공통수학 1 - 2 - 10. 일차 방정식과 이차 방정식

2단원-2. 이차방정식

이차방정식은 고등 수학에서 매우 중요한 개념 중 하나로, 다양한 문제 해결과 실생활 응용에 필수적인 내용을 포함하고 있습니다. 이 글에서는 중학교 때 배운 일차방정식 개념을 복습하고, 이차방정식의 기본 개념, 해를 구하는 방법(인수분해, 근의 공식, 완전제곱식), 그리고 핵심 예제 풀이까지 자세히 다룹니다. 또한, 이차방정식의 근의 공식 증명 과정도 포함하여 개념을 확실히 이해할 수 있도록 구성했습니다.

 

개념원리 공통수학1 : 104p ~ 108p 

 

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방정식의 목표는 식을 만족하는 근, 해를 구하는 것 입니다.

이차방정식을 보기 전에, 간단하게 중학교때 학습한 일차방정식에 대해 정리하고 넘어 가도록 해봅시다.

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1. 일차방정식 $ax=b$

방정식이므로 식을 만족하는 근, 해를 구하는 것.

즉, $x$의 값을 구해 주기 위해 양변에 $a$를 나눠주면 됩니다. 

미지수를 나눌 때는 해당 값이 0인지 아닌지를 확인하는 것이 매우 중요합니다. 값이 0이라면 나눗셈이 불가능하기 때문이죠. 그렇다면, $a$가 0인 경우와 아닌경우로 case 분류를 해서 $x$의 값을 구해 줄 수 있겠죠?

 

(1) $a \neq 0$ 인 경우 (나누기 가능) $\therefore x = \frac{b}{a}$

 

(2) $a = 0$ 인 경우 $(0 \cdot x = b)$

• $b = 0$ 인 경우 $(0 \cdot x = 0)$,
  $x$에 어느 값을 넣어도 식이 성립 $\therefore$ 해가 무수히 많다.
• $b \neq 0$ 인 경우 $(0 \cdot x = b)$
  $x$에 어느 값을 넣어도 식이 성립 $\therefore$ 해가 없다.
  
  

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2. 이차방정식 

이차방정식은 변수의 최고차가 2인 방정식입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현됩니다:

 

$ax^2+bx+c = 0$

• a : 이차항의 계수이며, $a=0$이면 이차방정식이 아닙니다. 즉,  $a \neq 0$
• n차 방정식에서 근은 n개를 가지므로, 이차방정식은 근을 2개 가지게 됩니다.
• 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라 합니다. 
  (중학교 때는 근을 실수범위에서 구했지만, 고등과정에서는 근을 복소수 범위까지 확장하여 구함)
• 근이 $\alpha$ 또는 $\beta$인 경우 $(x-\alpha)$와 $(x-\beta)$를 인수로 가짐. $a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

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이차방정식 $ax^2+bx+c = 0$ 의 2개의 근을 $ \alpha, \beta$라 하면,

• $x$에 $\alpha$ 또는 $\beta$ 대입시 주어진 식이 성립합니다. 
• 인수정리에 따르면, 다항식 $f(x)$에 대해 $f(a)=0$이면 $(x-a)$는 $f(x)$의 인수 입니다. 
• $a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

추가로,

이차식 $ax^2+bx+c$에 대해 $\alpha$ 또는 $\beta$ 대입시 =0이 성립하므로 $(x-\alpha)$와 $(x-\beta)$를 인수로 가집니다.

∴ $a(x-\alpha)(x-\beta)$

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3. 이차방정식을 푸는 방법 

1. 인수분해가 가능한 경우
   ex)
   $x^2-8x-48 = 0$
   $(x+4)(x-12) = 0$
   → $(x+4)=0$ 이거나 $(x-12)=0$이면 식이 성립 합니다.
   ∴ $x=-4$ 또는 $x=12$
   
   
2. 근의 공식 
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   $b = 2b'$이면 $x = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$
   
   ex) 
   $2x^2 - 4x - 6 = 0$
   $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$
   ∴ $x = \frac{4 + 8}{4} = 3$ 또는 $x = \frac{4 - 8}{4} = -1$
   
   
3. 완전제곱식을 이용한 풀이 
   ex)
   $x^2 - 4x + 3 = 0$
   완전제곱식으로 변형
   $x^2 - 4x = -3 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)^2 - 4 = -3$
   $(x - 2)^2 = 1$
   $x - 2 = \pm 1$
   $x = 3$ 또는 $x = 1$

3가지 풀이 방법이 있지만, 대부분 인수분해나 근의 공식을 많이 이용해 주고 $x^2 = 4$와 같은 최고차와 상수항만 주어져 있는 꼴에서 완전제곱식을 많이 사용해 줍니다. 

