공통수학 1 -1 - 4. 다항식의 연산 - 곱셈 공식의 변형

1단원-1. 다항식의 연산 - 곱셈 공식의 변형

수학에서 곱셈 공식은 다항식을 빠르고 효율적으로 전개하는 데 필수적인 도구입니다. 이번 글에서는 곱셈 공식의 변형과 활용을 다룰 예정입니다. 주어진 문제를 빠르게 해결하기 위해 기존의 공식을 어떻게 응용하고 변형 할 수 있는지, 이 파트는 공식을 단순 암기하셔도 좋지만 구조를 이해하고 증명 과정을 따라가는 학습법을 통해 보다 깊이 있는 학습을 해보세요! 

 

개념원리 공통수학 1 : 22p ~ 26p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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1-1. 곱셈 공식의 변형 

곱셈 공식의 변형은 기존 공식을 이항하여 정리한 식입니다. 자주 등장하기 때문에 빠르게 풀기 위해 공식을 외우기 편한 형태로 변형하여 사용합니다. 암기를 싫어하는 저는 어떻게 외웠는지도 같이 설명해 드릴께요! 이건 저만의 방법이고 처음 곱셈공식의 변형을 접하는 학생들에게 조금이나마 도움이 되었으면 하여 작성합니다. 그냥 외울래~ 하는 학생들은 스킵하시고 예제문제 풀이만 봐주셔도 괜찮습니다. ^^

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(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab$
(2) $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$, $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$

추가)
$a= x , b= \frac{1}{x} $ ,  $a \cdot b = x \cdot \frac{1}{x} = 1$
(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 $
(2) $(x - \frac{1}{x^2})^2 = (x + \frac{1}{x^2})^2 - 4$, $(x + \frac{1}{x^2})^2 = (x - \frac{1}{x^2})^2 + 4ab$

증명 :  

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$에서 $2ab$를 이항하면 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$에서 $2ab$를 이항하면 $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$

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그냥 단순 암기를 하셔도 좋지만 혹여나 공식 암기를 싫어할 수 있으니 제가 알려드린 방법으로 생각해보는 것도 좋을 것 같습니다. 

• 생각(1) 

a^2 + b^2 = (a + b)^2 + \boxed

 

$(a + b)^2 $를 전개하면 $a^2 + b^2 + 2ab$입니다. 좌변의 $a^2 + b^2 $과 같아지기 위해 $+ 2ab$를 제거해줘야 합니다. 즉,  $ -2ab $가 네모박스에 들어가야 합니다. 

 

이런식으로 $(a + b)^2 $를 순간적으로 전개하여 =(등호) 성립을 위해 좌변과 우변을 같게 만들어 주는 것입니다. 

 

(a - b)^2 = (a + b)^2 + \boxed

$(a - b)^2 $를 전개하면 $ a^2 + b^2 - 2ab$, $(a + b)^2 $를 전개하면 $a^2 + b^2 + 2ab$입니다.

좌변과 같아지기 위해 네모박스에 $ - 4ab$가 들어가면 됩니다. 

 

저도 이방법으로 이용해 주는데, 익숙해지니까 전개한 식을 굳이 쓰지 않아도 딱 떠오르면서 바로바로 쓸 수 있더라구요. 하지만 연습을 좀 했는데도 전개한 식이 바로바로 떠오르지 않는다면 아래의 생각(2) 방법으로도 한번 해보세요! 공식 암기가 계속 안되는 학생들한테 설명해주는 방법인데 나름 효과가 있었습니다.

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• 생각(2) 

곱셈공식 구조 이미지화

 

각 식은 $ 2ab$ 만큼 차이가 나기 때문에 이렇게 한칸에  $ 2ab$ 차이가 나는 계단을 생각해 주는 것입니다. 

 

• $a^2 + b^2 = (a + b)^2 + \boxed{\phantom{xxx}}  $
• 좌변의 $a^2 + b^2$이 되기 위해 $(a + b)^2$ 상태에서 한 칸 내려와 줘야 하므로 네모는 $-2ab$.

