공통수학 1 - 1 - 20. 인수분해 연습문제 step 1&2풀이

1단원 - 3. 인수분해 

인수분해는 다항식을 보다 단순한 형태로 변형하여 문제 해결을 쉽게 하는 핵심 개념입니다. 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1(73p~75p)의 연습문제 풀이를 통해 조립제법, 치환법, 공통인수 묶기, 고차식의 인수분해, 완전제곱식 활용 등 다양한 유형을 학습합니다. 특히 $(x+1)^2$을 인수로 가지는 다항식의 조립제법 적용, 문자 여러 개가 포함된 인수분해, 삼각형의 변 길이를 활용한 문제 해결법, 직육면체의 부피를 이용한 응용문제 등을 집중적으로 다룹니다. 수능과 내신 대비를 위해 필요한 핵심 풀이법과 전략을 체계적으로 정리하여 빠르고 정확한 문제 해결 능력을 키울 수 있도록 돕겠습니다.

 

개념원리 공통수학 1 : 73p ~ 75p

 

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개념원리 74p 연습문제 136번

$f(x)$가 $(x+1)^2$을 인수로 가진다. → $-1$로 연달아 2번 조립제법 가능 

 

$f(x) = (x+1)^2 A(x)$
$f(x) = (x+1) \cdot (x+1)A(x)$

• 이렇게 정리해서 보면,
  $f(x)$를 $(x+1)$로 나누었을 때 몫은 $(x+1)A(x)$, 나머지 $= 0$입니다.

(몫) $= (x+1)A(x)$

• 이 식을 한 번 더 해석하면,
  몫을 $(x+1)$로 나누었을 때, 새로운 몫 $A(x)$ 나머지가 $0$이 됩니다.

 

몫으로 나온 식을 한번 더 $(x+1)$로 한번 더 나누는 것이기 때문에 조립제법을 연달아 해주는 것 입니다. 

조립제법을 해주는데 결국 인수분해 하는 것이 목적이므로 이후 두가지 방법 중 하나의 방법으로 진행해 주시면 됩니다.

 

방법1) $-1$을 두번 조립제법하고 해석하여 끝까지 인수분해 해줌

 

방법2) 한번에 끝까지 조립제법을 해서 한번에 해석

 

 

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개념원리 74p 연습문제 137번

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + k$

• 괄호가 4개이므로 공통부분이 보이도록 두 개씩 묶어 전개해 줍니다.
• 상수항 합이 $x$의 계수를 결정 $\rightarrow -1 - 7 = -3 - 5$이므로
• $(x-1)$과 $(x-7)$, $(x-3)$과 $(x-5)$끼리 묶어 먼저 전개합니다.

$= (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + k$

• $(x^2 - 8x)$이 반복되므로 A로 치환하여 정리해 주셔도 되고 굳이 치환없이 한덩어리로 묶어서만 생각해주셔도 됩니다.

$105 + k = 11^2$이 되어야 완전제곱식으로 인수분해 됩니다. 

$105 + k = 11^2 = 121$

∴$\therefore k = 16$

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개념원리 74p 연습문제 138번

문자여러개, 항 여러개 이므로 차수낮은 문자 기준 내림차순 정리해 줍니다. 

주어진 식을 $x$에 대한 내림차순 정리해 주면, 

$x^2 + (ky+1)x - 3y^2 + 11y - 6$

$= x^2 + (ky+1)x - (3y^2 - 11y + 6)$

$= x^2 + (ky+1)x - (3y-2)(y-3)$

• 이후 인수분해하는 과정을 해줄껀데,
• $x$의 계수 $ky+1$에서 1이 주어져 있으니 이를 고려하여 인수분해 조합을 생각해 줘야 합니다.

이렇게 인수분해 해주게되면 1이 맞춰지므로, $k=2$가 됩니다. 

끝까지 인수분해를 해보면

$= (x + (3y - 2))(x - (y - 3))$

$= (x + 3y - 2)(x - y + 3)$

 

∴ $\therefore k=2$

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개념원리 74p 연습문제 139번

식이 분수로 되어있고 복잡하므로 분자 먼저 따로 정리해 보도록 할께요.

 

(분자)

= $(b-a)c^2 + (c-b)a^2 + (a-c)b^2$

$= bc^2 - ac^2 + ca^2 - ba^2 + ab^2 - cb^2$

문자 여러개, 항 여러개 이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다. 

