공통수학 1 - 1 - 23. 인수분해 RPM 주요 문제 풀이 2

1단원 - 3. 인수분해 

인수분해는 수학 문제 해결의 기본 중 하나로, 개념을 확실히 이해하면 계산 속도와 문제 풀이 능력을 크게 향상시킬 수 있습니다. 이번 RPM 공통수학 1 (39~41p) 인수분해 연습문제에서는 복이차식, 차수 낮은 문자 기준 정리, 공통 인수 묶기, 조립제법 활용 등의 다양한 풀이법을 익힐 수 있습니다. 문제를 풀며 수학적 사고력을 키우고, 실전에서 빠르게 접근할 수 있도록 연습해 봅시다!

 

RPM 공통수학 1 : 39p ~ 41p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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RPM 39p 262번

$a^3 + a^2b - ac^2 + ab^2 + b^3 - bc^2 = 0$

• 문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a: 3$차, $b: 3$차, $c: 2$차

 

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준으로 내림차순 정리:

$(-a-b)c^2 + a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 = 0$

• 상수항의 식이 긴 경우, 상수항도 차수낮은 문자기준 내림차순 정리해줍니다.
• 상수항의 항이 4개인 경우, 2개 2개 묶어 주는 경우가 많습니다.

$-(a+b)c^2 + a^2(a+b) + b^2(a+b) = 0$

1. $(a+b)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
   $(a+b)(-c^2 + a^2 + b^2) = 0$

• 삼각형 세 변의 길이: $a > 0, b > 0, c > 0$ 이므로 $a + b \neq 0$
• $-c^2 + a^2 + b^2 = 0$

$\therefore a^2 + b^2 = c^2$ (피타고라스)

∴ 빗변의 길이가 $c$인 직각 삼각형

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RPM 39p 263번

$b^2 - ba - c^2 + ca = 0$

• 문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:

$a: 1$차, $b: 2$차, $c: 2$차

 

② 차수 낮은 문자 $c$ 기준으로 내림차순 정리:

$-(b - c)a + b^2 - c^2 = 0$

$-(b - c)a + (b - c)(b + c) = 0$

1. $(b-a)$공통묶음 → cf) 최고차 계수를 묶는 경우가 많음
   $(b - c)(-a + b + c) = 0$

• 삼각형 세 변의 길이 $a \neq b + c$
  삼각형 조건에 의해 한변의 길이가 나머지 두 변의 길이 합 보다 커야 합니다. 
  $a > b + c$
• $b - c = 0$

∴  $b = c$ 인 이등변 삼각형

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RPM 40p 270번

풀이1)

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ 이 공식을 이용하여 생각해보면, 

• $x-y$를 $a$로 보고, $y-z$를 $b$로, $z-x$를 $c$로 보면
• $a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = 0$ 입니다. 

즉, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 $ 

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 - 3(x-y)(y-z)(z-x) = 0$ 입니다.

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$로 인수분해가 된다는 것을 바로 알 수 있습니다. 

 

이전글 RPM 38p 257번과 비교해보며 공부하면 더 좋을 것 같아요. 

이 풀이는 첫회독을 할 때부터 떠올리기에는 무리가 있을 수 있지만, 연습을 많이하다보면 식을 보는 눈이 생겨 이런 풀이도 가능하다는 참고용이였습니다. 아래의 풀이2번이 정석적인 풀이이니 이런 풀이도 있구나 참고만 해주세요!

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풀이2)

전부 전개하면,

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$

$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + y^3 - 3y^2z + 3yz^2 - z^3 + z^3 - 3z^2x + 3zx^2 - x^3$

$= -3x^2y + 3xy^2 - 3y^2z + 3yz^2 - 3z^2x + 3zx^2$

• 문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.

