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공통수학 1 개념

공통수학 1 - 1 - 10. 항등식과 나머지 정리 - 확인체크, 연습문제 풀이

by 단디 티쳐 2025. 1. 19.
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1단원 -2. 항등식과 나머지 정리 확인체크 / 연습문제 풀이 

이번 글에서는 항등식과 나머지 정리를 중심으로, 다항식 나눗셈과 항등식 문제를 조립제법, 계수비교법, 수치대입법으로 풀이하는 방법을 다룹니다. 개념원리 교재의 확인체크와 연습문제 풀이를 통해 실전에서 활용할 수 있는 빠르고 정확한 풀이법을 익혀보세요.

 

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1. 확인체크 주요 문제 풀이 

개념원리 공통수학 1 : 38p ~ 44p

설명할 문제 : 개념원리 41p 확인체크 64, 66번, 개념원리 44p 확인체크 72번


개념원리 41p 확인체크 64

해당되는 계수만 구해서 몫을 구하는 방법에 대한 이미지

최고차항이 만들어지는 조합 , 상수항이 만들어지는 조합을 구하고 3x2이 만들어지는 항을 구하여 바로 a,b,c의 값을 구해주도록 합시다!

a=1,b=3,c=2


개념원리 41p 확인체크 66

(x+1)(x22)f(x)=x4+ax2b

x=1 대입 : 0=1+ab

x2=2 대입 : 0=4+2ab

연립하면 a=3,b=2

a+b=5

 

이 문제를 언급한 이유는, 우변이 x2에 대한 식이기 때문에 반드시 x의 값을 대입할 필요 없이, x2의 값을 한 번에 대입하는 아이디어와 사고 방식을 익히기 위함입니다. 


개념원리 44p 확인체크 72번

조립제법을 연달아 하는 풀이를 바로 써줍니다. 원리도 꼭 아셔야 해요.

이전글의 개념원리 44p 발전예제 04 설명을 참고하도록 합시다.

조립제법을 연달아 하는 과정

 

abcd=14


2. 확인체크 주요 문제 풀이 

개념원리 공통수학 1 : 45p ~ 46p

설명할 문제 : 개념원리 45p 73번, 74번, 77번, 78번 /개념원리 46p 79번, 80번, 82번, 84번


개념원리 45p 연습문제 73번

x2x2=a(xb)2+c(xb) x에 대한 항등식

크게 두가지 풀이 방법으로 풀어주도록 할께요. 

 

풀이 1) 항등식의 미정 계수 풀이법 - 수치대입법 이용

(xb)가 반복되므로 x=b 대입

b2b2=0, (b2)(b+1)=0, b=2 또는 b=1
b>0 이므로 b=2

 

풀이 2 :) 식의 꼴을 이용

식의 꼴을 보고 b의 후보를 찾는 이미지

 

(xb)(x2)이거나 (x+1)

b>0 이므로 b=2


답은 이미 나왔지만 그래도 다른 미지수 a,c의 값을 구해보면,

(x2) (x+1) =(x2) (a(x2)+c)

항등식이므로 좌변과 우변의 식이 같기 위해서는 

x+1=a(x2)+c

x+1=ax2a+c

a=1, 2+c=1, c=3

 

또는 지난시간에 배운 조립제법과 내림차순 꼴의 항등식 파트를 이용해서 해석하면

x2x2= a (x2)2+ c (x2)+ 0

(x2)가 내림차순꼴로 반복되어있으므로 조립제법을 연달아 해주면

조립제법을 연달아 하여 각 항의 계수를 찾는 이미지

a=1, c=3 이라는 결론이 나옵니다.

a=1,b=2,c=3


개념원리 45p 연습문제 74번

P(x)는 모르는 애니까 모르는 식을 제거해주는 풀이를 해보도록 하겠습니다.

 

(x+1)(x1)이 0되는 x1,1을 대입

  • x=1 대입 시:
    0=0P(1)a+ba+b=0
  • x=1 대입 시:
    6=0P(1)+a+ba+b=6
  • 미지수 a,b 2개, 식 2개이므로 연립해주면 a=3, b=3입니다.

P(0)의 값은?

P(x)x자리에 0이 들어갔으므로 식에 x=0을 대입해 줍니다.

 

x(x+1)(x+2)=(x+1)(x1)P(x)+3x+3

  • x=0 대입 시:
  • 0=P(0)+3
  • P(0)=3

개념원리 45p 연습문제 77번

주어진 식을 보면, P1(x),P2(x),P3(x)가 등장하므로 이 식을 먼저 써주도록 합시다. 

