공통수학 1 - 2 - 15. 이차방정식 연습문제 step 2,3

2 - 2. 이차방정식  

이차방정식의 판별식 활용법, 중근 조건, 완전제곱식 판별 등은 고등 수학에서 매우 중요한 개념입니다. 이 글에서는 판별식을 활용한 문제풀이, 실수 조건 해석법, 인수분해와 관련된 고난도 문제까지 이차방정식 심화 내용을 체계적으로 정리합니다. 특히, $D/4$ 활용법, 항등식 조건 분석, 근의 개수 판단법을 통해 학교 시험 및 서술형 대비에 꼭 필요한 핵심 풀이법을 익혀 보세요.

 

개념원리 공통수학 1 : 118p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

 

---

연습문제 STEP 2

개념원리 118p 234번

이차방정식의 판별식 글에서 한번 풀어봤던 내용 입니다.(👉🏻바로가기)

 

문장 구조가 "이차방정식 ~ 이 (실수 $k$의 값에 관계없이 항상) $x=2$를 근으로 가진다" 로 조건 2개를 한문장으로 말한것입니다. 

• $x$에 대한 이차방정식이라 직접적으로 언급하지는 않았지만
  근을 이야기할때 $x=$이라고 한 것을 보아 $x$에 대한 이차방정식이라는 것을 알 수 있습니다. 
• 결론은, $x$에 대한 이차방정식이 $x=2$를 근으로 가지므로 대입시 성립하는데,
  그 식이 $k$의 값이 관계 없이 항상 성립한다는 뜻입니다. 

---

• 이차방정식이 $x=2$를 근으로 가짐 → $x=2$ 대입시 성립 → $8+2a(k+1)+b(k-3)=0$ 
• 실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상 $8+2a(k+1)+b(k-3)=0$ 성립
  → $k$ 에 대한 항등식
  → $k$ 에 대해 내림차순 정리

$8+2a(k+1)+b(k-3)=0$  ← 이 식이 실수 $k$의 값에 관계 없이 항상 성립

$(2a+b)k + (8+2a-3b) = 0 \cdot k + 0$ ←$k$에 대한 내림차순 정리 , $0= 0 \cdot k + 0$꼴로 봐줌

$\therefore 2a+b = 0 \quad 8 + 2a-3b = 0$

$\therefore a = -1, \quad b = 2, a+b = 1$

---

개념원리 118p 235번

$x^2 + ax + b = 0$ 서로 다른 두 실근 가짐 $\rightarrow D_1 = a^2 - 4b > 0$

 

$x^2 + (a-2c)x + b-ac = 0$의 근을 판별하기위해 판별식을 먼저 적어주면,

$D_2 = (a-2c)^2 - 4(b-ac)$

$= a^2 - 4ac + 4c^2 - 4b + 4ac$

$= a^2 + 4c^2 - 4b$

$= (a^2 - 4b) + 4c^2$

• $D_1$에 의해 $a^2 - 4b > 0$
• $4c^2$은 제곱수 이므로 항상 0보다 크거나 같음.
• 0보다 큰수(0은 안됨)와 0보다 크거나 같은 수를 더하면 항상 0보다 큰 값을 가지게 됨

$\therefore D_2 = (a^2 - 4b) + 4c^2 > 0$ : 서로 다른 두 실근.

---

개념원리 118p 236번

문장을 끊어가며 식을 바로바로 풀어보도록 하겠습니다.

 

$x$에 대한 이차방정식 $2x^2 - 3y^2 - 4x + ay - xy + 1 = 0$ 이

• $x$에 대한 이차방정식이라 하였으므로 $y$를 상수로 보고 정리해 주면
  $2x^2 + (-4 - y)x - 3y^2 + ay + 1 = 0$

중근을 갖도록 하는

• 중근을 갖기 위해 $D = 0$ 이용
  계수: ⓐ $= 2$, ⓑ $= -4 - y$, ⓒ $= -3y^2 + ay +1$
• 판별식 $D = (-4 - y)^2 - 4(2)(-3y^2 + ay +1) = 0$
  $y^2 + 8y + 6 + 24y^2 - 8ay - 8 = 0$
  $25y^2 + 8y - 8ay + 8 = 0$

갖도록 하는 실수 y값의 개수가 1

• $25y^2 + 8y - 8ay + 8 = 0$ 성립하도록 하는 y가 1개
  y의 개수, 즉 y값에 대해 이야기하고 있으니
  y에 대한 이차방정식으로 생각
  $25y^2 - 8(a-1)y + 8 = 0$ 성립하는 y값 1개, 즉 중근이라는 것을 알수있음.
  
