복소수란 무엇일까요? 실수로 해결할 수 없는 수학적 계산을 위해 허수(i)가 도입되었습니다. 복소수는 수학적 계산을 확장하고 다양한 문제를 해결하는 데 필수적인 개념입니다. 이번 글에서는 복소수의 정의, 허수의 개념, 복소수의 분류와 활용법을 쉽게 정리해 보겠습니다. 개념을 정확히 이해하면, 복소수를 활용한 계산이 훨씬 쉬워질 것입니다.
개념원리 공통수학 1 : 78p~ 81p
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1-1. 허수 도입
중학교 2학년 때 까지만 해도, $x^2 = 2$라는 방정식을 풀 수 없었습니다.
제곱하여 2가 되는 수는 배우지 않았었죠.
하지만 중학교 3학년 때 제곱근, 루트의 도입으로 $x^2 = 2$의 $x$값을 표현할 수 있게 되었습니다.
오늘 배울 내용도 비슷하게 생각할 수 있습니다.
우리는 지금까지 $x^2 = -1$이라는 방정식을 풀 수 없었습니다.
실수안에서는 어떤 수를 제곱하더라도 결과는 항상 0보다 크거나 같기 때문에 $x^2$이 음수가 될 수 없죠.
그래서 새로운 숫자의 개념이 필요해 졌어요. 이렇게 등장한 개념이 바로 허수 입니다.
$\sqrt{}$ 안의 음수를 표현하기 위해 허수 단위 $i = \sqrt{-1}$ 가 도입되면서 $x^2 = -1$ 방정식의 근도 표현이 가능해 졌습니다.
💡 추가로, $x^2 = -1$의 근이므로 $(i)^2 = -1$이라는 것도 알 수 있습니다.
이렇게 $x^2 = -3$의 근도 허수단위 $i$를 이용해 표현이 가능해 집니다.
여기서 주의해야 할 점은, 중학교 3학년 때 제곱근 $\sqrt{}$ 기호는 기본적으로 양수의 값에 적용이 되는 것이라고 배웠기 때문에 $i$를 이용해 정리해 줄 때 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수여야 한다는 것을 주의해 줍시다.
개념 1. 허수의 도입 허수 단위 $i = \sqrt{-1}$, $(i)^2 = -1$
★주의★ ◎ $i$를 이용해 정리해 줄 때 , $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수 --- (몇번 개념과 이어짐) ◎ 허수는 대소 비교 불가능 --- (81p 필수예제 01)
허수 중에서도 $bi$ 항만 있다면, 우리는 순수하게 $i$항만 있다 해서 순허수라고 합니다.
$a+bi$꼴의 복소수는 순허수가 아닌 허수라 합니다.
이렇게 복수수의 분류까지 배워봤는데 새로운 수의 도입이라 어색하고 어렵다 느껴질 수 있지만, 아마 처음에도 제곱근 루트를 쓸때도 그랬을꺼에요. 많이 보다보니 익숙해진 것 처럼 복소수도 얼른 익숙해져 보도록 합시다!
1-3. 예제 문제
몇가지 예제 문제들을 보면서 남은 개념들을 배우고 적용하는 연습을 해보도록 하겠습니다.
80p 개념원리 익히기 148번
개념 4. 복소수가 서로 같을 조건 $a, b, c, d$가 실수일 때, $a + bi = c + di$이면 $a = c$, $b = d$
$a, b, c, d$가 실수일 때만 이런 결론을 내릴 수 있습니다.
$a + bi = 2 + 3i$에서 $a, b$가 실수라는 조건이 없는 경우, $a = 3i$이고 $b = -2i$도 가능해지고, $a + bi = (3i) + (-2i)i = 3i - 2i^2 = 3i + 2$ $a = 2i$, $b = -2i + 1$도 가능해지기 때문에, $a + bi = (2i) + (-2i + 1)i = 2i - 2i^2 + i = 2 + 3i$ ...
따라서 $a$와 $b$의 값은 딱 하나의 값으로 정해지지 않습니다.
즉, 실수 조건에서만 $a + bi = 2 + 3i$에서 $a = 2$, $b = 3$이라는 결론을 낼 수 있게 됩니다.
148번 풀이를 보면서 정리해보도록 할께요.
문제에서 실수 $x,y$라는 조건이 나왔으므로 '개념4. 복소수가 서로 같을 조건'을 사용해 주시면 됩니다.
80p 개념원리 익히기 149번
이전 글에서 $x = 1+\sqrt{3}$과 $y = 1-\sqrt{3}$ 이런 관계가 나오면 비슷하게 생겼다고 켤레 관계라 지칭하며 $x+y, x-y, xy$를 이용해서 계산해라는 내용이 있었는데 기억나시나요?
비슷하게 켤레복소수란 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 입니다. $a+bi$와 $a-bi$가 켤레 관계라고 하는 것이죠.
매번 $a+bi$의 켤레 복소수는 간단하게 기호로 복소수 위에 bar(-)로 표시 해주기로 약속한 것 입니다.
개념 5. 켤레 복소수 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $a+bi$의 켤레 복소수 = $\overline{a+bi} = a - bi$
149번 풀이를 보면서 정리해 보도록 할께요.