① 차수가 낮은 문자를 찾기:
$x: 2차$, $y: 2차$, $z: 2차$   ← 차수가 모두 같으므로 어떤문자로 내림차순 정리하든 상관 없음

 

② 차수 낮은 문자 $x$ 기준으로 내림차순 정리 

$= -3(x^2y + y^2z + z^2x - xy^2 - yz^2 - zx^2)$ ← $-3$이 공통이므로 한번에 묶음

$= -3((y-z)x^2 - (y^2 - z^2)x + yz(y - z))$ ← 내림차순 정리

1. $(y - z)$ 공통 묶기
   $= -3(y-z)(x^2 - (y + z)x + yz)$
2. 한번 더 인수분해 가능 $= -3(y-z)(z-x)(x-y)$
   $= -3(y-z)(z-x)(x-y)$

$=$ $-$ $3(y-z)(x-y)($ $x-z$ $)$ ← $-(x-z)=(z-x)$ 이므로 $= 3(y-z)(x-y)$ $(z-x)$

 

∴ $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

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RPM 40p 271번

$x^3 - x^2 + 3x - 2 = (x+2)P(x) + ax$

$x$에 대한 항등식이므로 좌변과 우변의 식이 같아야 합니다.

(이 문제는 "RPM 41p 276번"과 비교해서 공부하면 좋을 것 같아요.)

 

문제에서 구하고자 하는 것은 $P(-2)$ 입니다.

그래서 $x=-2$를 대입하게 되면 $P(x)$와 곱해져 있는 $(x+2)$가 0이 되면서 수치대입법을 이용해 $P(-2)$를 구할 수 없게 됩니다. 그렇다면 $P(x)$의 식을 직접 구해야 한다는 결론이 나오게 됩니다.

 

두가지 풀이로 설명해 보도록 할께요.

풀이1) $P(x)$식 세운 후 계수비교법 이용

좌변이 삼차식이므로 $P(x)$는 이차식입니다. 
최고차 계수와 상수항을 고려해 식을 바로 세우면 $P(x) = x^2 + kx - 1$

 

이후 전개하여 계수 비교법 이용:
$x^3 - x^2 + 3x - 2 = (x+2)(x^2 + kx - 1) + ax$
$= x^3 + kx^2 - x^2 + 2x^2 + 2kx - 2 + ax$
$= x^3 + (k+2)x^2 + (2k + a - 1)x - 2$

$\therefore k + 2 = -1, 2k + a - 1 = 3$
$\therefore k = -3, a = 10$

$P(x) = x^2 - 3x - 1 \quad \therefore P(-2) = 9$

 

풀이 2) 조립제법 이용

우변의 $ax$를 좌변으로 이항하여 정리해 주면

$x^3 - x^2 + (3-a)x - 2 = (x+2)P(x)$

→ 해석 : $x^3 - x^2 + (3-a)x - 2$는 $(x+2)$로 나누어떨어지고 몫은 $P(x)$

→ 조립제법은 일차식으로 나눈 몫과 나머지 둘다 구할 수 있는 방법이므로 이를 이용하여 줍니다. 

 

$P(x) = x^2 - 3x - 1 \quad \therefore P(-2) = 9$

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RPM 41p 273번

두 자연수 $a,b$라 하였으므로 주어진 식을 인수분해 하여 곱꼴로 나타내고,

주어진 수는 소인수 분해하여 양변을 곱꼴로 표현해줄 것입니다. 

 

(주어진식) =

$ab^2 + 2ab + b^2 + a + 2b + 1$

• 문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.
• 이후 공통 인수를 묶어 인수분해

$= (b^2 + 2b + 1)a + (b^2 + 2b + 1)$

$= (b^2 + 2b + 1)(a+1)$

$= (b+1)^2(a+1)$

 

(주어진 수) = $275 = 5^2 \times 11$

 

즉,

$(b+1)^2(a+1) = 5^2 \times 11$ 이므로 

$b = 4, a = 10$

∴ $a-b = 6$

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RPM 41p 276번

이 문제는 위에서 "RPM 40p 271번"과 같이 비교해가며 공부하면 좋을 것 같다고 했었죠? 

 

$x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x - 4 = (x-1)(x-2)Q(x)$

주어진 식은 이렇게 정리가 되는데,

• 구하고자 하는 $Q(-3)$을 위해 양변에 $x = -3$을 대입하여도
  $Q(x)$의 식은 사라지지 않게 됩니다.
• "RPM 40p 271번"에서는 대입시 $P(x)$가 사라짐 → 직접 식을 구해줘야 함
  이문제는 대입해도 $Q(x)$의 식은 사라지지 않음 → 수치대입법으로도 정답을 구할 수 있음

 

$x = -3$ 대입 시 $81 - 27a + 9b + 12 - 4 = 20Q(-3)$으로 
$Q(-3)$의 값을 구하려면 $a, b$ 값만 알면 됩니다.

