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1단원 -2. 항등식과 나머지 정리 확인체크 / 연습문제 풀이
이번 글에서는 항등식과 나머지 정리를 중심으로, 다항식 나눗셈과 항등식 문제를 조립제법, 계수비교법, 수치대입법으로 풀이하는 방법을 다룹니다. 개념원리 교재의 확인체크와 연습문제 풀이를 통해 실전에서 활용할 수 있는 빠르고 정확한 풀이법을 익혀보세요.
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1. 확인체크 주요 문제 풀이
개념원리 공통수학 1 : 38p ~ 44p
설명할 문제 : 개념원리 41p 확인체크 64, 66번, 개념원리 44p 확인체크 72번
개념원리 41p 확인체크 64

최고차항이 만들어지는 조합 , 상수항이 만들어지는 조합을 구하고 3x2이 만들어지는 항을 구하여 바로 a,b,c의 값을 구해주도록 합시다!
∴a=1,b=3,c=−2
개념원리 41p 확인체크 66
(x+1)(x2−2)f(x)=x4+ax2−b
x=−1 대입 : 0=1+a−b
x2=2 대입 : 0=4+2a−b
연립하면 a=−3,b=−2
∴a+b=−5
이 문제를 언급한 이유는, 우변이 x2에 대한 식이기 때문에 반드시 x의 값을 대입할 필요 없이, x2의 값을 한 번에 대입하는 아이디어와 사고 방식을 익히기 위함입니다.
개념원리 44p 확인체크 72번
조립제법을 연달아 하는 풀이를 바로 써줍니다. 원리도 꼭 아셔야 해요.
이전글의 개념원리 44p 발전예제 04 설명을 참고하도록 합시다.

∴abcd=14
2. 확인체크 주요 문제 풀이
개념원리 공통수학 1 : 45p ~ 46p
설명할 문제 : 개념원리 45p 73번, 74번, 77번, 78번 /개념원리 46p 79번, 80번, 82번, 84번
개념원리 45p 연습문제 73번
x2−x−2=a(x−b)2+c(x−b) x에 대한 항등식
크게 두가지 풀이 방법으로 풀어주도록 할께요.
풀이 1) 항등식의 미정 계수 풀이법 - 수치대입법 이용
(x−b)가 반복되므로 x=b 대입
b2−b−2=0, (b−2)(b+1)=0, b=2 또는 b=−1
→b>0 이므로 ∴b=2
풀이 2 :) 식의 꼴을 이용

(x−b)가 (x−2)이거나 (x+1)
→b>0 이므로 ∴b=2
답은 이미 나왔지만 그래도 다른 미지수 a,c의 값을 구해보면,
(x−2) (x+1) =(x−2) (a(x−2)+c)
항등식이므로 좌변과 우변의 식이 같기 위해서는
x+1=a(x−2)+c
x+1=ax−2a+c
∴a=1, −2+c=1, c=3
또는 지난시간에 배운 조립제법과 내림차순 꼴의 항등식 파트를 이용해서 해석하면
x2−x−2= a (x−2)2+ c (x−2)+ 0
(x−2)가 내림차순꼴로 반복되어있으므로 조립제법을 연달아 해주면

