공통수학 1 - 1 - 21. 인수분해 연습문제 step3 풀이

1 - 3. 인수분해 연습문제 step3

인수분해는 수학에서 다항식을 보다 단순한 곱의 형태로 변환하는 중요한 과정입니다. 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1(75p)의 연습문제 Step 3을 통해 이차다항식의 인수 개념, 조립제법을 활용한 인수분해, 수의 계산에서 치환을 활용하는 방법 등을 학습합니다. 특히 고차식을 조립제법으로 해결하는 과정, 삼각형의 변 길이를 활용한 응용 문제 등을 다루며, 실전에서 자주 등장하는 유형을 꼼꼼히 분석해 봅니다. 수능 및 내신 대비를 위해 핵심 개념과 문제 풀이 전략을 체계적으로 정리하여 빠르고 정확한 해결 방법을 익힐 수 있도록 합시다.

 

개념원리 공통수학 1 : 75p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

 

---

개념원리 74p 연습문제 144번

이 문제에는 조금 오류가 있어서 찾아봤더니 개념원리 정오표에 오류가 언급되어 있었습니다. 

정오표_고등_개념원리 공통수학1.pdf

0.03MB

 

수정 전 : 모든 실수 $x$에 대하여 두 이차다항식 $P(x), Q(x)$가 ~

수정 후 : 최고차항의 계수가 양수인 두 이차다항식 $P(x), Q(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여

최고차항의 계수가 양수라는 조건이 추가되서 나오게 되죠 ?

 

수정 전 문제를 풀이하면서 오류에 대해 설명해 보도록 하고 수정 후 문제풀이도 하도록 하겠습니다. 

---

수정 전 문제 풀이

 

두 이차다항식 $P(x), Q(x)$ → $P(x), Q(x)$ 구체적인 정보가 나왔으므로 식세울 준비

• 식을 직접 세우든 세우지 않던 꼭 생각해 주도록 합시다.

(가)와 (나) 조건을 이용해 ★ $P(x)Q(x)$ 곱꼴을 구해주면 인수개념을 이용해 식을 구할 수 있습니다. ★

• 곱꼴을 알면 인수개념을 이용해 식을 구하는 과정은 자주나오는 개념이니 꼭 기억하도록 합시다. 

$(P(x))^2 + (Q(x))^2 = (P(x) - Q(x))^2 + 2P(x)Q(x)$

$2x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 18 = (6)^2 + 2P(x)Q(x)$

$\therefore 2P(x)Q(x) = 2x^4 + 8x^3 + 8x^2 - 18$

$P(x)Q(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 9$

주어진 다항식이 고차식이므로 조립제법을 활용해 인수분해를 진행합니다.

조립제법을 해줄때 생각흐름 ( 1-4. 인수정리를 이용한 인수분해 내용을 참고해주세요.)
1. 짝수차 계수합과 홀수차 계수합 확인 → 조립제법 후보 1 또는 -1
2. 조립제법 후보 확인

 

∴ $P(x) \cdot Q(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 9 = (x-1)(x+3)(x^2 + 2x + 3)$

• $x^2 + 2x + 3$은 더 이상 인수분해가 되지 않으므로,
• $P(x)$와 $Q(x)$가 각각 이차식이 되기 위해서는 $(x-1)$과 $(x+3)$이 함께 묶여야 합니다.
• 즉, $P(x)$가 $(x-1)$만 인수로 가져가고 $Q(x)$가 $(x+3)(x^2 + 2x + 3)$를 가져가는 식의 분할은 불가능하다는 뜻입니다.

 

그렇다면 가능한 식의 분할을 생각해보면 단순히 이차라고만 하였으므로, cf) $(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$

• $P(x) = x^2 + 2x - 3$, $Q(x) = x^2 + 2x + 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = -6$
• $P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = 6$
• $P(x) = -(x^2 + 2x - 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x + 3)$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = 6$
• $P(x) = -(x^2 + 2x + 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x - 3)$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = -6$

후보는 4가지이지만, (가) 조건에서 $P(x) - Q(x) = 6$이므로

$P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ 과 $P(x) = -(x^2 + 2x - 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x + 3)$ 두가지의 후보가 가능해 집니다. 

• $P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ 인 경우
  $P(-1) = 2$, $Q(2) = 5$이므로 $P(-1) - Q(2) = -3$
  
  
• $P(x) = -(x^2 + 2x - 3)$, $Q(x) = -(x^2 + 2x + 3)$인 경우
  $P(-1) = 4$, $Q(2) = -11$이므로 $P(-1) - Q(2) = 15$

이렇게 답이 2가지가 나오기 때문에 오류인 것 입니다.

많은 학생들이 식을 분할할때 최고차 계수가 음수가 되는 것은 고려려하지 않는데, 심화문제나 내신문제에서는 이러한 것을 노려 학생들이 실수하도록 합니다.

