공통수학 1 - 1 - 13. 항등식과 나머지 정리 - 연습문제 풀이 빈출 유형 개념정리

1단원 - 2. 항등식과 나머지 정리 - 연습문제 풀이

이 글에서는 개념원리 교재의 항등식과 나머지 정리 연습문제 풀이 과정을 상세히 다룹니다. 학생들이 자주 헷갈리는 개념을 중심으로 문제 풀이 팁과 효율적인 학습 방법을 소개합니다.

 

개념원리 공통수학 55p ~ 57p

 

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개념원리 56P 연습문제 106번

문제를 읽으며 주어진 조건을 차근차근 식으로 정리해 줍니다.

이때 나머지 정리에 대한 내용도 우측에 함께 써두도록 합시다.

• $f(x) + g(x) = (x-2)Q_1(x) + 10 \quad \Rightarrow \quad f(2) + g(2) = 10$
• $\left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 = (x-2)Q_2(x) + 58 \quad \Rightarrow \quad \left( f(2) \right)^2 + \left( g(2) \right)^2 = 58$
• $f(x) \cdot g(x) = (x-2)Q_3(x) + R \quad \Rightarrow \quad f(2)g(2) = R$

구하고자 하는 것은 $R$입니다.

 

$f(2)$와 $g(2)$가 반복되므로 $f(2) = A, g(2) = B $ 라고 치환하여 계산해 줍니다. 

문제의 주어진 식과 구하고자 하는 것을 다시 정리해보면,

• $A + B = 10$
• $A^2 + B^2 = 58$
• $AB = ?$ 

$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB$
$100 = 58 + 2AB$
$42 = 2AB$

$\therefore AB = 21 ,  \quad f(2)g(2) = R = 21$

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개념원리 56P 연습문제 108번

• $f(x) = (x-1)^2 Q_1(x) + x + 1 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 2$
• $f(x) = (x-2)Q_2(x) + 5 \quad \Rightarrow \quad f(2) = 5$
• $f(x) = (x-1)^2 (x-2) Q_3(x) + ax^2 + bx + c$
  ↑ 나누는 식이 $(x-1)^2 (x-2)$ 3차이므로 나머지 2차 이하 $ax^2 + bx + c$

구하고자 하는 것은 나머지 $ax^2 + bx + c$ 입니다.

 

미지수 $a, b, c$ 3개인데 $f(1)=2, f(2)=5$ 식 2개뿐이라 미지수 값을 구할 수 없습니다.

"$(x-1)^2$으로 나눴을 때 나머지는 $x+1$이다"를 이용하여 나머지식을 통째로 이용해 주도록 할께요.

 

• $(x-1)^2$을 나누는 식으로 보면
• $ax^2+bx+c$가 $(x-1)^2$으로 한번 더 나눠지고
  이때의 나머지는 $f(x)$를 $(x-1)^2$으로 나누었을때의 나머지  $x+1$이 됩니다.
• 이 부분이 잘 이해가 안되신다면 이전글의 52p 발전예제 07의 설명을 참고해 주세요.

남은 조건 $f(2)=5$ 사용하기 위해 $x=2$ 양변 대입
$f(2) = 1 \cdot (a) + 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad a=2$

즉, 나머지 $ax^2+bx+c = (x-1)^2 \cdot 2 + x+1 = 2x^2 - 3x + 3 $ 이므로 답은 $ 2x^2 - 3x + 3$ 입니다.

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개념원리 56P 연습문제 110번

• $f(x) = (x-1)Q(x) + 6 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 6$
• $Q(x) = (x+2)Q'(x) + 9 \quad \Rightarrow \quad Q(-2) = 9$

항상 나머지정리 결과도 같이 생각해주고 식을 쓸지 값을 쓸지 생각하기!

구하고자하는 것은 $f(x) = (x-1)(x+2)Q''(x) + ax + b, \quad ab=?$

 

이번에는 식을 통째로 사용해보도록 하겠습니다.

첫번째 식의 $Q(x)$ 자리에 두번째 식 $Q(x) = (x+2)Q'(x) + 9$를 대입하여 식을 이용해 보도록 할게요.