 

• $(a - b)^2 = (a + b)^2 + \boxed{\phantom{xxxx}}$
• 좌변의 $(a - b)^2$ 상태가 되기 위해 $(a + b)^2$ 상태에서 두 칸 내려와 줘야 하므로 네모는 $-4ab$.

 

• $(a + b)^2 = (a - b)^2 + \boxed{\phantom{xxxx}}$
• 좌변의 $(a + b)^2$ 상태가 되기 위해 $(a - b)^2$ 상태에서 두 칸 올라가 줘야 하므로 네모는 $+4ab$.

 

이런식으로 박스와 없는 항을 목표상태, 박스와 있는 항을 현재상태에서 $\boxed{\text{어떤 행동?}}$ 이라고 해석해주시면 됩니다.

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(3) $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
     $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$

추가:)
$a= x , b= \frac{1}{x} $ ,  $a \cdot b = x \cdot \frac{1}{x} = 1$
$ x^3 + \frac{1}{x^3} = ( x + \frac{1}{x} )^3 - 3( x + \frac{1}{x} ) $
$ x^3 - \frac{1}{x^3} = ( x - \frac{1}{x} )^3 + 3( x - \frac{1}{x} )  $

 

증명:

 $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$에서 $3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b) $를 이항하면

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$에서 $ -3a^2b + 3ab^2 = -3ab(a - b) $를 이항하면 

$a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$

 

• $a^3 + b^3$ 중간의 부호가 + 인경우, $ (a + b) $가 반복되고 $ 3ab$ 앞의 부호는 음수 
• $a^3 - b^3$ 중간의 부호가 - 인경우, $ (a - b) $가 반복되고 $ 3ab$ 앞의 부호는 양수

무작정 외워주기보다 이렇게 구조를 보면서 외워줍시다!

 

a^2-b^2=(a-b)(a+b) 인데 (a-b)^2으로 많이 생각

 

세제곱에서는 부호가 반영되므로, $a^3 - b^3$의 경우 바로 $(a-b)^3$으로 생각해줄 수 있겠죠 ?!

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(4) $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$

증명 : 

 $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$에서 $2ab + 2bc + 2ca$를 이항하면

$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$

 

(1)번 공식인 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab $를 보면, 제곱이 2개일때와 3개일때 형태가 비슷해보이는것을 알 수 있습니다.

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab 과 a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) 구조 비교

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(5) $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$
     $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = \frac{1}{2} \left( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 \right)$

 

증명 : 

이 공식은 매우 중요합니다. 시험에서 정말 많이 출제되니 증명과정을 따라 써가며 익숙해지도록 합시다. 

 

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca $

$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

• $ \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $ 이기 때문에 등호가 성립합니다. 

$= \frac{1}{2} \cdot (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca)$

• 괄호안에 $a^2$이 2개,  $b^2$이 2개,  $c^2$이 2개,  $- 2ab$, $- 2bc$, $- 2ca$가 있게 됩니다. 

$= \frac{1}{2} \cdot ($ $a^2 - 2ab + b^2$  $+$ $b^2 - 2bc + c^2$ $+$ $c^2 - 2ca + a^2$ $)$

$= \frac{1}{2} \cdot $ $ \left( \right. $ $(a - b)^2$ $+$ $(b - c)^2$ $+$ $(c - a)^2$ $ \left. \right) $

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$a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca $

$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)$

• $ \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $ 이기 때문에 등호가 성립합니다. 

$= \frac{1}{2} \cdot (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca)$

• 괄호안에 $a^2$이 2개,  $b^2$이 2개,  $c^2$이 2개,  $+ 2ab$, $+ 2bc$, $+ 2ca$가 있게 됩니다. 

