공통수학 1 - 1 - 15. 항등식과 나머지 정리 RPM 주요 문제 풀이 2

1단원 - 14. 항등식과 나머지 정리 RPM 주요 문제 풀이 2

지난 글에 이어 이 글에서는 RPM 교재의 항등식과 나머지 정리 주요 문제를 효율적으로 푸는 방법을 제공합니다. 자신의 풀이와 비교해 가며 다양한 풀이를 배우고 주요 유형은 반복 학습을통해 자신의 것으로 꼭 체화시키길 바랍니다.

 

RPM : 29p ~ 31p 

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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RPM 29p 178번

$ (x^2 - 2x - 1)^{10} = a_{20}x^{20} + a_{19}x^{19} + a_{18}x^{18} + \cdots + a_1x + a_0 $

이 문제에서 주의해야 할 점 : 모든 짝수항의 합이 아님! $a_0$가 빠져 있음.
즉, $a_{20} + a_{18} + a_{16} + \cdots + a_2 $ $+ a_0$가 아니라 $a_{20} + a_{18} + a_{16} + \cdots + a_2$
→ 이런경우, 모든 짝수항의 합을 구해준 후 $ a_0$를 따로 구해주어 빼줘야 함.

 

$x = 1$ 대입:
$x^n = 1$이므로 $a_{\text{짝수}}$, $a_{\text{홀수}}$ 앞은 $+$
$2^{10} = a_{20} + a_{19} + a_{18} + \cdots + a_1 + a_0$ 

 

$x = -1$ 대입:
$x^{\text{짝수}} = 1$, $x^{\text{홀수}} = -1$이므로 $a_{\text{짝수}}$ 앞은 $+$, $a_{\text{홀수}}$ 앞은 $-$
$2^{10} = a_{20} - a_{19} + a_{18} - \cdots - a_1 + a_0$

 

여기서 $a_0$는 $x = 0$ 대입:
$(-1)^{10} = a_0$
$\therefore 1 = a_0$

 

결론:
$a_{20} + a_{18} + \cdots + a_2 = 2^{10} - a_0 = 1024 - 1 = 1023$

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RPM 30p 181번

문제를 읽으며 바로 식써주는거 이젠 어렵지 않겠죠?

$ax^5 + bx^3 + cx - 4 = (x-1)Q(x) + 3$ $\rightarrow x = 1$ 대입, $a + b + c - 4 = 3$
$\therefore a + b + c = 7$

 

미지수가 $a, b, c$ 3개 입니다. 식도 3개가 있으면 미지수 각각의 값을 구할 수 있는데요, 여기서는 더 주어진 조건이 없습니다. 이럴때에는 일단 구하고자 하는 것이 무엇인지를 먼저 확인해 보는 것이 좋아요.

 

구하고자 하는 것을 보면 

$ax^5 + bx^3 + cx - 4 = (x+1)Q'(x) + R$
$\rightarrow x = -1$ 대입, $-a - b - c - 4 = R$=?

$R = -4 - (a + b + c) $ 이렇게 정리가 되면서 $a + b + c = 7$의 값을 한번에 사용이 가능합니다.

$R = -4 - 7 = -11$

 

이 문제처럼 미지수 각각의 값을 구하지 못하여도, 한번에 사용해 답을 구할 수도 있으니 문제가 막힌다면 구하고자 하는게 무엇인지에 대해 먼저 생각해보도록 합시다.

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RPM 30p 183번

삼차식 $f(x) \rightarrow f(x)$에 대한 구체적인 정보가 나왔으므로 식세울 준비!

식을 세울수도 있고, 안 세울수도 있지만 항상 이 마음가짐을 갖고 있어야 합니다.

$f(x) = (x^2-5x+6)Q(x) + ax+b$
$f(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax+b$

미지수 $a, b$ 2개이므로 식 2개가 필요합니다.
$x=2$, $x=3$ 대입 시 모르는 $Q(x)$가 제거되므로 $f(2), f(3)$의 값을 안다면 바로 구할 수 있겠네요!

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$8f(x+2) = f(2x) + 7x^2$

$f(0)=8$ 임을 이용하기 위해 $x+2=0, 2x=0$인 $x$값을 넣어 볼 생각을 할 수 있습니다.

