공통수학 1 - 2 - 17. 이차방정식 필수예제 풀이

2 - 2. 이차방정식

이 글에서는 이차방정식의 근과 계수의 관계, 켤레근과 역수근 개념, 그리고 이를 활용한 실전 문제 풀이 전략까지 완벽하게 정리해 드립니다. 중학교, 고등학교 수학에서 반드시 알아야 할 이차방정식의 개념과 공식, 그리고 문제 해결법을 자세히 다루었으며, 예제 문제 풀이도 함께 제공하여 내신·수능 대비에 큰 도움이 될 것입니다. 근과 계수의 관계를 활용해 빠르게 풀이하는 방법부터 역수근을 이용한 고난도 문제까지, 다양한 유형을 통해 서술형 문제 대비와 개념 완성을 목표로 구성했습니다.

 

개념원리 공통수학 1 : 122p ~ 127p

 

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이차방정식의 근과 계수의 관계 필수예제 풀이

개념원리 122p 필수예제 09

근과 계수의 관계 
이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근이 $ x = \alpha $ 또는 $ x = \beta $ 이면
(1) 두근의 합 = $ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $
(2) 두근의 곱 = $ \alpha \beta = \frac{c}{a} $
추가:) $ |\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|} $

 

$ 2x^2 - 4x - 1 = 0 $ 두 근을 $ \alpha, \beta $

① 대입시 성립 : $ 2\alpha^2 - 4\alpha -1 = 0 $ , $ 2\beta^2 - 4\beta -1 = 0 $

② $ (x-\alpha) , (x-\beta) $를 인수로 가짐 

③  식 : $ 2x^2 - 4x -1 = 2(x-\alpha)(x-\beta) $

④  근과 계수 관계 : $ \alpha + \beta = 2 $ , $ \alpha\beta = -\frac{1}{2} $

지금까지 배웠던 내용을 보면, 두 근이 주어졌을 때 크게 위의 4가지를 떠올릴 수 있어야 합니다. 

이후, 가장 편하게 풀 수 있는 방법이 무엇일지 생각 후 풀이해 줄 수 있습니다.

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④  근과 계수 관계를 이용해 풀이 해 주면, 

(1)번
$ (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 2^2 - 4 \times \left( -\frac{1}{2} \right) = 6 $

(2)번
$ \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta) = 2^3 - 3 \times \left( -\frac{1}{2} \right) \times 2 = 11 $

(3)번
$ (\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = -\frac{1}{2} - 2 + 1 = -\frac{3}{2} $

(4)번
$ \frac{\alpha}{\alpha + 1} + \frac{\beta}{\beta + 1} = \frac{\alpha(\beta + 1) + \beta(\alpha + 1)}{(\alpha + 1)(\beta + 1)} = \frac{2\alpha \beta + (\alpha + \beta)}{\alpha \beta + (\alpha + \beta) + 1} $

$ = \frac{2 \times \left( -\frac{1}{2} \right) + 2}{-\frac{1}{2} + 2 + 1} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} $

 

곱셈공식을 이용한 풀이이므로 그렇게 어렵지 않습니다. 

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추가로, 제가 자주 사용하는 방법인데 

③  식 :$ 2x^2 - 4x -1 = 2(x-\alpha)(x-\beta) $ 을 이용해 풀이해 보도록 할께요. 

(3)번

$ 2x^2 - 4x -1 = 2(x-\alpha)(x-\beta) $

• $ (x-\alpha)(x-\beta) = (-(\alpha-x))(-(\beta-x)) = (\alpha-x)(\beta-x) $

$ 2x^2 - 4x -1 = 2(\alpha-x)(\beta-x) $

• $ x=1 $ 대입

$ -3 = 2(\alpha-1)(\beta-1) $

$ \therefore (\alpha-1)(\beta-1) = -\frac{3}{2} $

 

이렇게 식을 이용해 구하고자 하는 값이 나오게 바로 구해줄 수 있습니다. 고난도 문제에서 특히나 많이 사용될 수 있는 개념이니 지금 쉬운 문제가 나왔을 때 조금씩 연습해보도록 합시다!