$f(x) = (x-1)Q(x) + 6$

$f(x) = (x-1)\left((x+2)Q'(x) + 9\right) + 6$
$f(x) = (x-1)(x+2)Q'(x) + 9(x-1) + 6$

 

$(x-1)(x+2)$를 나누는 식으로 보면 나머지 $9(x-1) + 6 = 9x-3$ 

• 나누는 식이 2차이고 나머지가 1차로 (나누는 식 차수 > 나머지 차수)가 성립하기 때문에
• $f(x)$를 $(x-1)(x+2)$로 나누었을 때 나머지는 $9x-3$로 봐줄 수 있습니다.

즉,  $a=9, b=-3$ 이므로 $\therefore ab = -27$

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개념원리 56P 연습문제 111번

'이차항 계수가 1인 이차다항식'

→ $f(x)$에 대한 직접적인 정보가 나왔습니다. 이런경우, $f(x)$에 대한 식을 세워야 할 수도 있겠네 생각해주시면 됩니다.

 

두가지 풀이로 설명을 진행하겠습니다. 

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풀이1)

• $f(x) + 2 = (x+2)Q_1(x)$ → $x = -2$ 대입 → $f(-2) = -2$
• $f(x) - 2 = (x-2)Q_2(x)$ → $x = 2$ 대입 → $f(2) = 2$
• '이차항 계수가 1인 이차다항식' → $f(x) = 1 \cdot x^2 + ax + b$

미지수의 개수와 주어진 식의 개수가 2개로 같으므로 미지수의 값을 구할 수 있습니다. 

• $f(-2) = 4 - 2a + b = -2 \quad \Rightarrow \quad -2a + b = -6$
• $f(2) = 4 + 2a + b = 2 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = -2$

둘을 연립해 주면, 

​​

$\therefore f(x) = x^2 + x - 4$

$f(10) = 100 + 10 - 4 = 106$

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풀이2)

• $f(x) + 2 = (x+2)Q_1(x)$ → $x = -2$ 대입 → $f(-2) = -2$
• $f(x) - 2 = (x-2)Q_2(x)$ → $x = 2$ 대입 → $f(2) = 2$

★ ★ ★

여기서, $f(-2) = -2$과 $f(2) = 2$ 두 조건을 해석해보면,

→ $f(x) = x$ 이 방정식을 만족하는 $x$ 값은 $-2, 2$

→ $f(x) - x = 0$ 이 방정식을 만족하는 $x$ 값은 $-2, 2$

추가설명 :)
$f(x) - x = g(x)$라 하면, $g(2)=0, g(-2)=0$
→ $g(x)$는 인수정리 개념에의하여 $(x-2)$와 $(x+2)$를 인수로 가집니다.
즉, $f(x) - x$는 $(x-2)$와 $(x+2)$를 인수로 가집니다.

 

$f(x) - x$ 는 '이차항 계수가 1인 이차다항식' 이므로 

$f(x) - x = 1 \cdot (x+2)(x-2)$

$\therefore f(x) = 1 \cdot (x+2)(x-2) + x$

$f(10) = 12 \cdot 8 + 10 = 96 + 10 = 106$

 

이렇게 풀이는 끝나지만, 해석하는 방법을 좀 더 연습해보도록 할께요.

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 고등학생 필수 능력 식 세우기 연습

예제1) 이차항 계수가 1인 이차다항식 $f(x)$ , $f(3)=2, f(4)=2$

 

풀이)

우변의 2는 고정되어있고 $f(x)$ 괄호안의 값을 $x$로 두면,

• $f(x)=2$를 만족하는 $x$값은 3,4 입니다.
• $f(x)-2=0$을 만족하는 $x$값은 3,4
• $f(x)-2$식은 $(x-3)$와 $(x-4)$를 인수로 가집니다.

$f(x) - 2$ 는 '이차항 계수가 1인 이차다항식' 이므로 

$f(x) - 2 = 1 \cdot (x-3)(x-4)$

$f(x) = 1 \cdot (x-3)(x-4) + 2$

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예제2) 이차항 계수가 2인 이차다항식 $f(x)$ , $f(2)=4, f(3)=9$

 

풀이)

$f(x)$ 괄호안의 $x$값과 함숫값의 관계가 $x^2$의 관계입니다. 