a=1, c=3 이라는 결론이 나옵니다.
∴a=1,b=2,c=3
개념원리 45p 연습문제 74번
P(x)는 모르는 애니까 모르는 식을 제거해주는 풀이를 해보도록 하겠습니다.
(x+1)(x−1)이 0되는 x값 −1,1을 대입
- x=−1 대입 시:
0=0⋅P(−1)−a+b∴−a+b=0 - x=1 대입 시:
6=0⋅P(1)+a+b∴a+b=6 - 미지수 a,b 2개, 식 2개이므로 연립해주면 a=3, b=3입니다.
P(0)의 값은?
P(x)의 x자리에 0이 들어갔으므로 식에 x=0을 대입해 줍니다.
x(x+1)(x+2)=(x+1)(x−1)P(x)+3x+3
- x=0 대입 시:
- 0=−P(0)+3
- ∴P(0)=3
개념원리 45p 연습문제 77번
주어진 식을 보면, P1(x),P2(x),P3(x)가 등장하므로 이 식을 먼저 써주도록 합시다.
Pn(x)=(x−1)(x−2)⋯(x−n)으로 Pn(x)의 경우 (x−1)부터 (x−n)까지 곱
- P1(x)=(x−1)
- P2(x)=(x−1)(x−2)
- P3(x)=(x−1)(x−2)(x−3)
최종 식 : (2x−3)3=a+b(x−1)+c(x−1)(x−2)+d(x−1)(x−2)(x−3)
반복되는 꼴이 있으므로 수치대입법을 이용해 주는데, 미지수 a,b,c,d 4개이므로 식도 4개를 구해줘야 합니다.
즉, 4개의 수를 대입해줘야 합니다.
- x=1 대입 시
(x−1)=0으로 b(x−1),c(x−1)(x−2),d(x−1)(x−2)(x−3) 사라짐 - −1=a∴a=−1
- x=2 대입 시
(x−2)=0으로 c(x−1)(x−2),d(x−1)(x−2)(x−3) 사라짐 - 1=a+b∴b=2
- x=3 대입 시
(x−3)=0으로 d(x−1)(x−2)(x−3) 사라짐 - 27=a+2b+2c
- ∴c=12
- x=0 대입 (아무거나 가능, 미지수 4개 식 4개 필요)
- −27=a−b+2c−6d
- ∴d=8
∴P(0)=3
a−b+c−d=(−1)−(2)+(12)−(8)=1
개념원리 45p 연습문제 78번
x에 대한 이차방정식 x2+k(2p−3)x−(p2−2)k+q+2=0입니다.
이 이차방정식이 ( 실수 k값에 관계없이 ) 1을 근으로 가진다는 것은
( 실수 k값에 관계없이 ) x=1 대입 시 성립한다고 해석할 수 있겠죠.!!
x=1 대입
1+k(2p−3)−(p2−2)k+q+2=0 ← 이 식은 실수 k값에 관계없이 성립
k에 대한 내림차순 정리 →()k+()=0꼴

−p2+2p−1=−(p−1)2=0∴p=1
3+q=0∴q=−3
∴p+q=−2
개념원리 46p 연습문제 79번
일정한 값을 k로 두고 식을 써줍니다.
4x+ay+bx+y−1=k
- 일정한 값 k를 x,y 값에 관계없이 가진다
- ⇒x,y에 대한 항등식
- ⇒x,y에 대해 내림차순 정리
- (-----)x+ ( -----)y+ (-----) =0 정리
4x+ay+b=k(x+y−1)
⇒(4−k)x+(a−k)y+(b+k)=0
- 0을 0=0⋅x+0⋅y+0 꼴로 볼 수 있으므로
4−k=0,a−k=0,b+k=0
∴k=4,a=4,b=−4
다른 풀이 :)

식을 조금 더 관찰해 보면, "x,y 값에 관계없이 일정한 값"을 가지기 위해서는 모든 계수의 비율이 같아 약분되어 x,y값이 제거되면 x,y에 어느 값을 넣어도 약분되어 제거되기 때문에 일정한 값을 가지게 됩니다.
주어진 x 계수의 비율이 4배 된 것이므로 y와 상수항도 4배 해주면 a=4,b=−4라는 것을 바로 알 수 있습니다.
개념원리 46p 연습문제 80번
Q(x)는 모르는 애 입니다. 모르는 애를 제거하기 위해서는 x2−x+1을 인수분해 하여 0이 되는 값을 대입해 줘야 하지만, 인수분해가 안되기 때문에 Q(x)의 식을 세워 계수비교법 이용해 줍니다.
(사차)=(이차)×(이차) 이므로 Q(x)는 이차식이 됩니다.
확인이 쉬운 최고차 계수와 상수항 정도는 맞춰 바로 Q(x)를 세워주면 x2+cx+b 라고 세울 수 있습니다.
이후 전개하여 계수비교법을 이용하여 줍니다.

다른풀이:)
x4+x3+0⋅x2+ax+b=(x2−x+1)Q(x)
계수들로만 생각하여 바로 Q(x)를 구해주셔도 됩니다.
Q(x)를 구하고 나면 필요한 x의 계수와 상수항의 계수만 한번 더 구해주시면 됩니다.

다른풀이 :)
직접 나누기를 이용하여 풀어주는 방법도 있습니다.
참고로 배웠던것을 복습해 보자면, x4,x3,x2의 계수와 나누는 식의 계수가 모두 주어져 있으므로 직접 나누기를 이용하면 Q(x)를 구할 수 있습니다. 바로 이렇게 생각이 어려운 학생이라면 직접나누기를 하면서 어떤 계수들이 몫에 영향을 미치는지 생각하면서 해보도록 합시다!