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개념원리 123p 필수예제 10

문제에서 두근의 '합'을 구하라 하였으므로 근과 계수의 관계를 이용해 줍니다. 

복잡하더라도 식을 정확하게 차근차근 써가면서 풀이해보도록 합시다. 

 

(1) 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$의 두 근이 $-4, 2$

• 근과 계수의 관계에 의하여
  $-4 + 2 = -a$, $-4 \times 2 = b$
  $\therefore a = 2, \quad b = -8$

따라서 이차방정식 $ax^2 + (a+b)x + b = 0$은 $2x^2 - 4x - 8 = 0$

두 근의 합은 $\dfrac{a+b}{a} = \dfrac{2 + (-8)}{2} = 3$

∴3

 

(2) 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$의 두 근이 $\alpha, \beta$

• 근과 계수의 관계 ①
  두근의 합 : $\alpha + \beta = a$
  두근의 곱 : $\alpha \beta = b$ 

이차방정식 $x^2 - (a+1)x + 2 = 0$의 두 근이 $\alpha + \beta, \alpha \beta$

• 근과 계수의 관계 ②
  두근의 합 : $(\alpha + \beta) + \alpha \beta = a + 1$
  두근의 곱 : $(\alpha + \beta) \alpha \beta = 2$ 

근과 계수의 관계 ②를 근과 계수의 관계 ①을 이용하여 표현해 주면, 

 

$\therefore a = 2, \quad b = 1$

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개념원리 124p 필수예제 11

두 근 사이의 관계가 주어진 이차방정식이 나온 경우 관계가 보이도록 두 근을 미지수 잡아줍니다.

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많이 나오는 두 근 사이의 관계

• 두 근의 차가 $k$ → $\alpha, \alpha + k$ 또는 $\alpha, \alpha - k$
• 두 근의 비가 $m : n$ → $m\alpha, n\alpha \quad (\alpha \neq 0)$
• 한 근이 다른 근의 $k$배 → $\alpha, k\alpha \quad (\alpha \neq 0)$
• 두 근이 연속인 정수 → $\alpha, \alpha + 1$ , $\alpha$는 정수
• 두 근의 절댓값이 같고 부호가 다른 경우 → $\alpha, - \alpha$

 

(1) 두 근의 비 2:3 → $2\alpha, 3\alpha$

• 근과 계수의 관계
  두근의 합 : $2\alpha + 3\alpha = k - 1$ → $5\alpha = k - 1 \quad (k = 5\alpha + 1)$ ◁ ①
  두근의 곱 : $(2\alpha)(3\alpha) = k$ → $6\alpha^2 = k$ ◁ ②

식②의 $k$에 식①의 관계를 대입하면

$6\alpha^2 = 5\alpha + 1$

$6\alpha^2 - 5\alpha - 1 = 0$

$(6\alpha + 1)(\alpha - 1) = 0$

$\therefore \alpha = -\dfrac{1}{6}$ 또는 $\alpha = 1$

• $6\alpha^2 = k$ 이므로

$k = \dfrac{1}{6}$ 또는 $k = 6$

 

(2) 두 근의 차가 2 → $\alpha, \alpha + 2$

• 근과 계수의 관계
  두근의 합 : $\alpha + (\alpha + 2) = \dfrac{2k}{9}$ → $\alpha = \dfrac{k}{9} - 1$ ◁ ①
  두근의 곱 : $\alpha (\alpha + 2) = \dfrac{k - 5}{9}$ ◁ ②