• $x=-2$ 대입 $\rightarrow$ 좌변의 $f(x+2)$가 $f(0)$ 됨, 우변의 $f(2x)$가 $f(-4)$ 됨 → $f(-4)$값 알 수 있음
• $x=0$ 대입 $\rightarrow$ 좌변의 $f(x+2)$가 $f(2)$ 됨, 우변의 $f(2x)$가 $f(0)$ 됨 → $f(2)$값 알 수 있음

$f(2), f(3)$의 값을 구하는게 목적이므로 $x=0$을 대입하면 $f(2)$값을 바로 알 수 있겠네요.

$f(-4)$값은 굳이 필요하지 않아 $x=-2$를 대입하는 과정은 생략해도 됩니다. 

 

• $x=0$ 대입
  $8f(2)=f(0)$
  $8f(2)=8$
  $\therefore f(2)=1$

이제, $f(2)=1$을 알고 $f(3)$만 더 구해주기 위해 $8f(x+2) = f(2x) + 7x^2$ 식에 $x=1$ 대입

• $x=1$ 대입
  $8f(3)=f(2)+7$
  $\therefore f(3)=1$

즉, $\therefore f(2)=1, f(3)=1$

 

$f(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax+b$
$x=2$ → $f(2)=2a+b=1$
$x=3$ → $f(3)=3a+b=1$

 

두식을 연립해주면, 

나머지는 $ax+b$ 이므로 $0x+1=1$입니다. 

 

아래는 식을 세워 푸는 풀이 입니다. 참고만 해주세요.

$f(0) = 8$ 이므로 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 8$ 입니다.
미지수 $a, b, c$ 3개이므로 식도 3개가 필요하게 됩니다.
○ $x = 0$ 대입 :  $8f(2) = f(0) \quad \rightarrow \quad f(2) = 1$
○ $x = -2$ 대입 :  $8f(0) = f(-4) + 28 \quad \rightarrow \quad f(-4) = 36$
○ $x = 1$ 대입 :  $8f(3) = f(2) + 7 \quad \rightarrow \quad f(3) = 1$
이런 식으로 식 3개 구하였으니 연립해주면 $a, b, c$의 값도 구할 수 있습니다.

가끔 이 풀이를 써서 푸는 문제도 있으니 이렇게 연쇄적으로 조건(식)을 뽑을 수 있구나 생각해주세요. 

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RPM 30p 188번

 '수의 나눗셈에서 나머지정리의 활용 문제유형'에서 주의 해야할 점
1. 나누는 수를 최대한 일차식으로 잡아줌 
→ 개념원리 56P 연습문제 115번
2. 최대한 나누는 수를 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡아주는 것이 좋음. 
→ RPM 30p 188번
3. 마지막에 나누는 수로 나누었을 때 나머지가 성립하는지 확인 : (나누는 수) > (나머지) > 0
→ RPM 28p 170번

어떤수를 $x$로 잡아야할지 애매하다면, 나눗셈 과정에서 나누는 수를 일차로 잡아주어야 나머지를 구하기 쉬워지고 그 중에서도 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡는 것이 좋습니다. 

 

$8 = x = 2^3$, 나누는 수 : $9 = x+1$라 하면,

$2^{751} = 2^{3 \times 250 + 1} = 2 \cdot (2^3)^{250} = 2 \cdot x^{250}$

$2 \cdot x^{250} = (x+1)Q(x) + R$

$x = -1$을 대입해 주면, $2 = R$

$\therefore 2 \cdot x^{250} = (x+1)Q(x) + 2$

$x = 8$을 다시 대입하여주면,
$2^{751} = 9 \cdot Q + 2$

$9$로 나누었을 때 나머지 $2$ ; (나누는 수) > (나머지)가 성립

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왜 $x-1$, $x$, $x+1$로 잡는 것이 좋을까요?

한가지 예를 들어 보도록 할께요. 

 

만약 $2 = x$, $9 = 4x + 1$로 치환한다면 나누는 식이 일차식이라 나머지는 상수로 간편하게 나올 것 같지만

$x^{751} = (4x+1)Q(x) + R$

$x = -\frac{1}{4}$ 대입
$(-\frac{1}{4})^{751} = R$

 

이렇게 되어버리면, 상수의 값이긴 하나 자연수의 나눗셈에서 나머지가 분수라는 뜻이 되고, $R$값 계산이 힘들어지게 됩니다. 
$x = 1$ 또는 $x = -1$ 또는 $x = 0$ 대입이 나중에 거듭제곱을 해주는 과정에서 계산이 편리해지기 때문에 $x+1$, $x$, $x-1$로 최대한 치환하는 것이 좋습니다.

