공통수학 1 - 1 - 11. 항등식과 나머지 정리 - 나머지 정리와 인수정리

1단원 -2. 항등식과 나머지 정리 - 나머지정리와 인수정리

이번 글에서는 수학의 중요한 개념인 나머지 정리와 인수 정리를 설명합니다. 이 정리는 다항식을 일차식으로 나누었을 때 나머지와 인수 관계를 빠르게 파악하는 데 매우 유용합니다. 특히, 수학 문제 풀이 과정에서 시간을 절약하고 정확성을 높이는 핵심 원리로 자주 활용됩니다. 예제와 함께 실전 풀이 방법을 익히며, 나머지 정리와 인수 정리를 완벽하게 마스터해 보도록 합시다. 

 

개념원리 공통수학 1 : 47p ~ 51p

 

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1. 나머지 정리

일차식으로 나눈 나머지 구하는 가장 쉬운 방법

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1. $f(x)$를 $(x-a)$인 일차식으로 나누었을 때, 나머지는 항상 상수입니다. 이 나머지를 $R$ 이라한다면 다음과 같은 항등식이 성립합니다 : 

$f(x) = (x-a)Q(x) + R$

• 이 등식은 항등식 입니다.
• 이 식에서 $(x-a)=0$이 되는 $x=a$를 대입하면:
  $f(a) = R$
• 즉, 다항식 $f(x)$에 $x=a$를 대입한 함숫값은 $(x-a)$로 나눈 나머지와 같습니다.

 

예를 들어, $f(x) = x^2 - 3x + 3$를 $(x-2)$로 나누었을 때의 나머지는 $f(2)$의 값과 동일합니다. $f(2) = 2^2 - 3(2) + 3 = 1$이므로, 나머지는 $1$입니다.

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2.  $f(x)$를 $(ax+b)$인 일차식으로 나누었을 때, 나머지는 항상 상수입니다. 이 나머지를 $R$ 이라한다면 다음과 같은 항등식이 성립합니다 : 

$f(x) = (ax+b)Q(x) + R$

• 이 등식은 항등식 입니다.  
• $(ax+b)=0$되는 $x$값 $x = -\frac{b}{a}$ 를 양변에 대입해주면,
  $f\left(-\frac{b}{a}\right) = R$
• 즉, 다항식 $f(x)$에 $x = -\frac{b}{a}$를 대입한 함숫값은 $(ax+b)$로 나눈 나머지와 같습니다. 

 

따라서, 일차식으로 나눈 나머지를 구할 때는 나누는 식이 0이 되는 $x$ 값을 대입한 함숫값을 계산하는 방식으로 풀이할 수 있습니다.

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2. 정수의 인수/ 다항식의 인수

인수란 어떤 수나 식을 나누어 떨어지게 만드는 요소를 의미.

즉, "나누어 떨어지게 하는(나머지가 0이 되는) 수나 식"

1. 정수의 인수
정수 $a$와 $b$가 있을 때, $a$를 $b$로 나누었을 때 나머지가 $0$이라면, $b$는 $a$의 인수입니다.

• ex) $6$의 인수
  양수 인수: $1, 2, 3, 6$
  음수 인수: $-1, -2, -3, -6$
  
  
• 이유 : $6$을 $1, 2, 3, 6$ 또는 $-1, -2, -3, -6$ 으로 나누었을 때 나머지가 항상 $0$이 되기 때문입니다.
  
  
• 식으로 보면 $6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3$
  $(주어진 수) = (나누는 수) \cdot (몫) + (나머지)$ 관점으로 보면, 나머지가 0임을 의미합니다. 

 

2. 다항식의 인수
다항식 $f(x)$와 $g(x)$가 있을 때, $f(x)$를 $g(x)$로 나누었을 때 나머지가 $0$이라면, $g(x)$는 $f(x)$의 인수입니다.

 

다항식을 인수분해 했을 때, 곱으로 표현된 각 항(하나 하나의 덩어리)을 인수라 합니다. 

• ex) $x^2 - x - 2$의 인수:
  $(x-2)$, $(x+1)$, $(x-2)(x+1)$
  
  
• 이유 : $x^2 - x - 2$를 $(x-2)$ 또는 $(x+1)$로 나누었을 때 나머지가 $0$이 되기 때문입니다.
  
  
• $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$로 인수분해가 가능하기 때문에
  $(x-2)$ 또는 $(x+1)$로 나누었을 때 나머지가 $0$
  $(x-2)(x+1)$로 나누었을 때도 나머지가 0이기 때문입니다. 

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3. 인수 정리

다항식 $f(x)$에 대하여 $f(a) = 0$이면, $(x-a)$는 $f(x)$의 인수다.