식②의 $\alpha$에 식①의 관계를 대입하면

$\left(\dfrac{k}{9} - 1\right) \left(\dfrac{k}{9} + 1\right) = \dfrac{k - 5}{9}$

$(k - 9)(k + 9) = 9(k - 5)$

$k^2 - 9k - 36 = 0$

$(k + 3)(k - 12) = 0$

$\therefore k = -3$ 또는 $k = 12$

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개념원리 125p 필수예제 12

이차방정식 세우기  ( 👉🏻이전글 3. 이차방정식 세우기 )
1. 이차방정식 $ 1x^2 + bx + c = 0 $ 의 근이 $ x = \alpha $ 또는 $ x = \beta $ 이면 (최고차항 계수 : 1)
$ 1x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 $

2. 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근이 $ x = \alpha $ 또는 $ x = \beta $ 이면 (최고차항 계수 : a)
$ ax^2 - a(\alpha + \beta)x + a\alpha \beta = 0 $

역수근을 가지는 이차방정식 ( 👉🏻이전글 5.역수근을 가지는 이차방정식 내용 참고)
$ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근이 $ x = \alpha $ 또는 $ x = \beta $ 이면
$ \frac{1}{\alpha} $, $ \frac{1}{\beta} $  을 근으로 가지는 이차방정식은 $ k(cx^2 + bx + a) = 0 $ (계수가 반대로 된 꼴)

 

이차방정식 $x^2 + x + 2 = 0$의 두 근이 $\alpha, \beta$

• 근과 계수의 관계
  두근의 합 : $\alpha + \beta = -1$
  두근의 곱 : $\alpha \beta = 2$ 

(1)번

★ ★ 풀이 1) 역수근을 가지는 이차방정식 개념 이용 

이차방정식 $x^2 + x + 2 = 0$의 두 근이 $\alpha, \beta$

• $\dfrac{1}{\alpha}, \dfrac{1}{\beta}$을 두 근으로 가지는 이차방정식 $ \quad k(2x^2 + x + 1) = 0$
  최고차 계수 $2 \rightarrow k = 1$

$\therefore 2x^2 + x + 1 = 0$

 

풀이2) 근과 계수 관계 이용

• 두근의 합 : $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}$
• 두근의 곱 : $\dfrac{1}{\alpha} \times \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{1}{\alpha \beta} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{\alpha}, \dfrac{1}{\beta}$을 두 근, $x^2$의 계수가 2

• 두 근의 합에 -를 붙히고 최고차항 계수 곱하면 $x$의 계수가 됨 → $x$의 계수 : 1
• 두근의 곱에 최고차항 계수 곱하면 상수항이 됨 → 상수항 : 1

$\therefore 2x^2 + x + 1 = 0$

 

참고:)  $2 \left( x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \right) = 0$ 이렇게 식을 세워두고 전개해 주셔도 됩니다. 

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(2)번

• 두근의 합
  $(\alpha^2 -1) + (\beta^2 -1)$
  $= \alpha^2 + \beta^2 - 2$
  $= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta -2$
  $= (-1)^2 - 2 \times 2 - 2$
  $= -5$
• 두근의 곱
  $(\alpha^2 -1)(\beta^2 -1)$
  $= \alpha^2\beta^2 - \alpha^2 - \beta^2 + 1$
  $= (\alpha\beta)^2 - { (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta } + 1$
  $= 2^2 - { (-1)^2 - 2 \times 2 } + 1$
  $= 8$

따라서 $\alpha^2 -1, \beta^2 -1$을 두 근으로 하고 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식은

∴ $x^2 + 5x + 8 = 0$

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개념원리 126p 필수예제 13

사용한 개념 
이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 의 근이 $ x = \alpha $ 또는 $ x = \beta $
 → $ a(x - \alpha)(x - \beta) = 0 $으로 인수분해 됨

 

(1) 이차방정식 $x^2 - 2x + 6 = 0$의 근은 근의 공식을 이용해 구해주면, $x = 1 \pm \sqrt{5}i$

그러므로, 이차식 $x^2 -2x + 6$은 아래와 같이 인수분해 됩니다. 

