공통수학 1 - 2 - 18. 이차방정식 확인 체크 풀이와 필수 문제 풀이 모음

2 - 2. 이차방정식

오늘은 개념원리 공통수학 1 – 2단원 이차방정식 확인체크 문제와 실전에서 자주 나오는 중요 유형 문제들을 빠르게 복습할 수 있도록 요점 정리해 드립니다.

이 글에서는 근과 계수의 관계 공식과 문제 적용법, 이차방정식 인수분해 풀이 팁, 중간·기말 대비 서술형 문제 전략, 실수 없이 계산하는 유형별 풀이법까지 한 번에 학습할 수 있어요.

이차방정식의 핵심 개념부터 실전 적용법까지, 글이 조금 길더라도 천천히 차근차근 따라오도록 합시다. 

 

개념원리 공통수학 1 : 122p ~ 128p

 

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1. 주로 사용할 개념 

이차방정식의 두 근 $\alpha, \beta$

① 대입시 성립 

② $ (x-\alpha) , (x-\beta) $를 인수로 가짐 

③  식 : $ ax^2 + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta) $

④  근과 계수 관계 : $ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $ , $ \alpha \beta = \frac{c}{a} $

두 근이 주어졌을 때 크게 위의 4가지를 떠올릴 수 있어야 한다고 지난 글에서 설명했던거 기억하시죠 ?? 

문제를 여러가지 풀이로 풀이하다보면, 점차 어떤 방법이 효율적일지 보이게 될꺼에요! 많은 연습이 필요합니다🤗

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2. 이차방정식 확인체크 (122p ~ 127p)

개념원리122p 확인체크 244 (3)

(3)번 풀이 1. ③ 근과 계수 관계를 이용한 풀이

$x^2 - 3x + 4 = 0$ 두 근 $\alpha, \beta$

• ③ 근과 계수의 관계
  두 근의 합: $\alpha + \beta = 3$
  두 근의 곱: $\alpha \beta = 4$

$(2\alpha -1)(2\beta -1) = 4\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 1 = 16 - 6 + 1$ $= 11$

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(3)번 풀이 2. ② 식 : $ ax^2 + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta) $ 개념을 이용한 풀이

구하고자 하는 것 : $(2\alpha -1)(2\beta -1) = 4\left(\dfrac{1}{2} - \alpha\right)\left(\dfrac{1}{2} - \beta\right)$

 

②식 세우기

$x^2 - 3x + 4 = 1(x - \alpha)(x - \beta)$

• $x = \dfrac{1}{2}$ 대입

$\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 4 = \left(\dfrac{1}{2} - \alpha\right)\left(\dfrac{1}{2} - \beta\right)$

• 양변에 $\times 4$

$1 - 6 + 16 = 4\left(\dfrac{1}{2} - \alpha\right)\left(\dfrac{1}{2} - \beta\right)$

$\therefore 11 = 4\left(\dfrac{1}{2} - \alpha\right)\left(\dfrac{1}{2} - \beta\right)$

 

풀이2가 아직 익숙하지 않을 수도 있고, 풀이1이 간단해 보이더라도 상당히 많이 쓰이는 내용이기때문에 풀이2도 지금부터 연습해 두도록 합시다 !!

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개념원리122p 확인체크 245

$x^2 - 2x + 4 = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$

• ① 대입시 성립 :
  $\alpha^2 - 2\alpha + 4 = 0, \quad \beta^2 - 2\beta + 4 = 0$
  $\alpha^2 - \alpha + 4 = \alpha, \quad \beta^2 - \beta + 4 = \beta$
  
  
• ③ 근과 계수 관계 :
  두 근의 합: $\alpha + \beta = 2$
  두 근의 곱: $\alpha \beta = 4$

$\dfrac{\beta}{\alpha^2 - \alpha + 4} + \dfrac{\alpha}{\beta^2 - \beta + 4}$

• $\alpha^2 - \alpha + 4 = \alpha, \quad \beta^2 - \beta + 4 = \beta$ 이용

$= \dfrac{\beta}{\alpha} + \dfrac{\alpha}{\beta}$

• 통분

$= \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$

• $( \alpha^2 + \beta^2 ) = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ 곱셈공식의 변형 이용

$= \dfrac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta}$

$= \dfrac{4 - 8}{4}$

$= -1$

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개념원리122p 확인체크 247

풀이1) ③ 근과 계수 관계 이용

$x^2 + ax + b = 0$의 두 근이 $\alpha, \beta$

• ③ 근과 계수 관계 :
  두 근의 합: $\alpha + \beta = -a$
  두 근의 곱: $\alpha \beta = b$

$x^2 - ax - b = 0$의 두 근이 $\alpha -1, \beta -1$

• ③ 근과 계수 관계 :
  두 근의 합: $(\alpha -1) + (\beta -1) = a \quad \Rightarrow \quad \alpha + \beta -2 = a$
  두 근의 곱: $(\alpha -1)(\beta -1) = -b \quad \Rightarrow \quad \alpha \beta - (\alpha + \beta) +1 = -b$