Pn(x)=(x1)(x2)(xn)으로 Pn(x)의 경우 (x1)부터 (xn)까지 곱

  • P1(x)=(x1)
  • P2(x)=(x1)(x2)
  • P3(x)=(x1)(x2)(x3)  

최종 식 : (2x3)3=a+b(x1)+c(x1)(x2)+d(x1)(x2)(x3)

 

반복되는 꼴이 있으므로 수치대입법을 이용해 주는데, 미지수 a,b,c,d 4개이므로 식도 4개를 구해줘야 합니다.

즉, 4개의 수를 대입해줘야 합니다.

 

  • x=1 대입 시
    (x1)=0으로 b(x1),c(x1)(x2),d(x1)(x2)(x3) 사라짐
  • 1=aa=1

 

  • x=2 대입 시
    (x2)=0으로 c(x1)(x2),d(x1)(x2)(x3) 사라짐
  • 1=a+bb=2

 

  • x=3 대입 시
    (x3)=0으로 d(x1)(x2)(x3) 사라짐
  • 27=a+2b+2c
  • c=12

 

  • x=0 대입 (아무거나 가능, 미지수 4개 식 4개 필요)
  • 27=ab+2c6d
  • d=8

P(0)=3

ab+cd=(1)(2)+(12)(8)=1


개념원리 45p 연습문제 78번

x에 대한 이차방정식 x2+k(2p3)x(p22)k+q+2=0입니다.

이 이차방정식이 ( 실수 k값에 관계없이 ) 1을 근으로 가진다는 것은

( 실수 k값에 관계없이 ) x=1 대입 시 성립한다고 해석할 수 있겠죠.!!

 

x=1 대입
1+k(2p3)(p22)k+q+2=0  ← 이 식은 실수 k값에 관계없이 성립

k에 대한 내림차순 정리 ()k+()=0

k에 대한 내림차순 정리 꼴

 

p2+2p1=(p1)2=0p=1

3+q=0q=3

 

p+q=2


개념원리 46p 연습문제 79번

일정한 값을 k로 두고 식을 써줍니다. 

4x+ay+bx+y1=k

 

  • 일정한 값 kx,y 값에 관계없이 가진다
  • x,y에 대한 항등식
  • x,y에 대해 내림차순 정리
  • (-----)x+ ( -----)y+ (-----) =0 정리

 

4x+ay+b=k(x+y1)
(4k)x+(ak)y+(b+k)=0

  • 0을 0=0x+0y+0 꼴로 볼 수 있으므로

4k=0,ak=0,b+k=0

k=4,a=4,b=4


다른 풀이 :)

비율관계를 이용해 일정한 값을 구하는 이미지

식을 조금 더 관찰해 보면, "x,y 값에 관계없이 일정한 값"을 가지기 위해서는 모든 계수의 비율이 같아 약분되어 x,y값이 제거되면 x,y에 어느 값을 넣어도 약분되어 제거되기 때문에 일정한 값을 가지게 됩니다

 

주어진 x 계수의 비율이 4배 된 것이므로 y와 상수항도 4배 해주면 a=4,b=4라는 것을 바로 알 수 있습니다. 


개념원리 46p 연습문제 80번

Q(x)는 모르는 애 입니다. 모르는 애를 제거하기 위해서는 x2x+1을 인수분해 하여 0이 되는 값을 대입해 줘야 하지만, 인수분해가 안되기 때문에 Q(x)의 식을 세워 계수비교법 이용해 줍니다.

 

(사차)=(이차)×(이차) 이므로 Q(x)는 이차식이 됩니다.

확인이 쉬운 최고차 계수와 상수항 정도는 맞춰 바로 Q(x)를 세워주면 x2+cx+b 라고 세울 수 있습니다.

 

이후 전개하여 계수비교법을 이용하여 줍니다.

계수비교를 이용해 미지수의 값을 찾는 이미지

다른풀이:)

x4+x3+0x2+ax+b=(x2x+1)Q(x)

계수들로만 생각하여 바로 Q(x)를 구해주셔도 됩니다. 

 

Q(x)를 구하고 나면 필요한 x의 계수와 상수항의 계수만 한번 더 구해주시면 됩니다.

해당되는 항을 뽑아 미지수의 값을 찾는 이미지


 

다른풀이 :) 

직접 나누기를 이용하여 풀어주는 방법도 있습니다. 