  
• 중근을 갖기 위해 $D = 0$ 이용
  계수: ⓐ $= 25$, ⓑ $= -8(a-1)$, ⓒ $= 8$ ( $b' = -4(a-1)$ )
• 판별식 : $D/4 = (-4(a-1))^2 - (25 \times 8) = 0$
  $16(a-1)^2 - 200 = 0$
  $(a-1)^2 = \frac{200}{16} = \frac{50}{4}$
  $a - 1 = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$
  $\therefore a = \frac{2 \pm 5\sqrt{2}}{2}$

양수$a$값을 구하라 하였으므로 ∴ $a = \frac{2 + 5\sqrt{2}}{2}$

 

결론이 나올때마다 식을 해석하면서 가야합니다. 단순하게 정리해서 풀이를 적어둘수도 있겠지만, 이해가 안되는 학생이 최대한 이해할 수 있도록 자세하게 생각의 순서에 따라 정리해 봤습니다. 혹시나 문제를 풀었다 하더라도 구조를 정확히 파악하고 푼 것인지 자신의 풀이와 비교해 보도록 합시다. 

---

개념원리 118p 237번

판별식을 이용해 풀기하기 위해

(주어진 이차식) = 0 인 이차방정식으로 생각해보면,

 ↓ 주어진 식은 완전 제곱식이므로

(완전제곱식) = 0 이 됨.

이 식은 중근을 가지므로 $D=0$

 

정리하자면,

이차식 $a(1+x^2) + 2bx + c(1-x^2)$이 완전제곱식이면

이차방정식 $a(1+x^2) + 2bx + c(1-x^2) = 0$ 은 중근 가지므로 $D=0$

 

풀이:)

$(a - c)x^2 + (2b)x + (a + c) = 0$

• 이차식 이므로 $ a \neq c $ (← 쓰든 안쓰든 항상 짚고 넘어가기 !)
• 중근 가지므로 $D=0$ 이용

$D/4 = b^2 - (a - c)(a + c) = 0$

$b^2 - (a^2 - c^2) = 0$

$b^2 + c^2 = a^2$ (← 피타고라스 식)

∴ 빗변의 길이가 $a$인 직각삼각형 ( 또는 각으로 표현하자면, $\angle A = 90^\circ$인 직각 삼각형)

---

연습문제 STEP3 (118p)

개념원리 118p 238번

문제에서 AP 길이를 몰랐으므로 $ AP = x $ 라 하면

• $ PB = 2 - x $
• 대각선 BD 위의 한점 O 이므로
  사각형 $ PBQO $, 사각형 $ SORD $, 사각형 $ ABCD $는 닮음 (가로 : 세로 = 2 : 1)
  → $ AP = SO = x $ 이므로 $ OR = 2x $
  → $ PB = 2 - x $ 이므로 $ PO = 4 - 2x $

조건 ① 사각형 APOS $ 넓이 + 사각형 OQCR 넓이 = 3

• $ x(4-2x) + (2-x)(2x) = 3 $
  $ -4x^2 + 8x = 3 $
  $ 4x^2 - 8x + 3 = 0 $
  $ (2x - 3)(2x - 1) = 0 $
  $ \therefore x = \frac{3}{2} \text{ or } x = \frac{1}{2} $ ​

조건 ② $ AP < PB $

• $ x < 2 - x $
  $ \therefore x < 1 $

조건 ①, ② 만족하는 최종답
$ \therefore x = \frac{1}{2} $ ​

---

개념원리 118p 239번

처음 보는 유형일 수 있지만, 꽤 자주 나오는 유형이라 자세하게 설명하도록 하겠습니다. 

나중에는 간단하게 생략해서 풀더라도 처음에는 원리를 정확히 알고 풀도록 합시다!

(다음글에서 주로 다룰 내용이기도 합니다.)