두 식을 일반화해서 해석해보면,

• $f(x)=x^2$을 만족하는 $x$값은 2,3 입니다.
• $ f(x) - x^2 =0$을 만족하는 $x$값은 2,3
• $f(x) - x^2$ 식은 $(x-2)$와 $(x-3)$를 인수로 가집니다.

$f(x)$는 이차항의 계수가 2인 이차다항식 즉 $2x^2 ~$이므로 $f(x) - x^2$식은 이차항의 계수가 1인 이차다항식이 됩니다.

$f(x) - x^2 = 1 \cdot (x-2)(x-3)$

$f(x) = 1 \cdot (x-2)(x-3) + x^2 $ (← 전개하여 정리해주면 이차항계수 2 확인 가능)

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예제3) 이차항의 계수가 3인 이차다항식 $f(x)$ , $f(2)=3, f(3)=5$

 

풀이)

$f(x)$ 괄호안의 $x$값과 함숫값의 관계가 $2x-1$의 관계입니다. 

두 식을 일반화해서 해석해보면,

• $f(x)=2x - 1$을 만족하는 $x$값은 2,3 입니다.
• $f(x) - (2x - 1) = 0$을 만족하는 $x$값은 2,3
• $f(x) - (2x - 1)$ 식은 $(x-2)$와 $(x-3)$를 인수로 가집니다.

$ f(x) - (2x -1) $ 는 '이차항 계수가 3인 이차다항식' 이므로 

$ f(x) - (2x -1) = 3 \cdot (x-2)(x-3)$

$ f(x) = 3 \cdot (x-2)(x-3) + (2x -1) $

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개념원리 56P 연습문제 112번

위에서 배운 내용을 한번 더 적용해보도록 하겠습니다.

 

$f(x) = (x-4)Q(x) + R \quad \rightarrow \quad f(4) = R = ?$

즉, $f(4)$의 값을 구해주면 되는 문제입니다.

 

문제의 주어진 조건을 보면 

'최고차항의 계수가 1인 삼차식 $f(x)$' 이라 $f(x)$에 대한 직접적인 정보가 나왔으므로 식을 세울 준비를 해줍시다!

• $f(1) = 5, f(2) = 5, f(3) = 5$
• $f(x) = 5$를 만족하는 $x$값은 $1, 2, 3$
• $f(x) - 5 = 0$을 만족하는 $x$값은 $1, 2, 3$
• $f(x) - 5 = 0$는 $(x-1), (x-2), (x-3)$을 인수로 가짐

$\therefore , f(x) - 5 = 1 \cdot (x-1)(x-2)(x-3)$

$f(4) = 1 \cdot (3)(2)(1) + 5 = 11 = R$

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개념원리 56P 연습문제 113번

$g(x) = (x-4)Q(x) + R$ → $g(4) = R = ?$

 

(가) 식의 양변에 $x=4$를 대입해주면, 구하고자 하는 $g(4)$는 $16f(4)$의 값과 같습니다. $g(4) = 16f(4) = R$ ?

 

$ g(x) = x^2 f(x)$ 식을 $(나)$에 대입해 주면

(나) $g(x) + (3x^2 + 4x)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

$x^2 f(x) + (3x^2 + 4x)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

$(4x^2 + 4x)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

$4x(x+1)f(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$

 

• $x = 0$ 대입 시 모르는 $f(x)$가 사라짐 → $0 = b$
• 또는, 좌변 $(4x^2 + 4x)$에 다항식 $f(x)$가 곱해지므로 일차 이상의 항만 만들어진다는 것도 알 수 있습니다.  $\rightarrow b = 0$

 

• $x = -1$ 대입 시 모르는 $f(x)$가 사라짐 $\quad 0 = -1 + a - 2 + b \quad \therefore , a = 3$

$4x(x+1)f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x$

 

$x = 4$ 대입

$16 \cdot 5 \cdot f(4) = 64 + 48 + 8$

$16f(4) = \frac{120}{5} = 24$

 

즉, $g(4) = 16f(4) = 24 = R$

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개념원리 56P 연습문제 114번

$f(x) = (x^2+1)Q(x) - 2x$ ← 식 ① 

$f(x) = (x^2-1)Q'(x) + 6 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 6, f(-1) = 6$ ← 식 ②

$Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$ → $ax+b = ?$

나누는식이 $ (x^2-1) $ 이차이므로 나머지는 일차이하 다항식 $ax+b$ 입니다.