 

$a, b$ 값 구하기:

• $x = 1$ 대입 시
  $1 + a + b - 4 - 4 = 0 \therefore a + b = 7$
• $x = 2$ 대입 시
  $16 + 8a + 4b - 8 - 4 = 0 \therefore 8a + 4b = -4$

두 식을 연립하면, $a=-8, b=15$

 

최종 계산 : 

$81 - 27a + 9b + 12 - 4 = 20Q(-3)$ ← $a=-8, b=15$ 대입

$216 + 135 + 89 = 20Q(-3)$
$440 = 20Q(-3)$
$\therefore Q(-3) = 22$

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추가문제 :) $Q(2)$의 값은? 

이 경우 양변에 $x=2$ 대입시 $Q(x)$가 $(x-2)$에의해 사라지기 때문에 위와 같은 과정으로 풀 수 없습니다. 

그렇다면, $Q(x)$의 직접적인 식을 구해야 하니 바로 조립제법을 이용해 줍니다. 

 

💡 참고로, 조립제법을 하면서 바로 $a,b$도 구해주는 것!!

굳이 수치대입법을 이용해 $a,b$를 구해주고 조립제법을 할 필요는 없습니다. 

 

$x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x - 4 = (x-1)(x-2)Q(x)$ 

→ $x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x - 4$를 $(x-1)(x-2)$로 나누었을 때 몫은 $Q(x)$, 나머지는 0

$Q(x) = x^2 - 5x -2 $ 이므로

∴ $Q(2) = -8$

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RPM 41p 277번

세 양수 $a,b,c$ 입니다.

주어진 식의 $=0$을 이용하기 위해 인수분해 꼴로 만들어줄 것 입니다.

 

$ab(a+b) - bc(b+c) + ca(a-c) = 0$ 

• 문자 여러 개, 항 여러 개이므로 차수낮은 문자기준 내림차순 정리를 해줍니다.
• 이후 공통 인수를 묶어 인수분해

$(b+c)a^2 + (b^2-c^2)a - b^2c - bc^2 = 0$ 
$(b+c)a^2 + (b-c)(b+c)a - bc(b+c) = 0$
$(b+c){a^2 + (b-c)a - bc} = 0$

$(b+c)(a+b)(a-c) = 0$

 

이때 세 양수 $a,b,c$ 라서 $b+c>0$, $a+b>0$ 이므로 $a-c=0 \therefore a=c$ 라는 결론이 나오게 됩니다. 

 

$a=c$를 $a^2-ac+c^2=4$에 대입하면
$a^2=4$

$a=+2$ or $-2$

$a>0$ 이므로 $a=+2$

$a=c=2$

 

따라서,

∴ $a^3+c^3=16$

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RPM 41p 278번

정육면체의 총 부피는 모든 블럭의 부피의 합이 됩니다.

 

$\sqrt{5}$와 $\sqrt{2}$가 반복되어 $x, y$라 두면

• $A = x^3 \quad \rightarrow 1개$
• $B = x^2y \quad \rightarrow 6개$
• $C = xy^2 \quad \rightarrow 12개$
• $D = y^3 \quad \rightarrow 8개$

정육면체 총 부피

$= 1x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$
$= (x)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3$
$= (x+2y)^3$
$= (\sqrt{5} + 2\sqrt{2})^3$ $= (a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3$

따라서 $a=2$, $b=1$, $a+b=3$

 

조금 추가로 이야기 해볼만한 것은 블럭의 개수가 1, 6, 12, 8이라는 점을 보면,

이를 $1$, $6 = 3 \cdot 2^1$, $12 = 3 \cdot 2^2$, $8 = 2^3$로 표현할 수 있습니다.

이 구조를 통해 $x$와 $y$를 이용한 다항식인 $(x)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3$의 형태가 자연스럽게 떠오른다면 아주 좋습니다!!!

