공통수학 1 - 2 - 13. 이차방정식의 판별식

2단원 - 2. 이차방정식

이차방정식의 판별식은 근의 개수와 형태를 빠르게 파악하는 데 중요한 역할을 합니다. 특히 중근, 서로 다른 두 실근, 허근을 구별하는 핵심 도구로 활용됩니다. 이번글에서는 판별식의 개념과 이를 활용한 문제 해결 방법을 상세히 설명합니다. 또한, D/4를 이용한 판별식 계산법, 중근을 가지는 방정식 조건, 판별식을 활용한 문제풀이 전략 등을 다루도록 해보겠습니다.

 

개념원리 공통수학 1 : 112p ~ 116p

 

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1. 판별식

판별식을 배우는 이유는 근을 직접 다 구하지 않고도 빠르게 근의 형태를 파악할 수 있다는 장점이 있습니다. 

 

이차방정식 $(a \neq 0)$ $ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근은 근의 공식에 의해

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

 

$b^2 - 4ac$의 값에 따라 근의 형태가 결정되며 이를 판별식이라 하고 $D$라 합니다.

$ D = b^2 - 4ac $

 

아래의 표에서 판별식 $D$의 부호에 따라 근의 형태를 보면,

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이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근 $ x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

• $D = b^2 - 4ac > 0$ → $ \sqrt{b^2 - 4ac} = 0 $이 아닌 실수
  $ x = \frac{-b + \sqrt{\text{양수}}}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b - \sqrt{\text{양수}}}{2a} $ ( 서로 다른 두 실근 )
  
  
• $D = b^2 - 4ac = 0$ → $ \sqrt{b^2 - 4ac} = 0 $
  $ x = \frac{-b}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b}{2a} $ ( 서로 같은 두 실근 (중근))
  
  
• $D = b^2 - 4ac < 0$ →$ \sqrt{b^2 - 4ac} = $ 허수
  $ x = \frac{-b + \sqrt{\text{음수}}}{2a} $ 또는 $ x = \frac{-b - \sqrt{\text{음수}}}{2a} $ ( 서로 다른 두 허근 )
  

이렇게 $ D = b^2 - 4ac $의 부호에 따라 근이 정해지게 됩니다.

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추가로 일차항의 계수가 짝수인 경우 이차방정식 $ ax^2 + 2b'x + c = 0 $ 의 근은 근의공식 

$ x = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2 - ac}}{a} $

 

근호 안의 식인 $ (b')^2 - ac $ 로 근의 형태가 결정되며 일차항의 계수가 짝수인 경우 판별식은 

$ D/4 = (b')^2 - ac $ 

 

이 식을 이용해 주시면 편리 합니다.

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2. 판별식 내용 추가 정리

① 실근/ 서로 다른 두 실근 조건

• 실근을 가지기 위한 조건 : $ D \geq 0 $
• 서로 다른 두 실근을 가지기 위한 조건 : $ D > 0 $

실근을 가지기 위한 조건은 두 실근이 서로 다르든 같든 상관없이, 실근만 존재하면 되므로 $D \geq 0$ 입니다.

하지만 "서로 다른 두 실근을 가진다"는 조건이 주어진 경우에는 두 실근이 달라야 하므로 $D > 0$이 되어야 합니다.

 

② 중근을 가지는 경우

• $ D = b^2 - 4ac = 0$ 이면 중근 가짐
• 완전제곱식 $ k(x - \alpha)^2 = 0$ 이면 ($ x - \alpha $) 중근 가짐

즉, 이차방정식이 중근을 가지는 경우 $D = 0$이고 식은 완전제곱식 형태임을 알 수 있습니다. 

중근 ↔ $D=0$ ↔ 완전제곱식 ↔ $ k(x - \alpha)^2 = 0$꼴

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3. 예제문제

예제 문제를 보며 판별식을 연습해 보도록 하겠습니다. 

개념원리 114p 221번

ㄱ. $x^2 - 2x + 4 = 0$ ← $x$의 계수가 짝수

• 계수: $a = 1$, $b = -2$, $c = 4$ ($b = 2b'$, $b' = -1$)
  $x$의 계수가 짝수이므로 $D/4$ 판별식 사용
• 판별식 : $D/4 = (b')^2 - ac = (-1)^2 - (1)(4) = -3 $
• $D/4 < 0$ 이므로 허근을 가진다.

ㄴ. $x^2 - 4x - 5 = 0$ ← $x$의 계수가 짝수

• 계수: $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$ ($b = 2b'$, $b' = -2$)
  $x$의 계수가 짝수이므로 $D/4$ 판별식 사용
• 판별식 : $D/4 = (b')^2 - ac = (-2)^2 - (1)(-5) = 4 + 5 = 9$
• $D/4 > 0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.

ㄷ. $2x^2 + 3x + 4 = 0$

• 계수: $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$
• 판별식: $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23$
• $D < 0$ 이므로 허근을 가진다.

ㄹ. $9x^2 + 6x + 1 = 0$ ← $x$의 계수가 짝수

• 계수: $a = 9$, $b = 6$, $c = 1$ ($b = 2b'$, $b' = 3$)
  $x$의 계수가 짝수이므로 $D/4$ 판별식 사용
• $D/4 = (b')^2 - ac = (3)^2 - (9)(1) = 9 - 9 = 0$
• $D/4 = 0$ 이므로 중근을 가진다.