$= \frac{1}{2} \cdot ($ $a^2 + 2ab + b^2$  $+$ $b^2 + 2bc + c^2$ $+$ $c^2 + 2ca + a^2$ $)$

$= \frac{1}{2} \cdot $ $ \left( \right. $ $(a + b)^2$ $+$ $(b + c)^2$ $+$ $(c + a)^2$ $ \left. \right) $

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(6) $ a^3 + b^3 + c^3 =(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc $

증명 : 

곱셈공식의 (9)번 공식 $ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 에서 $ - 3abc$를 이항하면

$ a^3 + b^3 + c^3 =(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc $

 

여기서, 우변의 괄호안  $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca $는 바로 위의 (5)에서 봤던 공식입니다.

같이 적용해보면,

$ a^3 + b^3 + c^3 $

$=(a + b + c)$ $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ $+ 3abc $

$=$ $(a + b + c)$ $\frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$ $+ 3abc $

또는,

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = $ $\frac{1}{2}$ $(a + b + c)$ $\left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

이렇게 정리할 수 있습니다.

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1-2. 예제문제

이렇게 곱셈 공식의 변형에 대한 개념은 마쳤고 예제문제를 풀면서 정리해보도록 할께요. 곱셈공식 변형 파트에서는 주로 구하고자 하는 것과 주어진 조건이 무엇인지 판단하고 기본 공식을 적어가며 연습하는데 초점을 맞춰주세요!

 

설명할 문제 : 개념원리 24p 필수예제 07, 개념원리 24p 필수예제 08, 개념원리 25p 필수예제 09, 개념원리 25p 필수예제 10, 개념원리 26p 필수예제 11

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개념원리 24p 필수예제 07

주어진 조건:$x + y = 2$, $x^3 + y^3 = 14$

 

구하고자 하는 것: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$  <- 공식(1) 이용

여기서 $(x + y)$의 값은 주어져 있고, $xy$는 주어진 식으로 구해야 합니다. 

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$  <- 공식(3) 이용
$14 = 2^3 - 3xy(2)$
$6 = -6xy$
$\therefore xy = -1$

 

구하고자 하는 것 :

$x^2 + y^2$

$= (x + y)^2 - 2xy$

$ = 2^2 - 2(-1)$

$= 4 + 2$
$= 6$

 

$\therefore x^2+y^2 = 6$

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개념원리 24p 필수예제 08

(1)번 문제

주어진 조건 : $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ , $x \cdot \frac{1}{x} = 1$, x>0 

역수 관계가 나오면 $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ $ 조건도 주어진 거나 다름 없습니다. 꼭 기억하기!

 

구하고자 하는 것 : $x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3$ $x \cdot \frac{1}{x} $  $\left( x + \frac{1}{x} \right)$

$\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 의 값을 알아야 답을 구할 수 있습니다. 주어진 식을 이용해 $\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 구해봅시다.

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$ $x \cdot \frac{1}{x} $
$ 3= \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$
$ 5= \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 $
$ \left( x + \frac{1}{x} \right) = \pm \sqrt{5}$
$ x>0 $ 이므로
$ \left( x + \frac{1}{x} \right) = + \sqrt{5}$

많이하는 실수 - $x^2 = A $ $\therefore \quad x = \pm \sqrt{A}$

최종 계산:
$x^3 + \frac{1}{x^3} $

$= \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right)$
$= 5\sqrt{5} - 3(1)(\sqrt{5})$
$= 2\sqrt{5}$

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(2)번 문제

주어진 조건 : $x^2 - 3x + 1 = 0$

• 구하고자 하는 것 : $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$ $\left( x + \frac{1}{x} \right)$
• 역수 관계가 나온 경우 곱은 1이다. 즉, $\left( x + \frac{1}{x} \right)=1$
• $\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 의 값을 알아야함

$\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 의 값을 구하기 위해
문제의 주어진 조건 $x^2 - 3x + 1 = 0$ 에서 양변을 $ x $로 나눠 주면 $x -3 + \frac{1}{x} = 0$
즉, $x + \frac{1}{x} = 3$

 

$x^2 + \frac{1}{x^2} $

$= \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$

$= 9 - 2$
$= 7$

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개념원리 25p 필수예제 09

주어진 식을 전개해보면, 

$= (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$
$= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)$

구해야하는 것은 $ a^2 + b^2 + c^2 $ , 문제에서 주어진 것은 $ ab + bc + ca $ 입니다.