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RPM 30p 191번

$f(x) = (x-1)Q(x) + 6 \quad \rightarrow \quad f(1) = 6$ ... 식①

$f(x) = (x-2)^2 Q(x) + 6x + 1 \quad \rightarrow \quad f(2) = 13$ ...식②

$f(x) = (x-1)(x-2)^2 Q''(x) + ax^2 + bx + c$ : 나누는 식이 3차이므로 나머지 2차이하 다항식

 

미지수가 $a,b,c$ 3개이고 주어진 조건은 $f(1)=6, f(2)=13$ 2개로 식의 개수가 부족하여 연립하여도 미지수 각각의 값을 구할 수 없게 됩니다.

그래서 $(x-2)^2$로 나누었을 때 나머지 $6x+1$을 통째로 사용해 줄 것입니다. 많이 했던 유형이라 실전 풀이를 하도록 하겠습니다.

 

$f(x) = (x-1)(x-2)^2 Q''(x) + ax^2 + bx + c$ 

이 식의 관점을 나누는 식을 $(x-2)^2$로 봐주면 나머지 $ax^2 + bx + c$로 (나누는 식의 차수) > (나머지의 차수)가 성립하지 않기 때문에 나머지 $ax^2 + bx + c$가 $(x-2)^2$로 한번 더 나눠집니다. 
∴ $ax^2 + bx + c = (x-2)^2 \cdot a + 6x + 1$
▲△
$(x-2)^2$로 한번 더 나눠주면 좌변과 우변의 최고차항 계수를 맞추기 위해 몫은 $a$ 나머지는 $(x-2)^2$으로 나누었을 때 나머지 $6x+1$이 됩니다. ( 식② 참고)

 

$f(x) = (x-1)(x-2)^2 Q''(x) +$ $(x-2)^2 \cdot a + 6x + 1$

$= (x-2)\left{(x-1)Q''(x) + a\right} + 6x + 1$

• $x = 1$ 양변 대입 ( 식①결론 이용)

$f(1) = 1 \cdot {a} + 7 = 6 \quad \therefore \quad a = -1$

 

최종적으로,

$R(x) = ax^2 + bx + c = (x-2)^2 \cdot a + 6x + 1$
$R(x) = -(x-2)^2 + 6x + 1$

$R(-2) = -16 - 12 + 1 = -27$

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RPM 30p 193번

$x^n(x^2 + ax + b) = (x-2)^n Q(x) + 2^n(x-2)$

식을 보고 세가지의 생각으로 문제를 시작해 보도록 하겠습니다.

 

생각1)

여기서, 우변은 $(x-2)$로 묶이게 됩니다. 좌변과 우변의 식이 같기위해 좌변에도 $(x-2)$가 있어야 하겠죠. 

즉, $x^2+ax+b$가 $(x-2)$를 인수로 가진 다는 것을 알 수 있습니다. 
$x^n(x-2)(x - \frac{b}{2}) = (x-2)^n\left((x-2)^{n-1} \cdot Q(x) + 2^n\right)$

 

생각2)

양변에 $x=2$를 대입해 줍니다.

$2^n (4 + 2a + b) = 0$
$2^n \neq 0$ 이므로 $4 + 2a + b = 0$

$x^2 + ax + b$ 에 $x = 2$ 대입 시 0 됨
$\rightarrow$ 인수정리 개념에 의해 $(x-2)$ 인수로 가짐

$x^2 + ax + b = (x-2)(x - \frac{b}{2})$
최고차, 상수항 맞춰주면서 식 바로 적기

 

생각3) 

양변에 $x=2$를 대입해 줍니다.

$2^n (4 + 2a + b) = 0$
$2^n \neq 0$ 이므로 $4 + 2a + b = 0$ → $b = -4 -2a$ 

이후 직접 인수분해

 

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어떤 생각으로 풀든 결론식은 아래와 같습니다. (생각3의 경우 식의 형태는 조금 다르겠지만, 푸는 방법은 동일합니다.)

 

$x^n(x-2)(x - \frac{b}{2}) = (x-2)^n\left((x-2)^{n-1} \cdot Q(x) + 2^n\right)$

• $(x-2)$를 제외한 나머지식이 같은 식이여야 한다는 것을 알 수 있습니다.