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방법1) 식 ②를 통째로 이용

식 ① 의 $Q(x)$에 $Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$를 대입해 줍니다.

• $f(x) = (x^2+1)\left((x^2-1)Q''(x) + (ax+b)\right) - 2x$
• $ f(x) = (x^2+1)(x^2-1)Q''(x) + (ax+b)(x^2+1) - 2x$

나누는 식을 $(x^2-1)$로 보면 $(ax+b)(x^2+1) - 2x$은 $(x^2-1)$로 한 번 더 나눠지기 때문에 나머지라고 볼 수 없습니다.

 

$(ax+b)(x^2+1) - 2x$를 $(x^2-1)$ 으로 한번 더 나눠주면

• 좌변이 삼차식이므로 몫은 일차식
• 몫의 일차계수 : 최고차계수 $a$이용
• 몫의 상수항 : 바로 판단하기 어렵기 때문에 미지수 k로 둔다.
• 나머지 : $f(x)$를 $(x^2-1)$ 로 나눈 나머지는 6임을 이용 ( ◀  이전글의 52p 발전예제 07의 설명을 참고)

양변을 전개하여 계수를 비교해주면

$ ax^3 + bx^2 + (a-2)x + b = ax^3 + kx^2 - ax - k + 6$

$b = k \quad , \quad -a = a-2 \quad , \quad -k + 6 = b$

$a = 1 \quad , \quad b = 3 \quad , \quad k = 3$

$\therefore ax+b = x+3$

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방법2) 식 ②의 $f(1) = 6, f(-1) = 6$ 조건 이용

$Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$ → $ax+b = ?$

 

미지수가 $a, b$ 2개이므로 식도 2개가 필요합니다.

모르는 $ Q''(x) $를 제거할 수 있는 $(x^2-1) = 0$ 되는 $x$값 1,-1을 대입했을 때의 $Q(1)$과 $Q(-1)$ 값 필요한 것이죠.

 

식 ②에서 $f(1) = 6, f(-1) = 6$인 것을 알 수 있으므로 이를 이용하기 위해 식 ①에 $x=1, x=2$를 대입하여 줍니다. 

 

$x=1$ 대입:
$f(1) = 2Q(1) - 2$
$6 = 2Q(1) - 2$
$\therefore Q(1) = 4$

 

$x=-1$ 대입:
$f(-1) = 2Q(-1) + 2$
$6 = 2Q(-1) + 2$
$\therefore Q(-1) = 2$

 

즉, $Q(1) = 4$, $Q(-1) = 2$인 것을 구하였으므로 다시 $Q(x) = (x^2-1)Q''(x) + ax + b$에 대입하여 $a, b$의 값을 구해줍니다.

 

$x=1$ 대입:
$Q(1) = a+b = 4$

$x=-1$ 대입:
$Q(-1) = -a+b = 2$

 

두 식을 연립해 푸면 $a=1$, $b=3$이므로 나머지 $ax+b = x+3$입니다.

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개념원리 56P 연습문제 115번

$7 = x$ 라 하면 $6 = x-1$
$x^{30} + x^{20} + x = (x-1)Q(x) + R$ : 일차식으로 나눈 나머지는 상수항 $R$

 

• $x = 1$ 대입 시 $3 = R$
  $\therefore x^{30} + x^{20} + x = (x-1)Q(x) + 3$
• 다시 $7 = x$ 대입시,
  $7^{30} + 7^{20} + 7 =$ $6Q(7) + 3$
  해석 : 6으로 나누었을 때 몫은 $,Q(7)$ , 나머지 3 (나누는 수 6 > 나머지 3 으로 성립)

$\therefore$ 나머지는 $3$

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수의 나눗셈에서 나머지정리의 활용 유형에서 주의 해야할 점

1. 나누는 수를 최대한 일차식으로 잡아줌 
   → 개념원리 56P 연습문제 115번
2. 최대한 나누는 수를 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡아주는 것이 좋음. 
   → RPM 30p 188번
3. 마지막에 나누는 수로 나누었을 때 나머지가 성립하는지 확인 : (나누는 수) > (나머지) > 0
   → RPM 28p 170번

 

(1번 설명)

나누는 수를 최대한 일차식으로 잡아주는 이유는 일차식으로 나눈 나머지가 상수항이되서 값이 간편하게 나오기 때문입니다. 

