공통수학 1 - 2 - 11. 절댓값 기호를 포함한 방정식

2단원-2. 이차방정식

이차방정식 개념과 문제 풀이법(인수분해, 근의 공식, 완전제곱식)을 한눈에 정리했습니다. 절댓값이 포함된 방정식 풀이법도 쉽게 설명하며, 개념원리 공통수학1(109p) 필수예제까지 풀이합니다. 실전 대비 문제 해결력을 키울 수 있는 핵심 개념 정리와 PDF 자료도 제공하니, 이차방정식을 빠르게 마스터하세요!

 

개념원리 공통수학1 : 109p

 

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1. 절댓값 기호를 포함한 방정식 

절댓값 내용은 앞서 한번 설명했던 적이 있습니다. (절댓값 설명 링크 걸기 ) 

• 절댓값 안이 양수이거나 0인 경우 : 그대로 나옴 / 절댓값기호 괄호로
• 절댓값 안이 음수인 경우 : - 붙혀서 나옴 / 절댓값 기호 괄호로, 앞의 부호 바꾸기 

절댓값 기호가 포함된 방정식 (그리고 부등식)의 경우

절댓값 안의 식이 양수이거나 0 , 음수인 경우 ( 기준 : 절댓값 안의 식 =0 일때)로 나눠서 풀이를 해주셔야 합니다. 

 

두가지 형태(식으로 풀기, 수직선으로 풀기)로 문제를 풀어보도록 할껀데, 모두 알아두셔야 합니다! 😃

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개념원리 109p 필수예제 04 (1)

풀이1 ) 식적으로 풀기

절댓값 안의 식이 $x$이므로 $x \geq 0$ 인 경우와 $x < 0$ 인 경우로 나눠줌

 

$x \geq 0$ 인 경우

• $x^2 + 2$ ( $x$ ) $- 5 = 0$
• 인수분해 안되므로 근의 공식 이용
  $x = -1 \pm \sqrt{6}$
• $x \geq 0$ 경우만 생각하는 것이므로 $\therefore x = -1 + \sqrt{6}$
• 참고 :) $2 < \sqrt{6} < 3, , 1 < -1+\sqrt{6} < 2$ 이므로 양수

$x < 0$ 인 경우

• $x^2$ - $2$ ($x$) $- 5 = 0$
• 인수분해 안되므로 근의 공식 이용
  $x = 1 \pm \sqrt{6}$
• $x < 0$ 경우만 생각하는 것이므로 $\therefore x = 1 - \sqrt{6}$

$x \geq 0$ 인 경우의 해는 $-1 + \sqrt{6}$이고, $x < 0$ 인 경우의 해는 $1 - \sqrt{6}$ 입니다. 

최종해는 $-1 + \sqrt{6}$, $1 - \sqrt{6}$

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풀이2) 수직선으로 풀기 

 

어짜피 풀이 1의 과정과 같은 풀이 입니다.

하지만 이러한 형태로 문제를 푸는 것이 절댓값이 2개 이상의 방정식 또는 부등식인 유형에서 엄청난 장점을 가지게 됩니다.

일단, 이문제는 절댓값이 1개이지만, 천천히 과정을 따라 해보며 어떻게 푸는지를 먼저 익혀보도록 합시다. 

 

1. (절댓값 안의 식)=0 되는 값 기준 수직선 범위 나눔 ($x=0$ 기준 범위 나눔)

2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다. 

 

3. 이후 각각의 해를 구해줌. - 인수분해가 안되므로 근의 공식 사용 ❗

4. 수직선 범위(처음 $x$ 범위)에 맞는 해만 걸러줌 

 

5. 최종해를 써준다. ( 실수전체 집합에서 가능한 $x$ 값 )

 

3번, 4번 과정은 한번에 하셔도 되지만 여기서 포인트는 " 2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다. " 입니다. 

먼저 식을 다 써두고 해를 구하도록 합시다.

그러면 식을 쓸때마다 범위를 생각하는 과정이 생략되면서 속도가 매우 빨라질꺼에요!

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개념원리 109p 필수예제 04 (2)

풀이1 ) 식적으로 풀기

절댓값 안의 식이 $x-1$이므로 $x-1 \geq 0$ 인 경우와 $x-1 < 0$ 인 경우로 나눠줌

 

$x-1 \geq 0$ ( $x \geq 1$) 인 경우

• $x^2 - 3x =$ ( $x-1$ ) $- 2$,
  $x^2 - 4x + 3 = 0$
  $(x-1)(x-3) = 0$
• $x = 1$ 또는 $x = 3$
• $x \geq 1$ 경우만 생각하는 것이므로 $\therefore x = 1, x = 3$

$x-1 < 0$ ($x < 1$) 인 경우

• $x^2 - 3x =$ -($x-1$) $- 2$,
• $x^2 - 2x + 1 = 0$
  $(x-1)^2 = 0$
• $x = 1$ (중근)
• $x < 1$ 경우만 생각하는 것이므로 해당되는 해가 없다.