 

인수 정리와 나머지 정리의 관계

앞서 배운 나머지 정리의 개념과 함께 생각해보면,  

• $f(a) = 0$라는 것은 $f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나눈 나머지가 0 임을 의미합니다.
• 즉, 원래 식은 $f(x) = (x-a)Q(x) + 0$에서 양변에 $x = a$를 대입해 준것이죠.
• 결과적으로, $f(x) = (x-a)Q(x)$ 식은 보면 $f(x)$가 $(x-a)$를 인수로 가진다는 것도 알 수 있습니다. 

 

최종적으로 인수정리 개념에 대해 정리해보자면 

인수정리
$f(a) = 0$
↔ $f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나눈 나머지가 0 (나머지정리 개념)
↔ $f(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나누어떨어진다.
↔ $f(x) = (x-a)Q(x)$
↔ $f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 갖는다.

모두 같은 의미라 정리 할 수 있습니다.

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4. 나머지정리와 조립제법의 차이

• 나머지 정리 : 일차식으로 나눈 나머지를 구하는 가장 쉬운 방법
• 조립제법 : 일차식으로 나눈 몫, 나머지 구하는 방법
  → 몫, 나머지 다 구해야 되는 상황에서는 조립제법, 나머지만 구해도 되는 상황에서는 나머지정리가 편리

특징	나머지 정리	조립제법
주요 기능	일차식으로 나눈
	나머지를 구하는 가장 쉬운 방법	몫과 나머지를 동시에 구하는 방법
장점	계산 과정이 간단하며 빠르게 나머지 구할 수 있음	몫까지 필요한 경우 효율적
적용 조건	$x$의 계수에 제한 없음	조립제법 해석시 $x$의 계수가 반드시 1
제약 사항	몫을 구할 수 없음	$x$의 계수가 1이 아닌 경우 추가적인 계산 필요

 

몫과 나머지를 동시에 구하기 위해 조립제법을 사용할 때,  만약 $x$의 계수가 1이 아닌 경우에는 조립제법의 결과를 쓰고 식변형을 통해 구해줄 수 있습니다. (조립제법 설명 보러가기: 목차 1-3)

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5. 예제문제

개념원리 50p 필수예제 05 (1)

$f(x) = 3x^3 - x^2 + ax + 5$

$f(x) = (x - 1)Q _1(x) + 4 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 4$ ← (나머지 정리 결과)

$f(x) = (3x - 1)Q_2(x) + R \quad \Rightarrow \quad f\left(\frac{1}{3}\right) = R$=?

• 문제를 읽으며 $(주어진 식) = (나누는 식) \cdot (몫) + (나머지)$ 로 바로바로 정리해 줍니다.
• 추가로, 나머지 정리에 대한 결과도 옆에 함께 쓰는 습관을 가지도록 합시다.
• 나누는 식이 다르므로 몫도 다르기 때문에 $Q_1(x)$와 $Q_2(x)$로 표현
• 나머지가 주어져있지 않은 경우 일차식으로 나눈 나머지이므로 상수 $R$을 이용해 함께 써줍니다. 

나머지 $R$이 무엇인지 구해야하는데 $f\left(\frac{1}{3}\right) = R$이므로 $f\left(\frac{1}{3}\right)$의 값이 필요합니다.

$f(1) =4 $를 이용해 $f(x) = 3x^3 - x^2 + ax + 5$의 미지수 $a$를 구해주고 $f\left(\frac{1}{3}\right)$의 값을 구해줍니다.

 

풀이)

$f(1) = 3(1)^3 - (1)^2 + a(1) + 5 = 4$

$\therefore a = -3$

 

$f\left(\frac{1}{3}\right)$

$= 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 + a\left(\frac{1}{3}\right) + 5$

$= \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - 1 + 5 = 4 = R$

$\therefore R = 4$

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개념원리 50p 필수예제 05 (2)

문제를 읽으며 바로 식을 써줍시다!!

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x - 2)Q_1(x) + 12$ 

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x + 1)Q_2(x) + 6$

$a, b = ?$

 

모르는 $Q_1(x)$와 $Q_2(x)$를 사라지게 하기 위해 나누는 식이 0되는 $x$값 $x = 2$, $x = -1$을 각각 대입해 줍니다.