참고로 배웠던것을 복습해 보자면, x4,x3,x2의 계수와 나누는 식의 계수가 모두 주어져 있으므로 직접 나누기를 이용하면 Q(x)를 구할 수 있습니다. 바로 이렇게 생각이 어려운 학생이라면 직접나누기를 하면서 어떤 계수들이 몫에 영향을 미치는지 생각하면서 해보도록 합시다!

직접나누기를 이용하여 미지수를 구하는 방법


개념원리 46p 연습문제 82번

자주 나오는 빈출 유형 입니다. 

(3+2x4x2)3=a0+a1x+a2x2+a3x3++a6x6

  • x=1 대입
    1=a0+a1+a2+a3++a6
  • x=1 대입
    27=a0a1+a2a3++a6
추가 참고 :)
x=0 대입  27=a0
최고차 계수 비교 (4x2)3=a6x6 이므로 64=a6

 

두 식을 연립해주면 

짝수 계수와 홀수 계수를 구하는 방법

 

13=a0+a2+a4+a6

 

가끔 $a_2 + a_4 + a_6.a_0$를 확인하지 못하고 답을 적는데 꼭 어떤 값의 합을 묻는지 꼼꼼히 확인하고 풀도록 합시다!!

▶ $a_2 + a_4 + a_6 = (a_0 + a_2 + a_4 + a_6) - (a_0) = ( -13 ) - ( 27 ) = -40$


추가로 a홀수 들의 합을 구하고 싶다면 두식을 빼주시면 됩니다. 

홀수 계수를 구하는 방법


개념원리 45p 연습문제 83번

"모든 실수 x,y,z에 대하여 x,y,z 에 대한 항등식" 입니다.

 

xyz=1x2y3z=0x,y,z 사이의 관계를 나타냅니다.

따라서, 이 관계를 만족하도록 yzx에 대해 표현한 뒤, 이를 주어진 식에 대입하여 x에 대한 내림차순 형태로 정리하면 됩니다.

 

  • x,y 관계 구하기 위해 z 제거 z 계수 맞춰줌
x - y - z = 1과 x - 2y - 3z = 0 두 식을 이용해 x, y 사이의 관계를 구하는 연립
  • x,z 관계 구하기 위해 y 제거 y 계수 맞춰줌  
x - y - z = 1과 x - 2y - 3z = 0두 식을 이용해 x, z 사이의 관계를 구하는 연립

 

(주어진 식 ) = axy+byz+czx=12

ax(2x3)+b(2x3)(x+2)+c(x+2)x=12

2ax23ax2bx2+7bx6bcx2+2cx=12

  • x에 대해 내림차순 정리

(2a2bc)x2+(3a+7b+2c)x+(6b12)=0

  • 0을 0=0x2+0x+0 꼴로 볼 수 있으므로

2a2bc=0, 3a+7b+2c=0, 6b12=0

  • 나온 결과를 연립해주면 

a=6, c=16, b=2

a+b+c=20


개념원리 45p 연습문제 84번

xn(x2+ax+b)=(x3)2Q(x)+3n(x3)

  • x3이 반복되므로, x=3 대입
  • 3n(9+3a+b)=0
  • 3n0 이므로 9+3a+b=0b=3a9

상수항이 미지수 일때 인수분해 하는 방법

 

이를 다시 처음 식에 적용해주고 (x3)을 묶어주면

(x3) xn(x+a+3) =(x3) ((x3)Q(x)+3n)) 입니다.

 

xn(x+a+3)=(x3)Q(x)+3n 이므로

  • x=3 대입

3n(6+a)=3n

  • 좌변과 우변이 같기 위해 

6+a=1a=5

b=3a9b=6

ab=30


다른풀이 :)

인수분해를 이용해도 좋지만, 다음글에서 배울 내용을 미리 이용해서 풀어보자면,

9+3a+b=0를 구하는 과정 까지는 내용이 동일하지만, 해석하는 것이 차이가 있습니다.

 

9+3a+b=0x2+ax+bx=3 대입 시 0이 된다 생각 할 수 있습니다. 

그러면 인수정리에 의해 x2+ax+b(x3)을 인수로 가진다 할 수 있습니다.

즉, xn(x2+ax+b)=(x3)(xb3)최고차와 상수항 맞춰 바로 인수분해 가능

 

xn(x2+ax+b)=(x3)2Q(x)+3n(x3)

 

xn (x3) (xb3)= (x3) ((x3)Q(x)+3n)

 

xn(xb3)=(x3)Q(x)+3n

  • x=3 대입 

3n(3b3)=3n

3b3=1 b=6

(x3)(xb3)=(x3)(x2)

x2+ax+b=(x3)(x2) 인 것이므로 전개해주면 a=5

 

ab=30


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"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."

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