$\therefore x^2 - 2x + 6 = { x - (1 + \sqrt{5}i) } { x - (1 - \sqrt{5}i) } = (x - 1 - \sqrt{5}i)(x - 1 + \sqrt{5}i)$

 

(2) 이차방정식 $2x^2 + 4x - 5 = 0$의 근은 근의 공식을 이용해 구해주면, $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}$

그러므로, 이차식 $2x^2 + 4x - 5 = 0$은 아래와 같이 인수분해 됩니다. 

$\therefore 2x^2 + 4x - 5 = 2 \left( x + \dfrac{2 - \sqrt{14}}{2} \right) \left( x + \dfrac{2 + \sqrt{14}}{2} \right)$

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개념원리 126p 발전예제 14

이차방정식 $f(x) = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면

• $\alpha + \beta = 6$
• $f(\alpha) = 0, \quad f(\beta) = 0$

$f(5x - 7) = 0$이려면

$5x - 7 = \alpha$ 또는 $5x - 7 = \beta$

$\therefore x = \dfrac{\alpha + 7}{5} \quad$ 또는 $\quad x = \dfrac{\beta + 7}{5}$

 

이차방정식 $f(5x - 7) = 0$의 두 근의 합 

$\dfrac{\alpha + 7}{5} + \dfrac{\beta + 7}{5}$

$= \dfrac{\alpha + \beta + 14}{5}$

• $\alpha + \beta = 6$ 이므로

$= \dfrac{6 + 14}{5}$

$= 4$

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구조를 조금만 더 보도록 합시다. 

$f(x) = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$라 하면,

함수의 괄호안의 값이 $\alpha, \beta$ 이면 =0의 등호가 성립하게 됩니다. 

 

 

마찬가지로, 함수의 괄호안의 값이 $\alpha, \beta$ 이면 =0의 등호가 성립하게 됩니다. 

그렇다면, $5x - 7$의 값이  $\alpha$ 또는 $\beta$이면 =0의 등호가 성립하게 되는 것이죠. 

 

$x$에 대한 이차방정식에서 근은 $x$의 값을 이야기 하는 것이기 때문에 정리해주면

$x = \dfrac{\alpha + 7}{5} \quad$ 또는 $\quad x = \dfrac{\beta + 7}{5}$ 가 두 근이 됩니다. 

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개념원리 127p 필수예제 15

이차방정식 켤레근 개념
이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 에서
(1) $ a, b, c $ 가 유리수일 때,
한 근이 $ p + q\sqrt{m} $ 이면 다른 한 근은 $ p - q\sqrt{m} $ 이다.  ← 루트 앞의 부호 바뀌는 켤레관계
(단, $ p, q $ 는 유리수, $ q \neq 0 $, $ \sqrt{m} $ 은 무리수이다.) 

(2) $ a, b, c $ 가 실수일 때,
한 근이 $ p + qi $ 이면 다른 한 근은 $ p - qi $ 이다. ← $i$ 앞의 부호 바뀌는 켤레관계
(단, $ p, q $ 는 실수, $ q \neq 0 $, $ i = \sqrt{-1} $ 이다.)

 

(1) 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$에서 $a, b$가 유리수 

• 한 근이 $3 - \sqrt{2}$이므로 다른 한 근은 $3 + \sqrt{2}$
• 근과 계수의 관계에 의하여
  두 근의 합 $= (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = -a$ → ∴ $a = -6$
  두 근의 곱 $= (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = b$ → ∴ $b = 7$

$\therefore a + b = 1$

 

(2) 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$에서 $a, b$가 실수

• 한 근이 $1 + 2i$이므로 다른 한 근은 $1 - 2i$
• 근과 계수의 관계에 의하여
  두 근의 합 $= (1 + 2i) + (1 - 2i) = -a$ → ∴ $a = -2$
  두 근의 곱 $= (1 + 2i)(1 - 2i) = b$ → ∴ $b = 5$

$\therefore a - b = -7$

 

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