 설명과 각 관계로 설명을 섞어서 내는 학교도 있으니 두가지로 표현 할 수 있어야 합니다.

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위의 문제에서 나온 직각삼각형에 이어서 이등변삼각형과 정삼각형도 자주나오는 유형이니 정리해 두도록 합시다.

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"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."