 

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a$: 2차, $b$: 2차, $c$: 2차 ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

 

② 차수 낮은 문자 $a$ 기준으로 내림차순 정리: 

$= -(b-c)a^2 + (b^2-c^2)a + bc^2 - cb^2$

1. 공통부분 보이도록 정리 후 묶어주기 
   $= -(b-c)a^2 + (b-c)(b+c)a - bc(b-c)$
   $= -(b-c){a^2 - (b+c)a + bc}$
2. 한번 더 인수분해
   $a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$ 이므로
   $= -(b-c)(a-b)(a-c)$

$\therefore (분자) = -(b-c)(a-b)(a-c)$

 

(주어진 식)

$= \frac{-(b-c)(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$ ← $-(a-c) = (c-a)$

$= 1$

 

∴1

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개념원리 74p 연습문제 140번

많이 봤던 식이라 바로 결론을 낼 수 있을거라 생각합니다!

★ ★ ★

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ 

→ 세 양수 $a, b, c$ 이므로 $a = b = c$

(이전글 72p 확인체크 130번과 조건이 같습니다.)

 

$a+b+c-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}$

$= a+a+a-\frac{a^2}{a}-\frac{a^2}{a}-\frac{a^2}{a}$

$= 0$

 

$\therefore 주어진식=0$

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혹시 몰라 한번 더 언급해두도록 하겠습니다. 

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$

세 양수 $a, b, c$ 이므로 $a+b+c \neq 0$ 입니다.

즉, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$

 

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$

$\therefore a = b = c$

 

세 양수 $a, b, c$ 조건이 있기 때문에 바로 성립하는 것이지 무조건 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ 가 나온다고 $a = b = c$는 아니니 꼭 주의 하도록 합시다. 세 양수 조건이 없는 경우 $a+b+c$가 0일 수 도 있습니다!

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개념원리 74p 연습문제 141번

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 28x + 32$

$82^3$ 등을 계산하기 힘드므로 인수분해하여 정리 후 계산해 줍니다.

문자는 1개인데, 항은 여러개인 고차식이므로 조립제법을 이용해 인수분해 해줍니다. 

 

 

조립제법 인수분해 할 때를 한번 더 정리해 보자면, 짝수차 계수의 합과 홀수차 계수의 합을 꼭 먼저 봐주고

• (짝수차 계수 합)+(홀수차 계수 합)=(모든계수합)=0 인경우 조립제법 후보 : 1
• (짝수차 계수 합)=(홀수차 계수 합)인 경우 조립제법 후보 : -1

이후 해당 되는 것이 없다면 조립제법 후보 = $\pm \frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차 계수의 약수}}$ 를 고려해 줍니다.

 

본론으로 돌아가서, 조립제법을 해석한 식을 써주면

$f(x) = (x-2)^2(x+8)$

$\rightarrow f(82) = (80)^2(90) = 64 \times 9 \times 10^3 = 5760000$

즉, 각자리 숫자의 합 = $5 + 7 + 6 + 0 + 0 + 0 = 18$

 

∴18

 

여기서 10의 배수 단위로 계산하면 수의 계산이 훨씬 간단해진다는 점을 알 수 있습니다.

조립제법을 활용할 때, 작은 팁을 드리자면, 주어진 수를 10의 배수에 가까운 값으로 만들 수 있는 후보를 먼저 생각해보는 것입니다.

예를 들어, 82를 계산할 때, 10의 배수에 가까운 값으로 만들기 위해 $-2$를 더하면 계산이 단순해지므로 $82=x$라 한다면 $(x-2)$가 조립제법의 한 후보가 될 가능성을 염두에 두고 문제를 시작해보세요. 이런 작은 생각이 문제 해결에 큰 도움이 될 수 있습니다.

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개념원리 75p 연습문제 143번

전체 직육면체의 부피에서 한모서리 길이가 1인 정육면체 2개의 부피를 빼주시면 됩니다. 

 

(전체 직육면체의 부피) - 2(한모서리 길이 1인 정육면체 부피)

$= x \cdot x \cdot (x+3) - 2(1)^3$
$= x^3 + 3x^2 - 2$

문자가 1 개이고 항이 여러개인 "고차식" 이므로 조립제법을 이용하여 인수분해 합니다. 

 

★ 항상 짝수차 계수합 , 홀수차 계수합을 확인 해주도록 합시다

 

조립제법 해석 : 

$(x+1)(x^2+2x-2)$

$a=1, \quad b=2, \quad c=-2$

∴ $a \times b \times c = -4$

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