개념원리 46p 연습문제 82번
자주 나오는 빈출 유형 입니다.
(3+2x−4x2)3=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a6x6
- x=1 대입
1=a0+a1+a2+a3+⋯+a6 - x=−1 대입
−27=a0−a1+a2−a3+⋯+a6
추가 참고 :)
x=0 대입 27=a0
최고차 계수 비교 (−4x2)3=a6x6 이므로 −64=a6
두 식을 연립해주면

∴−13=a0+a2+a4+a6
가끔 $a_2 + a_4 + a_6를묻는경우도있습니다.습관적으로문제풀이를하다가a_0$를 확인하지 못하고 답을 적는데 꼭 어떤 값의 합을 묻는지 꼼꼼히 확인하고 풀도록 합시다!!
▶ $a_2 + a_4 + a_6 = (a_0 + a_2 + a_4 + a_6) - (a_0) = ( -13 ) - ( 27 ) = -40$
추가로 a홀수 들의 합을 구하고 싶다면 두식을 빼주시면 됩니다.

개념원리 45p 연습문제 83번
"모든 실수 x,y,z에 대하여 → x,y,z 에 대한 항등식" 입니다.
x−y−z=1과 x−2y−3z=0은 x,y,z 사이의 관계를 나타냅니다.
따라서, 이 관계를 만족하도록 y와 z를 x에 대해 표현한 뒤, 이를 주어진 식에 대입하여 x에 대한 내림차순 형태로 정리하면 됩니다.
- x,y 관계 구하기 위해 z 제거 →z 계수 맞춰줌

- x,z 관계 구하기 위해 y 제거 →y 계수 맞춰줌

(주어진 식 ) = axy+byz+czx=12
ax(2x−3)+b(2x−3)(−x+2)+c(−x+2)x=12
2ax2−3ax−2bx2+7bx−6b−cx2+2cx=12
- x에 대해 내림차순 정리
(2a−2b−c)x2+(−3a+7b+2c)x+(−6b−12)=0
- 0을 0=0⋅x2+0⋅x+0 꼴로 볼 수 있으므로
2a−2b−c=0, −3a+7b+2c=0, −6b−12=0
- 나온 결과를 연립해주면
a=6, c=16, b=−2
∴a+b+c=20
개념원리 45p 연습문제 84번
xn(x2+ax+b)=(x−3)2Q(x)+3n(x−3)
- x−3이 반복되므로, x=3 대입
- →3n(9+3a+b)=0
- 3n≠0 이므로 9+3a+b=0 → b=−3a−9

이를 다시 처음 식에 적용해주고 (x−3)을 묶어주면
(x−3) xn(x+a+3) =(x−3) ((x−3)Q(x)+3n)) 입니다.
xn(x+a+3)=(x−3)Q(x)+3n 이므로
- x=3 대입
3n(6+a)=3n
- 좌변과 우변이 같기 위해
6+a=1∴a=−5
b=−3a−9∴b=6
∴ab=−30
다른풀이 :)
인수분해를 이용해도 좋지만, 다음글에서 배울 내용을 미리 이용해서 풀어보자면,
9+3a+b=0를 구하는 과정 까지는 내용이 동일하지만, 해석하는 것이 차이가 있습니다.
9+3a+b=0을 x2+ax+b 에 x=3 대입 시 0이 된다 생각 할 수 있습니다.
그러면 인수정리에 의해 x2+ax+b가 (x−3)을 인수로 가진다 할 수 있습니다.
즉, xn(x2+ax+b)=(x−3)(x−b3) 로 최고차와 상수항 맞춰 바로 인수분해 가능
xn(x2+ax+b)=(x−3)2Q(x)+3n(x−3)
xn (x−3) (x−b3)= (x−3) ((x−3)Q(x)+3n)
xn(x−b3)=(x−3)Q(x)+3n
- x=3 대입
3n(3−b3)=3n
∴3−b3=1⟹ b=6
⇒(x−3)(x−b3)=(x−3)(x−2)
x2+ax+b=(x−3)(x−2) 인 것이므로 전개해주면 a=−5
∴ab=−30
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