$ a^2 + b^2 + c^2 $
$ = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ca) $
$ = 64-2(17) $
$ = 30 $

 

다시 이어가보면, 

$= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)$

$ = 2(30)-2(17) $

$ = 60 - 34 $

$ = 26 $

 

이렇게 처음부터 전개를 해서 구할 수도 있지만, 공식 (5)를 이용하여 구할 수도 있습니다. 

추가 풀이 :)

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

• 양변에 2를 곱해주면 

$2((a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ca)) = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

• $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$ 공식 이용

$2((a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)) = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

$2(8^2 - 3(17)) = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

$26 = \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

이 식을 바로 이용하여 계산을 진행할 수 있습니다.

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개념원리 25p 필수예제 10

(1)번 문제

공식 (5)를 사용하는 문제입니다. 공식을 바로 적용해줍시다.

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

인데, $a-b=4-\sqrt{2} , b-c=4+\sqrt{2}$ 의 값은 주어져 있고, $ c-a $ 의 값은 구해줘야 합니다. 

$ (a-b)+(b-c) = a-c $
$ (4-\sqrt{2}) + (4+\sqrt{2}) = a-c $
$ 8 = a-c $
$\therefore c-a = -8 $

 

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca $

$= \frac{1}{2} \left( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( (4-\sqrt{2})^2 + (4+\sqrt{2})^2 + (-8)^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 16 - 8\sqrt{2} + 2 + 16 + 8\sqrt{2} + 2 + 64 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 100 \right) = 50$

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(2)번 문제

$ a^3+b^3+c^3 $ 을 포함하는 공식은 공식 (6)번 $ a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$ 입니다.

 

구하고자 하는 것 : $ a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$

$a+b+c=2, , a^2 + b^2 + c^2=6, , abc=-2$ 는 주어져 있으므로 이 조건을 이용하여 $ ab+bc+ca $만 추가로 구해주면 됩니다. 

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$
$2^2 = 6 + 2(ab+bc+ca) $
$-2 =  2(ab+bc+ca) $
$\therefore , ab+bc+ca = -1$

 

다시 구하고자 하는 식을 가져와 계산해주면, 

$a^3 + b^3 + c^3$

$= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$

$= 2 \times (6 - (-1)) + 3 \times (-2)$

$= 2 \times 7 - 6 = 8$

$\therefore , a^3 + b^3 + c^3 = 8$

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개념원리 26p 필수예제 11

< 직육면체 대각선길이 공식 증명 >

직육면체에서 가로길이 $=a$, 세로길이 $=b$, 높이 $=c$라 하면,

밑면 □$EFGH$를 보면, 피타고라스 정리에 의해

 

밑면 $EFGH$와 선분 $BF$는 직각 관계이므로, $\triangle BFH$는 직각삼각형이 됩니다.

즉, 직육면체에서 대각선의 길이는 $ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ 입니다. 

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이제 문제 풀이를 시작해 보겠습니다. 문제를 읽으면서 바로바로 식으로 정리 해 줍시다. 

• 겉넓이가 90이고 -> $2(ab+bc+ca) = 90$ -> $\therefore (ab+bc+ca) = 45$
• 모든 모서리 길이의 합이 48일 때 -> $4(a+b+c) = 48$ -> $\therefore a+b+c = 12$
• 이 상자의 대각선 길이는? -> $ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ = ?

즉, 정리해보자면 

주어진 조건: $ (ab+bc+ca) = 45$, $ a+b+c = 12$
구해야 하는 것: $ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$
$= (12)^2 - 90$
$= 144 - 90$
$= 54$

 

이므로 

$\therefore , \text{직육면체 대각선 길이}$
$= \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

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1-4. 추가자료

개념 정리 자료 ( 한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지 테스트를 해보도록 합시다. 

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 22p~26p) 백지테스트.hwp

0.02MB

1단원-1. 다항식의 연산 (개념원리 공통수학1 22p~26p) 백지테스트.pdf

0.14MB

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."