예를 들어,

• 나누는 수 $6 = 2^2 + 2$로 생각하여 $2=x$라 둠
• 나누는 식이 $6 = x^2 + 2$으로 이차가 됨
• 나머지는 일차이하 $ax + b$가 됩니다.

이 경우 미지수가 $a$, $b$ 2개이므로 2개의 식이 필요합니다.

하지만, 모르는 $Q(x)$ 를 제거하기 위해 $x^2+2=0$ 되는 $x$값이 2개가 있어야 하지만 $x^2+2=0$는 실근이 없으므로 나머지를 구하기 힘들게 됩니다.

 

이처럼 어떤값을 치환하냐에 따라 풀이가 조금 달라질 수 있기 때문에 간단하게 일차식으로 최대한 잡아주자 정도만 알아두시고 주의해야 할점의 2번과 3번 내용은 RPM 문제를 보면서 정리하도록 할께요.

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개념원리 56P 연습문제 116번 - 나머지가 같은 유형

'최고차항의 계수가 1인 사차다항식 $f(x)$'

(가) $f(x) = (x+1)Q(x) + R$ ... 식①
$f(x) = (x^2-3)(x)Q(x) + R$ ... 식②

식①에서 나누는 식이 일차이므로 나머지는 상수 $R$입니다.

식②에서 나누는 식이 이차라 나머지는 일차이지만, 식①과 나머지가 같다고 하였으므로 $R$로 둡니다.

'나머지가 같다' 유형의 경우,
1. 두 식을 빼서 나머지를 제거하는 방법
2. $R$을 이항하여 인수를 찾는 방법

 

문제에서는 두 식을 빼주게 되면 좌변의 $f(x)$가 제거되므로, $R$을 이항하여 인수를 찾는 방법을 사용해 보겠습니다.

 

$f(x) - R = (x+1)Q(x)$ ... 식①
$f(x) - R = (x^2-3)(x)Q(x)$ ... 식②

두 식을 해석해보면, $f(x) - R$은 $(x+1)$과 $(x^2-3)$을 인수로 가지며, '최고차항의 계수가 1인 사차다항식 $f(x)$'라고 하였습니다. 

∴ $f(x) - R = (x^2-3)(x+1)(x+k)$

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(나) $f(x+1) - 5 = x(x+1)Q'(x)$ : 나누어 떨어진다 하였으므로 나머지 0

$x=0$ 대입 → $f(1) - 5 = 0$ → $f(1) = 5$

$x=-1$ 대입 → $f(0) - 5 = 0$ → $f(0) = 5$

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(가)의 결론  $f(x) - R = (x^2-3)(x+1)(x+k)$는 미지수 $R$, $k$ 2개,

(나)의 결론 $f(1) = 5$, $f(0) = 5$ 으로 식 2개이므로 연립하여 미지수의 값을 구해 줍니다.

 

$x=1$ 대입
$f(1) - R = (-2)(2)(1+k)$
$5 - R = -4 - 4k$
∴ $4k - R = -9$

 

$x=-1$대입
$f(0) - R = (-3)(1)(k)$
$5 - R = -3k$
∴ $3k - R = -5$

 

두 식을 연립해주면, $k = -4$, $R = -7$

 

최종적으로,
∴ $f(x) + 7 = (x-3)(x+1)(x-4)$
$f(4) + 7 = (13)(5)(0)$
$f(4) = -7$

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2. 추가자료 

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 55p~57p) 백지테스트.hwp

0.03MB

1단원-2. 항등식과 나머지 정리 (개념원리 공통수학1 55p~57p) 백지테스트.pdf

0.10MB

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

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