$x^n(x - \frac{b}{2}) = (x-2)^{n-1} \cdot Q(x) + 2^n$

 

$x = 2$ 대입
$2^n \left(2 - \frac{b}{2}\right) = 2^n$
$2 - \frac{b}{2} = 1 \quad \therefore \quad b = 2$

$(x^2 + ax + b) = (x-2)(x - \frac{b}{2}) = (x-2)(x-1) = x^2 - 3x + 2$
$a = -3, b = 2$

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RPM 30p 194번

$f(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + R(x)$ : 나머지 $R(x)$는 일차이하 다항식

 

ㄱ.

$x = a$ 대입
$f(a) = R(a) \quad \rightarrow \quad f(a) - R(a) = 0$ 성립...ㄱ(참)

 

ㄴ.

주어진 식의 양변에 $x = a$ , $x = b$ 대입시  $f(a) = R(a), f(b) = R(b)$
ㄴ식 → $R(a) - R(b) = R(b) - R(a)$
$R(a) = R(b)$

 

나머지가 일차이하 다항식이므로 나머지를 $px + q$ 라 하면
$R(a) = R(b)$

$p a + q = p b + q$

• $p(a-b) = 0$ 이므로 $a = b$ 이거나 $p = 0$일 때 성립합니다.
• 하지만, $a \neq b$ 이므로 $p = 0$일 때만 성립한다는 것을 알 수있습니다. 

즉, $p$의 값이 0이 아니라면 성립하지 않는 다는 것이죠. 문제에서 따로 $p = 0$이라는 조건은 없으므로 ㄴ은 (거짓)

 

이렇게도 생각할 수 있습니다. (참고로만 봐주세요.)

$R(a) = R(b)$ 이 식을 만족하면 ㄴ은 참이고 만족하지 않는 경우가 있다면 ㄴ은 거짓인데

$R(x)$는 일차이하 다항식이므로 일차식일 수도 있고 상수일 수도 있습니다. 

• 그래프를 그려서 생각해보면, $a \neq b$이기 때문에
  일차식의 경우 절대 $R(a)$값과 $R(b)$의 값이 같을 수 없습니다.
• 상수인 경우에는 $x$에 어떤 값을 넣어도 같은 상수 값이 나오기 때문에 $R(a) = R(b)$가 만족합니다.
• 즉, 정리해보자면 $R(x)$가 일차식이라면 만족하지 않고 $R(x)$가 상수라면 만족합니다.

$R(x)$가 상수라는 조건이 있었다면 ㄴ은 참이였겠지만, 그런 언급이 없으므로 일차식일 가능성도 있게 되는 거죠. 그러면 $R(a) = R(b)$이 만족하는지 안하는지 모르니 거짓이라고 할 수있겠네요. 

 

ㄷ.

$a f(b) - b f(a) = (a-b) R(0)$ 에서 나머지를 $R(x) = px + q$라 하면, $ R(0) = q$
$a p b + a q - b p a - b q = (a-b) q$
$q(a-b) = (a-b) q$

좌변과 우변의 식이 같으므로 성립한다는 것을 알 수 있습니다. 

ㄷ 참

 

∴ ㄱ, ㄷ 3번

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RPM 30p 195번

$x^2$의 계수가 1 인 두 이차식 f,g → f,g에 대한 구체적인 정보나옴 → 식 세울 준비

(식을 세울수도, 안세울 수도 있지만 항상 이 마음가짐을 갖고 시작해 봅시다.)

 

(가) $f(x) - g(x) = (x+2)Q(x) + R(x)$

일차식으로 나눈 나머지 이므로 상수 $R$
몫과 나머지가 같다고 하였으므로 $R(x) = Q(x) = R$

추가로, $f(x)$와 $g(x)$는 최고차항의 계수가 같으니 $f(x)-g(x)$를 해주게 되면 일차식이 된다는 것도 알 수 있습니다.

 

• 몫과 나머지에 $R$을 대입하여 정리해 주면
  $\therefore f(x) - g(x) = (x+2)R + R = (x+3)R$ ... 식①
• (나) $f(x)g(x) = (x-3)(x+3)Q'(x)$ → $f(3)g(3) = 0, \quad f(-3)g(-3) = 0$ ... 식②
• 추가 조건 : $g(1) = 8$
• 구하고자 하는 것 : $f(-2) - g(-2)$ = ?