$\alpha + \beta - 2 = a$  →  $-a -2 = a$ →  $\therefore a = -1$

$\alpha \beta - (\alpha + \beta) +1 = -b$ → $b + a +1 = -b$ → $\therefore b = 0$

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풀이2) ② 식세우기 개념 이용

1. $x^2 + ax + b = 0$의 두 근이 $\alpha, \beta$
   $x^2 + ax + b = (x - \alpha)(x - \beta)$
2. 두 근이 $\alpha -1, \beta -1$인 이차방정식은 $x^2 - ax - b = 0$ (최고차 계수 1)
   $1 \cdot (x - \alpha +1)(x - \beta +1) = x^2 - ax - b$
   

 

$x^2 + ax + b = (x - \alpha)(x - \beta)$

• $x$ 대신 $x+1$ 대입

$(x+1)^2 + a(x+1) + b = (x+1 - \alpha)(x+1 - \beta)$

• 좌변 : 전개, 우변 : $1 \cdot (x - \alpha +1)(x - \beta +1) = x^2 - ax - b$

$x^2 + (a+2)x + 1 + a + b = x^2 - ax - b$

$\therefore a + 2 = -a, \quad 1 + a + b = -b$

$\therefore a = -1, \quad b = 0$

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개념원리125p 확인체크 251

풀이1) ③ 근과 계수 관계 이용

$2x^2 - 5x + 4 = 0$ 의 두 근 $\alpha, \beta$

• 근과 계수 관계 :
  두 근의 합: $\alpha + \beta = \dfrac{5}{2}$
  두 근의 곱: $\alpha \beta = 2$

$\alpha+1, \beta+1$ 을 두 근으로 하고 $x^2$ 계수가 2인 이차방정식

• 근과 계수 관계 :
  두 근의 합: $= (\alpha+1) + (\beta+1) = \alpha + \beta + 2 = \dfrac{9}{2}$
  두 근의 곱: $= (\alpha+1)(\beta+1) = \alpha \beta + (\alpha + \beta) + 1 = \dfrac{11}{2}$

• 두 근의 합에 -를 붙히고 최고차항 계수 곱하면 $x$의 계수가 됨 → $x$의 계수 : -9
  두근의 곱에 최고차항 계수 곱하면 상수항이 됨 → 상수항 : 11

$\therefore 2x^2 - 9x + 11 = 0$

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풀이2) ② 식세우기 개념 이용

1. $2x^2 - 5x + 4 = 0$ 의 두 근 $\alpha, \beta$
   $2x^2 - 5x + 4 = 2(x - \alpha)(x - \beta)$
2. $\alpha+1, \beta+1$을 두 근으로 하고 $x^2$의 계수가 2인 이차방정식
   구하고자 하는 것 : $2(x - \alpha - 1)(x - \beta - 1) = 0$

$2x^2 - 5x + 4 = 2(x - \alpha)(x - \beta)$

• $x$ 대신 $x-1$ 대입

$2(x - 1)^2 - 5(x - 1) + 4 = 2(x - 1 - \alpha)(x - 1 - \beta)$

$2x^2 - 9x + 11 = 2(x - 1 - \alpha)(x - 1 - \beta)$

• 구하고자 하는 것 : $2(x - \alpha - 1)(x - \beta - 1) = 0$

$\therefore 2x^2 - 9x + 11 = 0$

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개념원리126p 확인체크 254

 

두 근의 곱:

$\dfrac{(\alpha + 1)}{2} \times \dfrac{(\beta + 1)}{2}$

$= \dfrac{\alpha \beta + (\alpha + \beta) + 1}{4}$

$= \dfrac{4 + 3 + 1}{4}$

$= 2$

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3. 이차방정식 연습문제 step1 (128p)

개념원리 128p 연습문제 260

 

풀이1)

$x^2 + ax + b = 0$의 두 근이 $\alpha, \beta$

• 근과 계수의 관계 ①
  $\alpha + \beta = -a, \quad \alpha \beta = b$

$x^2 - bx + \alpha = 0$의 두 근이 $\alpha +1, \beta +1$

• 근과 계수의 관계 ②
  $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = b, \quad (\alpha + 1)(\beta + 1) = a$

식 ②를 식 ①을 이용하여 정리하면,

• $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = b$ → $-a + 2 = b$
  $(\alpha + 1)(\beta + 1) = a$ →  $b - a + 1 = a$

두 식을 연립하면,

$a = 1, \quad b = 1$

이를 이용하여 근과 계수의 관계 ①을 다시 정리해 보면,

$\alpha + \beta = -1, \quad \alpha \beta = 10$ 

 