$x \geq 1$인 경우의 해는 $ x = 1, x = 3$ 이고, $x < 1$ 인 경우의 해는 없으므로 

최종해는 $x = 1, x = 3$

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풀이2) 수직선으로 풀기 

 

1. (절댓값 안의 식)=0 되는 값 기준 수직선 범위 나눔 ($x=1$ 기준 범위 나눔)

2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다. 

 

3. 이후 각각의 해를 구해줌.

 

4. 수직선 범위(처음 $x$ 범위)에 맞는 해만 걸러줌 

 

5. 최종해를 써준다. ( 실수전체 집합에서 가능한 $x$ 값 )

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개념원리 109p 확인체크 216

두가지 풀이를 간단한 예제로 연습했으니 이제는 절댓값이 2개인 식을 풀어보도록 할께요. 

$\sqrt{A^2} = |A|$ 이므로 $\sqrt{x^2} = |x|$

$|x-2| + 1 = x^2 - |x|$

 

풀이1 ) 식적으로 풀기

• $|x-2|$는 $x-2 = 0$인 $x = 2$에서 부호변화
• $|x|$는 $x = 0$에서 부호변화

$x$가 $0$과 $2$일 때 각각의 부호가 변화하므로 $x < 0$, $0 \leq x < 2$, $2 \leq x$로 범위를 나눠 줍니다.

 

$x < 0$일 때,

$x - 2 < 0$이므로 $|x-2| = -(x-2)$
$x < 0$이므로 $|x| = -(x)$

• -($x-2$) $+ 1 = x^2$ +($x$)
  $-x + 3 = x^2 + x$
  $x^2 + 2x - 3 = 0$
  $(x-1)(x+3) = 0$
• $x = 1$ 또는 $x = -3$
• $x < 0$이므로 $x = -3$

$0 \leq x < 2$일 때,

$x - 2 < 0$이므로 $|x-2| = -(x-2)$
$ 0 \leq x$이므로 $|x| = (x)$

• -($x-2$) $+ 1 = x^2 -$ ($x$)
  $-x + 3 = x^2 - x$
  $x^2 = 3$
• $x = \pm \sqrt{3}$
  참고: $1 < \sqrt{3} < 2$
• $0 \leq x < 2$ 이므로 $x = \sqrt{3}$

$2 \leq x$ 일 때,

$0 \leq x-2$ 이므로 $|x-2| = (x-2)$
$ 0 \leq x$이므로 $|x| = (x)$

• ($x-2$) $+ 1 = x^2 -$ ($x$)
  $x - 1 = x^2 - x$
  $x^2 -2x +1= 0$
  $(x-1)^2 = 0$
• $x = 1$ (중근)
• $2 \leq x$ 경우만 생각하는 것이므로 해당되는 해가 없다.

$x < 0$인 경우의 해는 $x = -3$이고, $0 \leq x < 2$인 경우의 해는 $x = \sqrt{3}$, $2 \leq x$인 경우 해는 없으므로

최종해는 $x = -3, x = \sqrt{3} $

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풀이2) 수직선으로 풀기 

 

1. (절댓값 안의 식)=0 되는 값 기준 수직선 범위 나눔 ($x=0, x=2$ 기준 범위 나눔)

2. 절댓값을 풀어준 식까지만 다 써준다. 

• $|x-2|$ : 2기준 왼쪽은 $-(x-2)$, 오른쪽은 $(x-2)$

• 나머지 식 써줌

• $|x|$ : 0기준 왼쪽은 $-(x)$, 오른쪽은 $(x)$
• 앞의 마이너스 부호까지 고려하면, 0기준 왼쪽은 $+(x)$, 오른쪽은 $-(x)$

 

3. 이후 각각의 해를 구해줌.

 

4. 수직선 범위(처음 $x$ 범위)에 맞는 해만 걸러줌 

5. 최종해를 써준다. ( 실수전체 집합에서 가능한 $x$ 값 )

 

풀이1 과정에서 처럼 각각의 범위에서 "절댓값 부호 판단 → 식 판단 → 식적기" 를 3번 반복하는 것보다 풀이2 과정처럼 절댓값 부호 판단을 한번만 하고 세 영역의 식을 쭉 적어주는 것이 속도와 정확성에서 둘다 좋습니다. 

 

정리하자면, 

절댓값이 1개인 경우에는 식적으로 풀이, 수직선 풀이 모두 좋지만 절댓값이 2개 이상인 경우에는 수직선 풀이가 훨씬 좋다 정리할 수 있습니다.

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2. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다. 

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 109p) 백지테스트.hwp

0.02MB

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 109p) 백지테스트.pdf

0.14MB

 

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."