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풀이1)

식① 에서 

$x = -3$대입시, $f(-3) - g(-3) = 0$ → $f(-3) = g(-3)$

식② 에서 $f(-3)g(-3) = 0$ → $f(-3)=0$ or $g(-3)=0$

최종적으로 $f(-3)=0$ and $g(-3)=0$

설명:) $f(-3)=0$ or $g(-3)=0$으로 둘 중 하나의 값이 0이 되어야 하는데, $f(-3) = g(-3)$으로 함숫값이 같기 때문에 둘다 함숫값이 0 되어야 하는 것입니다. ∴ $f(-3)=0$ and $g(-3)=0$

 

• 인수 정리 개념에 의해, 
• $f(-3)=0$ and $g(-3)=0$ 이면
• $f(x)$는 $(x+3)$을 인수로 가지고 $g(x)$도 $(x+3)$을 인수로 가진다
• $f(x) = (x+3)(x+p), g(x) = (x+3)(x+q)$ 라고 식을 세울 수 있게 됩니다. 

이후,

$g(1) = 8$에서 $q = 1$ → $\therefore$  $g(x) = (x+3)(x+1)$

• 식②중 안쓴 조건 $f(3)g(3) = 0$을 생각해보면,
• $f(3)=0$ or $g(3)=0$이여야 하는데, $g(3)=24$ 이므로 $f(3)=0$임을 알 수 있습니다. 

$f(3)=0$ → $f(3) = (6)(3+p) = 0$ → $p = -3$ → $f(x) = (x+3)(x-3)$

 

최종결론 : $f(x) = (x+3)(x-3)$, $g(x) = (x+3)(x+1)$
∴ $f(-2) - g(-2) = -5 - (-1) = -4$

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풀이2)

식① 에서 $f(x) - g(x) = (x+2)R + R = (x+3)R$ 라 하였으므로,

$f(x) = (x+3)(x+a+R)$, $g(x) = (x+3)(x+a)$

이렇게 바로 식을 세울 수 있어야 합니다. (이 과정은 풀이가 끝난 후 설명하도록 하겠습니다.)

• $g(1) = 8$ 조건 → $g(1) = 4 (1 + a) = 8 \quad \therefore a = 1$, $g(x) = (x+3)(x+1)$
• $f(3)g(3) = 0$ 조건 → $f(3)=0$ or $g(3)=0$이여야 하는데, $g(3)=24$ 이므로 $f(3)=0$ 
• $f(x) = (x+3)(x+1+R)$에 $x = 3$대입 → $f(3) = 6(4+R) = 0 \quad \therefore R = -4$, $f(x) = (x+3)(x-3)$

최종결론 : $f(x) = (x+3)(x-3)$, $g(x) = (x+3)(x+1)$
∴ $f(-2) - g(-2) = -5 - (-1) = -4$

 

추가 설명:)

$f(x) - g(x) = (x+2)R + R = (x+3)R$ → $f(x) = (x+3)(x+a+R)$, $g(x) = (x+3)(x+a)$ 과정

• $f(x) = A(x)B(x), g(x) = A(x)C(x) \quad \cdots \quad ①$ 의 식을 가지는 경우
  $f(x) - g(x) = A(x)B(x) - A(x)C(x) \quad \cdots \quad ②$
  $f(x) - g(x)  = A(x){B(x) - C(x)} \quad \cdots \quad ③$

으로 계산 된다는 것을 알 수 있습니다. 

문제에서 주어진 조건으로 이 과정을 역으로 생각해보면, 
$f(x) - g(x) = (x+3)R,  R = B(x) - C(x)$
$f(x) - g(x) = (x+3)B(x) - (x+3)C(x) \quad \cdots \quad ②$

최고차계수가 1인 이차식 $f(x), g(x)$ 이므로 $B(x), C(x)$는 최고차 계수 1인 일차식입니다.
$C(x) = x+a$라 하면, $B(x) - C(x) = R$ 이므로 $B(x) = C(x)+R = x+a+R$

 

$f(x) - g(x) = (x+3)(x+a+R) - (x+3)(x+a)$

$\therefore , f(x) = (x+3)(x+a+R), g(x) = (x+3)(x+a) \quad \cdots \quad ①$

이라고 $f(x) - g(x) = (x+3)R$ 식의 구조만 보고도 바로 $f(x)$와 $g(x)$ 식을 세울 수 있게 되는 것입니다.

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