 

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x - 2)Q_1(x) + 12$

• $x = 2$ 대입:
  $8 + 4a + 2b - 4 = 12$
  $\therefore 2a + b = 4 \quad \text{(식 ①)}$

 

$x^3 + ax^2 + bx - 4 = (x + 1)Q_2(x) + 6$

• $x = -1$ 대입:
  $-1 + a - b - 4 = 6$
  $\therefore a - b = 11 \quad \text{(식 ②)}$

 

식 ①과 식 ②를 연립해주면

$\therefore a = 5, b = -6$

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개념원리 51p 필수예제 06 (1)

$f(x) = (x+4)Q(x) + 11 \quad \Rightarrow \quad f(-4) = 11$ 

$f(x) = (x-3)Q'(x) - 3 \quad \Rightarrow \quad f(3) = -3$

문제에 따라, 식을 이용할 수도 있고 값을 이용할 수도 있으니 처음 배우는 단계라면 식과 나머지 정리 결과 둘 다 항상 함께 쓰도록 합시다.

 

$f(x) = (x+4)(x-3)Q^n(x) + ax + b$

나누는 식이 이차식이라 나머지 일차 이하이므로 $ax + b$라고 식을 세워 줍니다. 

참고:) 나머지 식을 세울 때
나누는식이 2차 → 나머지 일차 이하 = $ax + b$
나누는식이 3차 → 나머지 일차 이하 = $ax^2 + bx + c$

 

나머지를 구하라 하였으므로 미지수 $a, b$를 구해줘야 합니다.

미지수가 2개이므로 식도 2개가 필요한데 조건으로 $f(-4) = 11$, $ f(3) = -3$인 식2개도 주어졌으므로 이를 이용하여 미지수의 값을 구해 줍니다. 

 

$f(x) = (x+4)(x-3)Q^n(x) + ax + b$

• $x = -4$ 대입:
  $f(-4) = -4a + b = 11$
• $x = 3$ 대입:
  $f(3) = 3a + b = -3$

식의 개수와 미지수의 개수가 같다면, 연립 방정식을 이용하여 각각의 미지수 값을 구할 수 있습니다.

중학교 2학년 때 배운 가감법, 대입법을 이용해 연립해줘도 되지만 오늘은 조금 다르게 미지수의 값을 구해보도록 하겠습니다. 

그냥 이렇게도 구할 수 있구나 생각만 해주시면 될 것 같아요. 그냥 바로 가감법이용해 두식을 빼주셔도 나오니 그냥 편하게 참고로만 봐주세요. 

첫번째 식에서 두번째 식이 되기위해서는? 이라고 생각해 주시면 됩니다. 이렇게 문자 하나의 계수가 맞아 고정시켜둘 수 있을 때 많이 써줍니다. 

• 첫번째 식에서 두번째 식이 되기위해서는 좌변에는 $7a$를 더해줘야 하고, 우변에는 $-14$를 더해줘야 됩니다.
• 식의 값이 변하지 않게 하기 위해서는 항상 양변에 같은 수를 더하거나 빼줘야 하므로 $7a = -14$ 라는 결론이 나옵니다. 

즉, $a=-2$가 나오게되고 남은 $b$는 두 식 중 하나에 $a$값을 대입하여 구해주시면 됩니다. 

 

최종적으로 구하고자 하는 나머지는 $-2x + 3$

 

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개념원리 51p 필수예제 06 (2)

$f(x) = (x-2)Q _1(x) + 3$  $\Rightarrow f(2) = 3$

$f(x) = (x+2)Q_2(x) - 1$  $\Rightarrow f(-2) = -1$

 

나누는 식이 다르니 몫도 다르게 꼭 표시해줍시다. 

 

$(x^2-x+1)f(x)$를 $(x^2-4)$인 이차식으로 나누었을 때 나머지는 일차이하 이므로 $ax + b$로 미지수 잡아줍니다. 

$(x^2-x+1)f(x) =$ $(x^2-4)$ $Q_3(x) + ax + b$

$(x^2-x+1)f(x) =$ $(x+2)(x-2)$ $Q_3(x) + ax + b$

 

미지수 $a,b$ 값을 구하면 나머지를 구할 수 있습니다.

모르는 $Q_3(x)$를 제거하기 위해 $(x+2)(x-2)$가 0 되는 $x$ 값 2와 -2를 대입해 주도록 할께요.

 

• $x=2$를 대입하면,
• $(4-2+1)f(2) = 2a + b$
• 여기서 $f(2) = 3$이므로 $\therefore 9 = 2a + b , , , \text{(식 ①)}$

 

• $x=-2$를 대입하면,
• $(4+2+1)f(-2) = -2a + b$
• 여기서 $f(-2) = -1$이므로 $\therefore -7 = -2a + b , , , \text{(식 ②)}$

 

두 식을 연립해주면

$\therefore$ 나머지 $= 4x + 1$

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6. 추가자료 

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 47p~51p) 백지테스트.hwp

0.03MB

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 47p~51p) 백지테스트.pdf

0.10MB

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