복소수의 사칙연산은 실수와 허수 부분을 구분하여 계산하는 것이 핵심입니다. 덧셈과 뺄셈은 실수끼리, 허수끼리 계산하고, 곱셈은 다항식 전개처럼 진행하면 됩니다. 나눗셈에서는 분모의 허수를 없애기 위해 켤레 복소수를 활용하여 실수화하는 과정이 필요합니다. 또한, 복소수 연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 적용되므로 이를 이해하면 계산 속도를 높일 수 있습니다. 이번 글에서는 복소수 연산의 개념과 실전 활용법을 쉽게 정리해 보겠습니다.
개념원리 공통수학 1 : 82p~ 87p
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1-1. 복소수의 사칙 연산
◎덧셈, 뺄셈
$(3+2x) + (5+7x) = (3+5) + (2+7)x$ 계산과 같이
복소수의 덧셈, 뺄셈은 허수단위 $i$를 문자처럼 생각하면 편합니다.
실수부분은 실수끼리, 허수부분은 허수끼리 계산합니다.
a,b,c,d가 실수일 때
덧셈 : $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$
뺄셈 : $(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$
◎ 곱셈
복소수의 곱셈에서도 다항식의 계산처럼 전개해 주시면 됩니다.
복소수의 곱셈에서 새로운 실수부와 새로운 허수부
이 식을 새로운 실수부와 새로운 허수부가 만들어지는 과정에 초점을 두면
무지개 모양으로의 전개는 새로운 허수부를 만들고
퐁당퐁당 전개는 새로운 실수부를 만든다는 것을 알 수 있습니다.
( 무지개, 퐁당퐁당 너무 유치한가요 ,, ㅎ 유치해도 잘 기억해주세요..ㅎ)
복소수의 곱셈에서 새로운 실수부와 새로운 허수부가 만들어 지는 과정
이제는 복소수의 곱셈에서 굳이 하나하나 전개하지 말고 바로 결과를 쓸 수 있도록 연습합시다.
복소수의 곱셈 계산
무지개와 퐁당퐁당을 그려주고 더하여 결과를 적어줍니다.
이렇게 계수들만 적고 합을 우변에 적어주니 계산실수도 줄고 빨라지더라구요!
처음에는 무지개와 퐁당퐁당을 그려가며 연습해주세요.
나중에는 바로 2,-3,-1 이런식으로 바로바로 계산이 될 것입니다.
◎ 나눗셈
분모에 허수가 있는 경우 켤레 복소수를 분모, 분자에 곱하여 분모를 실수화합니다. $\sqrt{}$를 배울 때, 유리화하던 과정과 비슷합니다.
분모에 루트가 있는 경우 분모를 유리화 하는 과정
유리화 하는 과정에서 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 공식을 이용해 유리화 해주었습니다.
이와 같이 분모에 허수가 있는 경우도 마찬가지로 이 원리를 이용해 줍니다.
분모에 허수i가 있는 경우 분모를 실수화 하는 과정
괄호를 꼭 적어줘야 합니다. 괄호를 정확히 안 적으면 학교 서술형에서도 감점이 될 수 있습니다.
켤레 복소수 성질들을 하나씩 보면서 증명해 보도록 할께요. 정말 자주 쓰이고 (제 기준) 중요한 것들로만 구성하려고 했으니 문제를 풀기 전에 아래의 성질은 꼭 따라 써보고 들어가도록 합시다.
(1) $\overline{z} = z$ $z = a + bi$ 라 하면 $\overline{z} = (a - bi) = a + bi = z$
(2) $z$= 실수 $ \iff z = \overline{z}$= 실수 $z = a$ (실수) 이면 허수가 없으므로 $\overline{z} = a$ (실수)
(3) $\overline{z} = -z \iff z$는 순허수 또는 0 $\overline{z} = -z$ 가 성립한다는 것은 $a - bi = -(a + bi)$ $a - bi = -a - bi$ $2a = 0$ ∴ $a = 0$ 이면 $\overline{z} = -z$ 성립한다는 것이고 $b$에 대한 조건은 없음 → $a = 0$ 이면서 $b = 0$ 이면 $z = 0$ → $a = 0$ 이면서 $b \neq 0$ 이면 $z = bi$ (순허수)
(4) $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ 라 하면 $z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$ $\overline{z_1 + z_2} = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i$ 합쳐서 한 번에 항의 부호를 바꿔주나, 따로 i항의 부호를 바꿔주고 합쳐주나의 차이라 결국 결론은 같게 됩니다.
(5) $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2}$ $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$ 라 하면 $z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i$ $\overline{z_1 z_2} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (bc + ad)i$
새로운 실수부분을 만드는 데에서는 $a \times c + (bc)(di)$ 계산과 $a \times c + (-b)(-d)$ 계산으로 i항 부호변화에 영향을 받지 않습니다.
새로운 허수부분을 만드는 데에서는 $(b \times c) + (a \times d)i$ 계산과 $(-b)(c) + (a)(-d)i$ 계산으로 허수부분의 부호차이만 있게 됩니다.
허수부분의 부호차이만 있으므로 통째로 켤레를 해주면 허수부분의 부호가 같아지면서 $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2}$ 가 성립한다는 것을 알 수 있습니다.
(4)번과 (5)번을 보면, 결국 켤레 부호 bar는 쪼개서 각각 적용이 가능하다 생각해 주시면 됩니다.
켤레 복소수의 성질 - 켤레부호를 쪼개서 각각 적용이 가능
개념7. 켤레 복소수의 성질 (1) $\overline{z} = z$ (2) $z$= 실수 $ \iff z = \overline{z}$= 실수 (3) $\overline{z} = -z \iff z$는 순허수 또는 0 켤레 복소수의 성질 - 켤레부호를 쪼개서 각각 적용 가능
1-3. 예제 문제
예제문제를 보며 지금까지 배웠던 복소수의 성질을 익혀 보도록 합시다.
개념원리 85p 필수예제 03
복소수의 사칙 연산 예제문제 1
💡 (1)의 경우 괄호를 쓰는 것을 꼭 주의해 주세요. $ \overline{3+2i} $ 는 켤레를 의미하는 bar(-)로 묶여 있으므로 한 덩어리로 생각해 주셔야 합니다.
(2)의 경우 $(1 + i)^2 = 2i$, $(1 - i)^2 = -2i$ 입니다. (결론을 외울 필요는 없지만 자주 나오기 때문에 한번 더 언급했습니다. )
복소수의 사칙 연산 예제문제 2
(3)의 경우 괄호 사용이 중요합니다. $\dfrac{1 + i}{2 + i}$ 를 실수화 하는 과정에서 괄호 없이 $\dfrac{1 + i \times (2 - i)}{2 + i \times (2 - i)}$ 라고 쓰면 분자는 $1 + i \times (2 - i)$ 로 $i$에만 $(2 - i)$가 곱해지게 되고, 분모는 $2 + i \times (2 - i)$ 로 $i$에만 $(2 - i)$가 곱해지게 됩니다.
즉, $(2 + i)$에 통째로 $(2 - i)$를 곱해 주어야 하기 때문에 괄호 쓰는 습관이 중요합니다.
(4) 복소수의 곱셈이 나온 경우 무지개와 꽁당꽁당을 이용해 바로 전개해 주면 됩니다. 학생들이 자주하는 실수 중에 분수에서 약분을 할 때 실수가 많이 나오니 주의해 주세요.