(최종계산)

$\alpha^4 + \beta^4$

$(\alpha^2)^2 + (\beta^2)^2$

$= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha^2 \beta^2$

$= -1$

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풀이2)

$x^2 + ax + b = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$

$(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 + ax + b$

• $x$ 대신 $x-1$ 대입
• $\alpha+1, \beta+1$을 두 근으로 가지는 이차방정식은 $x^2 - bx + a = 0$

$(x - 1 - \alpha)(x - 1 - \beta) = (x - 1)^2 + a(x - 1) + b$ $= x^2 - bx + a$

정리하면,

$x^2 + (a - 2)x + (1 - a + b) = x^2 - bx + a$

• $a - 2 = -b, \quad 1 - a + b = a$
• 둘을 연립하면 $a = 1, \quad b = 1$

최종적으로,

$x^2 + x + 1 = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$

근과 계수 관계: $\alpha + \beta = -1, \quad \alpha \beta = 1$

 

(최종계산)

$\alpha^4 + \beta^4$

$(\alpha^2)^2 + (\beta^2)^2$

$= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha^2 \beta^2$

$= -1$

 

참고:) 개념원리 172p 내용을 공부한 학생만

$x^2 + x + 1 = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$ → $\omega, \overline{\omega}$

$\omega^3 = 1, \quad \overline{\omega}^3 = 1$ 이므로

$\alpha^4 + \beta^4 = \alpha + \beta = -1$

 

여러가지 풀이를 꼭 함께 공부하도록 합시다. 

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개념원리 128p 연습문제 261

두 근 : $\alpha, \alpha + 1$ ( $\alpha$ : 정수)

학교 서술형이라면 정수라고 언급을 꼭 해주셔야 합니다. 

 

근과 계수의 관계

• $\alpha + (\alpha + 1) = -(k+2)$
  $\therefore \alpha = \dfrac{-k-3}{2}$ → 식 ①
• $\alpha(\alpha+1) = 9 - k$ → 식 ②

식 ②를 식 ①을 이용하여 정리하면,

$(\dfrac{-k-3}{2} )(\dfrac{-k-3}{2} + 1) = 9 - k$

• 양변에 곱하기 4

$(-k-3)(-k-3+2) = 36 - 4k$

$k^2+4k+3 = 36 -4k$

$k^2 + 8k - 33 = 0$

$(k+11)(k-3) = 0$

$\therefore k = -11$ 또는 $k = 3$

여기서, $\alpha$ : 정수 조건을 만족하는 지 확인 후 $k$의 값을 결정해줘야 합니다. 

• $\therefore \alpha = \dfrac{-k-3}{2}$ 이용
• $k=-11$인 경우 : $\alpha = -7$ (정수조건 만족)
• $k = 3$인 경우 : $\alpha = -3$ (정수조건 만족)

따라서 모든 실수 $k$의 값의 합은

$-11 + 3 = -8$

 

물론, $k$ 값의 합을 구하는 것이므로 두 가지 경우가 모두 가능하다고 생각할 수도 있습니다.

그러나 공부할 때는 항상 논리적으로 접근하여 정확한 근거를 바탕으로 공부하는 것이 중요합니다.

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개념원리 128p 연습문제 263

$x^2 + ax + b = 0$ : (유리수 $a,b$ 조건 나옴) + ( 한 근이  $2-\sqrt{3}$)

켤레근 성질에 의해 다른 한 근이 $2+\sqrt{3}$ 

• 근과 계수의 관계
  두근의 합 :  $2-\sqrt{3} + 2+\sqrt{3} = 4 = -a$ → $a = -4$
  두근의 곱 : $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 1 = b$  → $b = 1$

$a = -4, \quad b = 1$ 대입하여 정리해 주면, 

$x^2 + x - 4 = 0$의 두 근이 $\alpha, \beta$

근과 계수 관계 : $\alpha + \beta = -1, \quad \alpha \beta = -4$

 

★ ★ ★ 혹시나 여기서 $ \alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)^2 ~$ 이런 공식을 사용하는 학생은 없겠죠? 

$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)$ 공식을 사용해 줘야 합니다. 

• $\alpha + \beta = -1$의 값은 알고 있음
• $\alpha - \beta$의 값구하는 과정
  $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$  이용
  $(\alpha - \beta)^2 = ( -1)^2 - 4( -4) = 17$
• $\alpha - \beta = \pm\sqrt{17}$
  $\alpha > \beta$ 이므로 ( 문제에서 주어짐)
• $\alpha - \beta = \sqrt{17}$

$\alpha^2 - \beta^2$

$= (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)$

$= ( -1)( \sqrt{17})$

$= -\sqrt{17}$

 

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