 

$\therefore 수정 전 답 : -3 또는 15 $

---

수정 후 문제풀이

 

∴ $P(x) \cdot Q(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 9 = (x-1)(x+3)(x^2 + 2x + 3)$

여기까지의 과정은 동일 합니다.

식을 분할하는 과정에서 최고차항의 계수가 양수인 두 이차다항식 $P(x), Q(x)$ 이므로 가능한 식의 분할은 

• $P(x) = x^2 + 2x - 3$, $Q(x) = x^2 + 2x + 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = -6$
• $P(x) = x^2 + 2x + 3$, $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ $\rightarrow P(x) - Q(x) = 6$

두가지의 후보가 나오게 됩니다. (가) 조건에서 $P(x) - Q(x) = 6$이므로 $P(x) = x^2 + 2x - 3$, $Q(x) = x^2 + 2x + 3$ 인것을 알 수 있습니다. 

$P(-1) = 2$, $Q(2) = 5$이므로 $P(-1) - Q(2) = -3$

 

$\therefore 수정 후 답 : -3 $

---

개념원리 74p 연습문제 145번

우변의 식을 보면 , $a \times b \times c \times d$ 로 곱꼴로 정리되어 있으므로 좌변의 식을 인수분해 하여 곱꼴로 정리해 줍니다. 

 

수의 계산에서는 반복되는 수를 $x$로 치환하여 정리해주면 편리하다는거 기억하죠 ? 

$14 = x$로 치환하여 정리해 줍니다.

$(x^2 + 2x)^2 - 18(x^2 + 2x) + 45$

$(x^2 + 2x)$ ----------- $-15$

$(x^2 + 2x)$ ----------- $-3$

$= (x^2 + 2x - 15)(x^2 + 2x - 3)$ ← 한 번 더 인수분해 가능

$= (x-3)(x+5)(x+3)(x-1)$

$x = 14$ 대입

$= (11)(19)(17)(13)$ = $a \times b \times c \times d$

 

정확하게 어떤 값이 $a,b,c,d$인지 구할 수는 없으니 문제에서 합을 구하라고 한 것입니다. 어떤 문자가 어떤 수인지는 중요하지 않은 거죠. 

$\therefore a+b+c+d = 60$

---

개념원리 74p 연습문제 145번

식을 정리하는 과정이 복잡하지만 차근차근 한줄씩 이해하면서 따라오도록 해봅시다. 

 

주어진 식을 $f(x)$라 하면 $(x-c)$로 나누었을 때 나누어떨어진다 하였으므로 나머지 $0$
→ $f(x) = (x-c)Q(x) + 0$ $\rightarrow f(c) = 0$

 

$c^3 - (a+b)c^2$ $- (a^2+b^2)c$ $+ a^3 + b^3 + ab(a+b)$ $= 0$

• 항 여러개, 문자 여러개 유형에서 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줘야 하는데,
• 모든 문자의 최고차가 3차이고 , 이미 $c$ 기준 내림차순 정리 되어있습니다.
• 이렇게 내림차순 정리를 했을 때 3차식이 나온경우 3차와 2차가 묶이고 1차와 상수가 묶이는 경우가 많습니다. 

$c^3 - (a+b)c^2$ $- ((a+b)^2 - 2ab)c$ $ + \left( (a+b)^3 - 3ab(a+b) \right) + ab(a+b) $  $= 0$

$c^2(c-a-b)$ $- (a+b)^2c + 2abc$ $+ (a+b)^3 - 2ab(a+b)$ $= 0$

• ↑ $c$에 대한 3차와 2차가 묶였습니다. 

$c^2(c-a-b)$ $- (a+b)^2(c-(a+b)) + 2ab(c-(a+b))$ $= 0$

• 남은 1차와 상수항이 묶였습니다. ↑
• 그러면 공통 $(c-a-b)$이 생기게 됩니다. 이를 묶고 정리해 줍니다. 

$(c-a-b){c^2 - (a+b)^2 + 2ab} = 0$

$(c-a-b)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$

• $c-a-b = 0 \rightarrow$ 삼각형 세 변의 길이가 이 조건 만족할 수 없음
• $\therefore c^2 - a^2 - b^2 = 0$
• $\rightarrow c^2 = a^2 + b^2 ;$ 빗변의 길이 $c$인 직각 삼각형

---

삼각형이 되기 위한 조건

삼각형 세변이 $a,b,c$인 경우 삼각형이 되기 위한 조건은

1. 세변이 모두 양수여야 함 a>0, b>0, c>0
2. 가장 긴 변의 길이 < 나머지 두변의 길이 합 

이 개념을 바탕으로 (가장 긴변의 길이를 $c$라 하면)

• 둔각 삼각형이 되기 위한 조건 : $c^2 > a^2 + b^2$ 추가됨
• 직각 삼각형이 되기 위한 조건 : $c^2 = a^2 + b^2$ 추가됨
• 예각 삼각형이 되기 위한 조건 : $c^2 < a^2 + b^2$ 추가됨

---

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."