ㅁ. $\frac{1}{4}x^2 - x + 1 = 0$

• 계수: $a = \frac{1}{4}$, $b = -1$, $c = 1$
• 판별식 : $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\left(\frac{1}{4}\right)(1) = 1 - 1 = 0$
• $D = 0$ 이므로 중근을 가진다.

ㅂ. $\frac{2}{3}x^2 - x + \frac{1}{3} = 0$

• 계수: $a = \frac{2}{3}$, $b = -1$, $c = \frac{1}{3}$
• 판별식 : $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)$ $= 1 - \frac{8}{9} = \frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$
• $D > 0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.

(1) 실근을 가지는 것 ( $ D \geq 0 $인 것) :  ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ

(2) 허근을 가지는 것 ($D < 0$ 인 것) : ㄱ, ㄷ

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개념원리115p 필수예제 06

이차방정식 $x^2 - 2(m+3)x + m^2 = 0$ 의 판별식을 이용하여 $m$ 의 범위를 구하도록 해볼께요. 

 

• 계수: $a = 1$, $b = -2(m+3)$, $c = m^2$ 
  $x$의 계수가 짝수이므로 $b = 2b'$, $b' = -(m+3) $
• 판별식: $D/4 = (b')^2 - ac

$D/4 = (-(m+3))^2 - (1)(m^2)$

$= m^2 + 6m + 9 - m^2$

$= 6m + 9$

 

(1) 서로 다른 두 실근 

서로 다른 두 실근을 가지려면 $D/4 > 0$ 이므로,

$6m + 9 > 0$

$m > -\frac{3}{2}$

 

(2) 중근

중근을 가지려면 $D/4 = 0$ 이므로,

$6m + 9 = 0$

$m = -\frac{3}{2}$

 

(3) 서로 다른 두 허근

서로 다른 두 허근을 가지려면 $D/4 < 0$ 이므로,

$6m + 9 < 0$

$m < -\frac{3}{2}$

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개념원리116p 발전예제 07

조건이 한문장으로 나와있어 어떻게 풀어야 할지 헷갈려 하는 학생들이 많습니다. 

 

문장 구조가 "$x$에 대한 이차방정식 ~ 이 (실수 $k$의 값에 관계없이 항상) 중근을 가진다" 로 조건 2개를 한문장으로 말한것입니다. 

즉, $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지기 위해서는 $D=0$ 이 성립하는데 이 식이 $k$의 값이 관계 없이 항상 성립한다는 뜻입니다. 

• 계수: $a = 1$, $b = -2(k-a)$, $c = k^2+a^2-b+1$ 
  $x$의 계수가 짝수이므로 $b = 2b'$, $b' = -(k-a) $
• 판별식: $D/4 = (b')^2 - ac$

• $x$ 에 대한 이차방정식이 중근 가짐 → $D/4 = {-(k-a)}^2 - (1)(k^2 + a^2 - b + 1) = 0$ 성립
• 실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상 $D/4 = 0$ 성립 (중근가짐)
  → $k$ 에 대한 항등식
  → $k$ 에 대해 내림차순 정리

$D/4 = {-(k-a)}^2 - (1)(k^2 + a^2 - b + 1) = 0$ ← 이 식이 실수 $k$의 값에 관계 없이 항상 성립

$k^2 - 2ak + a^2 - k^2 - a^2 + b - 1 = 0$ 

$(-2a)k + (b-1) = 0 \cdot k + 0$ ←$k$에 대한 내림차순 정리 , $0= 0 \cdot k + 0$꼴로 봐줌

$\therefore -2a = 0 \quad b -1 = 0$

$\therefore a = 0, \quad b = 1$

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개념원리116p 필수예제 08

$x$에 대한 이차식이 완전제곱식이 될 때 라고 하였습니다. 

즉, 주어진 식이 완전제곱식 꼴 $(x- \alpha)^2$이 되어야 합니다.

 

풀이 1 ) 중학교 풀이 

식을 완전제곱식으로 인수분해 하기 위해서는 'X'자 인수분해에서 만들어지는 위아래 숫자가 같으면 됩니다. 

 

또는 완전제곱식이 되기 위한 공식

$ x^2 + ax + b $가 완전 제곱식이면  $\left( \frac{a}{2} \right)^2 = b$

을 이용하셔도 됩니다. 

이후 계산을 마무리 해주면, 

$\left( \frac{2k+1}{2} \right)^2 = k^2 - k + 2$

$\frac{4k^2 + 4k + 1}{4} = k^2 - k + 2$

$4k^2 + 4k + 1 = 4k^2 - 4k + 8$

$8k = 7$

$\therefore k = \frac{7}{8}$

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풀이 2 ) 판별식 이용

문제의 주어진 식을 =0을 붙혀 이차방정식으로 생각해주면 

 

(주어진식) = 0 

•  ↓ 주어진 식이 완전제곱식 꼴 $(x- \alpha)^2$ 꼴

(완전제곱식)= 0

• 이 이차방정식은 중근을 가진다는 것을 알 수 있습니다.
• 중근을 가지기 때문에 $D=0$ 사용이 가능해집니다. 

계수: $a = 1$, $b = (2k+1)$, $c = k^2-k+2$ 

판별식: $D= (b)^2 - 4ac = (2k+1)^2-4(1)(k^2-k+2) = 8k-7$ $= 0$ 

$\therefore k = \frac{7}{8}$

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4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다. 

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 112p~116p) 백지테스트.hwp

0.02MB

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 112p~116p) 백지테스트.pdf

0.13MB

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."