---

사용 개념

 

$x$에 대한 이차 방정식 근이 $\alpha, \beta$인 경우

• $(x-\alpha), (x - \beta)$ 인수를 가짐
• $\therefore$ 이차방정식 = $k(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ 으로 인수분해됨 ($k$: 최고차계수)
• 그렇다면, 이차식 = $k(x - \alpha)(x - \beta) $

---

 

주어진 식을 $x$에 대한 이차방정식으로 보면, ($y$는 상수 취급)

$2x^2 + (y - 1)x + (-y^2 + 2y + k) = 0$ 의 근은 (근의 공식에 의해) $x = \frac{-(y - 1) \pm \sqrt{D}}{2}$

$(D = (y - 1)^2 - 4(2)(-y^2 + 2y + k) = 9y^2 - 18y - 8k + 1)$

• $\therefore$ $2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{D}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{D}}{2} \right) = 0$ 으로 인수분해 됨
• $\therefore$ 주어진 이차식 = $2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{D}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{D}}{2} \right)$

 

즉, $D = 9y^2 - 18y - 8k + 1$를 넣어 정리해 보면, 
$2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{9y^2 - 18y - 8k + 1}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{9y^2 - 18y - 8k + 1}}{2} \right) $
이 식은 $x,y$에 대한 두 일차식으로 인수분해 되었다 할 수 없습니다.

 

 

이 식이 $x,y$에 대한 두 일차식의 꼴로 인수분해 되기 위해서는

• $\sqrt{D}$가 $y$에 대한 일차식으로 정리되어야 합니다.
• 그러기 위해서는 $\sqrt{}$ 안의 식 $D = 9y^2 - 18y - 8k + 1$가 완전제곱식이 되어야 $\sqrt{}$가 사라집니다.

 

완전제곱식이 되기 위한 풀이 1) 꼴 맞춰 주기

$\therefore k = -1$

 

완전제곱식이 되기 위한 풀이 2) 판별식 이용

$9y^2 - 18y - 8k + 1$이 완전제곱식 되기위해 $D = 0$

$\frac{D}{4} = 81 - 9(-8k + 1) = 0$

$72k + 72 = 0$

$\therefore k = -1$

---

 

추가로,

정말 $x,y$에 대한 두 일차식의 꼴로 인수분해 되는지 확인해 보도록 할께요.

$D = 9y^2 - 18y - 8k + 1 = (3y - 3)^2$ 이므로

$\sqrt{D} = \sqrt{(3y - 3)^2} = |3y - 3|$

▶ ▶ $\pm\sqrt{D} = \pm (3y - 3)$

 

$\frac{- (y - 1) + (3y - 3)}{2} = y - 1, \quad \frac{- (y - 1) - (3y - 3)}{2} = -2y + 2$ 이므로 

• 주어진 이차식 = $2 \left( x - \frac{-(y - 1) + \sqrt{D}}{2} \right) \left( x - \frac{-(y - 1) - \sqrt{D}}{2} \right)$
  이 식에 넣어 정리해 주면,

(주어진 이차식)

= $ 2 \left( x - (y - 1) \right) \left( x - (-2y + 2) \right) $

= $ 2 \left( x - y + 1) \right) \left( x + 2y - 2) \right) $

이렇게 두 일차식의 곱으로 인수분해 된다는 것을 확인할 수 있습니다. 

 

---

간단풀이 정리 :)

$2x^2 + xy - y^2 - x + 2y + k = 2x^2 + (y - 1)x - (y^2 - 2y - k)$

$2x^2 + (y - 1)x - (y^2 - 2y - k) = 0$의 판별식을 $D$라 하면

$D = 9y^2 - 18y + 1 - 8k$

 

$D$가 완전제곱식이어야 하므로 $D = 0$의 판별식을 $D'$이라 하면

$\frac{D'}{4} = (-9)^2 - 9(1 - 8k) = 0$

$\therefore k = -1$

 

왜 "$2x^2 + (y - 1)x - (y^2 - 2y - k) = 0$의 판별식을 $D$라 하면" 여기서 판별식을 구해주고,

왜 " $D$가 완전제곱식이어야" 하는지 이해가 되시나요 ?? 

어렵더라도 차근차근 이해해보고 반복하도록 합시다. 

---

"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."