추가 설명 :)
복소수 $a+bi$ 를 $z$ 라 하면 $(z = a+bi)$
(2)번과 같이 $z = -5i$ 로 $z$가 순허수의 경우 $z = -\overline{z}$
(4)번과 같이 $z = 1+\sqrt{5}$ 로 $z$가 실수인 경우 $z = \overline{z}$
켤레 복소수 성질에 대해서는 나중에 좀 더 자세하게 다루도록 하겠지만, 이 두가지는 문제에서 많이 사용되는 내용라 먼저 익숙해 지고자 언급했습니다.
(5)번 같은 경우, 켤레 복소수를 구하는 것이 중간부호를 바꾼다고 생각했다면 틀렸겠죠 ?
$i$앞의 허수부분의 부호를 바꿔줘야 합니다. 실수하지 않도록 주의 합시다 !
81p 필수예제 01
개념 1. 허수의 도입 허수 단위 $i = \sqrt{-1}$, $(i)^2 = -1$
★주의★ ◎ $i$를 이용해 정리해 줄 때 , $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수 --- (몇번 개념과 이어짐) ◎ 허수는 대소 비교 불가능 --- (81p 필수예제 01)
위의 개념1에서 언급했던 '허수는 대소 비교 불가능' 이라는 내용에 대해 설명하도록 하겠습니다.
대소 비교는 수직선상의 순서 관계를 기반으로 정의되는데
수직선상에는 실수만 표현 할 수 있고 허수는 실수의 범위 밖에서 정의된 수이기 때문에 표현이 불가능합니다.
이렇게만 알아두셔도 되고 아래의 내용은 참고로만 읽어봐 주세요.
<참고> 만약 대소를 비교가 가능하다고 하면 허수단위 $i$에 대하여 $i>0$, $i=0$, $i<0$ 중 어느 하나가 여야 하는데, (i) $i>0$이면 $i\times i > i \times 0 ;\therefore -1>0$ 성립하지 않음 (ii) $i=0$이면 $i\times i = i \times 0 ;\therefore -1=0$ 성립하지 않음 (iii) $i<0$이면 (음수 곱하면 부등호 방향 바뀜) $i\times i > i \times 0 ;\therefore -1>0$ 성립하지 않음 즉, $i$는 양수도 아니고, 음수도 아니고, $0$도 아니므로 실수와 대소비교 또는 허수끼리 대소비교가 불가능하게 되는 것입니다.
① $-5i < 0 ;\rightarrow;$ 허수는 대소 비교 불가 ② $\sqrt{9} = 3$은 복소수이다. $;\rightarrow;$ 실수는 복소수 $(a+bi$ 에서 $a=3,b=0)$ ③ $6i > 3i ;\rightarrow;$ 허수는 대소 비교 불가 ④ $x^2 = -1$이면 $x = \pm i$ 둘 다 언급해야함! ⑤ $3-i$의 실수 부분 $=3$, 허수 부분 $=-1$
$\therefore ;$ 옳은 것은 ②
💡 학생들이 많이 실수하는 부분은 $x^2 = A$ → $x = \pm \sqrt{A}$ 입니다.
대부분 +로만 답을 적는데 꼭 +,-로 뽑아주는 습관을 가지도록 합시다.
81p 필수예제 02
개념 3. 복소수의 분류 복소수의 분류
위의 그림을 항상 떠올리며 문제를 풀도록 합시다.
순허수가 아닌 허수이기 위해 $a+bi$ $(a\neq0, b\neq0)$ 꼴
① $-3$: 실수 ② $0$: 실수 ③ $-5i$: 순허수 ④ $1-i$: 순허수가 아닌 허수 ⑤ $\sqrt{3}i$: 순허수
$\therefore ;$ 옳은 것은 ④
81p 확인체크 150번
필수예제에서 연습한문제를 이 문제로 정리해 보도록 할께요.
① $i^2 < 0$ 💡 허수는 대소 비교 불가라고 바로 X 치고 넘어가면 안됩니다. $i^2 = -1$ 이므로 주어진 조건을 정리하면 $-1 < 0$ 이므로 참입니다.
이렇게 $i^2 = -1$을 이용해 정리 후 대소 비교를 해주세요.최종적인 부등식에 $i$가 있어야 대소 비교 불가 입니다.
② $7 + 0i$ 의 허수부분 = 0
③ $-4i$ 는 순허수 ($i$ 항만 있음)
④ $1 + i2$ 는 순허수가 아닌 허수 ($a=1$, $b=1$ 로 $a \neq 0$, $b \neq 0$ 임)
⑤ $a + (b-3)2i$ 는 $b = 3$ 일 때 실수이다. $a$, $b$가 실수라는 조건이 없으므로$a = i$, $b = 3$ 인 경우 순허수도 가능해 $b$가 3이라고 무조건 실수인 것은 아닙니다.
이렇기에 개념설명에서 $a+bi$ (a,b는 실수) 라는 조건이 계속 붙었던 것 입니다.
복소수 파트 문제에서는 디테일한 개념을 많이 물어보기 때문에 개념정리를 꼭 한번 하시는 것을 추천드려요.
1-4. 추가자료
개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)
이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.