곱셈 공식과 인수분해 문제를 많이 연습한 학생이라면 이 블럭의 개수를 보고 "많이 본 숫자인데?"라는 생각을 했을 가능성이 높아요. 식을 자꾸 써가며 많은 연습을 한다면, 문제를 빠르게 풀 수 있는 직관을 키우는 데 큰 도움이 될꺼에요 :)

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추가 ) - 안읽고 넘어가도 됨

몇몇 학생들이 치환하지 않고 직접 A부피, B부피 등을 계산해주는 방법을 사용하여 풀었는데 답이 나오지 않아 질문을 많이 합니다.

 

정육면체 총 부피 = 모든 블록의 부피 합 = $(a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3$

• $A$ 부피 = $(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$ → 1개
• $B$ 부피 = $\sqrt{5} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{2}$ → 6개
• $C$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ → 12개
• $D$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ → 8개

 

정육면체의 총 부피 = 모든 블록의 부피 합

= $5\sqrt{5} \times 1 + 5\sqrt{2} \times 6 + 2\sqrt{5} \times 12 + 2\sqrt{2} \times 8$
$= 5\sqrt{5} + 30\sqrt{2} + 24\sqrt{5} + 16\sqrt{2}$
$= 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$

 

정육면체의 총 부피 = 정육면체의 한 모서리 길이의 세제곱

$(a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3 = 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$

$(a\sqrt{2})^3 + 3(a\sqrt{2})(b\sqrt{5})^2 + 3(a\sqrt{2})^2(b\sqrt{5}) + (b\sqrt{5})^3 = 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$
$2a^3\sqrt{2} + 6a^2b\sqrt{5} + 15ab^2\sqrt{2} + 5b^3\sqrt{5} = 46\sqrt{2} + 29\sqrt{5}$

 

$\sqrt{2}$의 계수와 $\sqrt{5}$의 계수를 비교해주면, 

$(2a^3 + 15ab^2) = 46$
$6a^2b + 5b^3 = 29$

이 두 식이 나오게되는데 연립이 어려워 막히게 되는 것이죠. 

 

일단 반복되는 숫자가 있는 경우 문자로 치환해주는 것이 가장 기본적인 풀이입니다.

💡 막힌다면 가장 기본 개념을 생각해보세요.

또한 위에서 언급했듯이 많은 연습을 통해 숫자의 감각을 키우는 것이 가장 좋습니다. 어떤 식으로 풀어야할지 길이 보이게 되니까요! 만약 $(x)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3$ 형태가 떠올랐다면, 굳이 값을 계산하지 않고 바로 식의 꼴이 보이도록 적어줬을 것입니다. 

 

굳이 치환 하지 않고 풀겠다면 , 구조는 보이도록 적어 주셔야 합니다. 

• $A$ 부피 $= (\sqrt{5})^3 \rightarrow 1 \text{개}$
• $B$ 부피 $= \sqrt{5} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 (\sqrt{2}) \rightarrow 6 \text{개}$
• $C$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} = (\sqrt{5})(\sqrt{2})^2 \rightarrow 12 \text{개}$
• $D$ 부피 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 \rightarrow 8 \text{개}$

총 부피 $= 1 \cdot (\sqrt{5})^3 + 6 \cdot (\sqrt{5})^2 (\sqrt{2}) + 12 \cdot (\sqrt{5})(\sqrt{2})^2 + 8 \cdot (\sqrt{2})^3$
$= (\sqrt{5})^3 + 3 \cdot (\sqrt{5})^2 (2\sqrt{2}) + 3 \cdot (\sqrt{5})(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^3$
$= (\sqrt{5} + 2\sqrt{2})^3$ $= (a\sqrt{2} + b\sqrt{5})^3$

따라서 $a=2$, $b=1$, $a+b=3$

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RPM 41p 278번

이제 너무 자주나와서 외워졌을까요?

 

삼각형이라 $a,b,c$가 양수이기 때문에 $a^3+b^3+c^3=3abc$ 인 경우 $a=b=c$

즉, 정삼각형이라는 결론이 나오게 됩니다. 

둘레의 길이가 6이라 하였으므로 한변의 길이는 2 입니다.

$a=2, b=2, c=2$

 

한변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이 구하는 공식은 생각보다 자주 나오니 공식처럼 암기해 두도록 합시다. 

 

즉, 이 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}(2)^2 = \sqrt{3} $

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