 

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4. 근의공식 증명

$ax^2+bx+c=0$

• 1단계: 양변을 $a$로 나눈 후 상수항을 이항
  $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
  
  
• 2단계: 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$을 더한다.
  $x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
  
  
• 3단계: 좌변을 완전제곱식으로 정리하고 우변은 통분
  $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
  
  
• 4단계: $x^2 = A$이면 $x = \pm\sqrt{A}$ 임을 이용한다.
  분모는 $\sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = 2a$ (절댓값 $2a$이지만, 앞에 +,- 두 부호 모두 봐주기 때문에 생략)
  $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
  
  
• 5단계: $x$에 대해 정리하면 다음과 같다.
  $x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
  $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

특히 $x$의 계수 $b$가 짝수일 때, 즉 $b = 2b'$이면
$b^2 - 4ac = (2b')^2 - 4ac = 4(b'^2 - ac)$
따라서 $x = \frac{-2b' \pm \sqrt{4(b'^2 - ac)}}{2a} = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$

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5. 예제문제

개념원리 107p 필수예제 01

(1)번 문제
$(x-2)(2x+1) = (x+3)^2 - 1$ 에서 양변을 전개해 주면,
$2x^2 - 3x - 2 = x^2 + 6x + 8$
$x^2 - 9x - 10 = 0$

• 인수분해가 가능한 경우 입니다. 

$(x+1)(x-10) = 0$
$\therefore x = -1$ 또는 $x = 10$

 

(2)번 문제
양변에 분모의 최소공배수인 $6$을 곱하여 분모를 없애줍니다.
$3(x^2+1) = 2(x^2-2x) - 6$

• 괄호를 이용해 적고 정리하도록 합시다. 

$3x^2 + 3 = 2x^2 - 4x - 6$

$x^2 + 4x + 9 = 0$

• 인수분해가 불가능하므로 근의 공식을 사용해 줍니다. 

 

마지막 단계에서 루트 안의 값이 음수이므로 $i$를 사용하여 허근을 나타낼 수 있습니다. 

$\therefore x = -2 \pm \sqrt{5}i$

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개념원리 107p 필수예제 02 

풀이 tip:)
$x^2$의 계수가 무리수이면 양변에 적당한 무리수를 곱하여 $x^2$의 계수를 유리화한 후 방정식을 풀어줍니다.

 

주어진 방정식의 양변에 $\sqrt{2} + 1$을 곱하여 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$을 이용하여 유리화 
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)x^2 - (\sqrt{2}+1)^2x + 2(\sqrt{2}+1) = 0$
$x^2 - (2\sqrt{2}+3)x + 2\sqrt{2}+2 = 0$

이후 인수분해를 해줍니다. 

$\therefore x = 1$ 또는 $x = 2\sqrt{2}+2$

 

다른 풀이:)

이 문제의 경우 꼭 유리화 하지 않고 바로 인수분해를 해줄 수도 있습니다. 

하지만, 항상 기본 원리는 알아두도록 합시다.

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개념원리 107p 필수예제 02 

문제에서 "이차"방정식이라 하였고 최고차항 $x^2$의 계수가 미지수로 주어져 있는 경우, 최고차계수는 0이 아님 조건을 적고 시작해 줍니다. 

$(a-1)x^2-(a^2-1)x+2(a-1)=0$은 $x$에 대한 이차방정식이므로
$a-1 \neq 0$

$\therefore a \neq 1$

 

이차방정식의 두가지 성질을 이용해 구해보도록 할께요. 

 

풀이1)

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 한 근이 $\alpha$이다.
$\Rightarrow x=\alpha$를 $ax^2+bx+c=0$에 대입하면 등식이 성립한다.

 

이차방정식의 한 근이 $1$이므로 $x=1$을 대입하면
$a-1-(a^2-1)+2(a-1)=0$
$a^2-3a+2=0$

$(a-1)(a-2)=0$
$\therefore a=1$ 또는 $a=2$

 

그런데 $a \neq 1$이므로 $a=2$

$x^2-2x+a^2=0$에 $a=2$를 대입
$x^2-2x+4=0$

• 인수분해가 불가능한 경우이므로 근의 공식을 사용해 줍니다. ($x$의 계수가 짝수 $b=-2, , b'=-1$ )

$x = -(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 1 \cdot 4}$
$x = 1 \pm \sqrt{-3}$
$x = 1 \pm \sqrt{3}i$

 

∴ $x = 1 \pm \sqrt{3}i$

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풀이2)

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근이 $\alpha$ 또는 $\beta$인 경우 
$\Rightarrow (x-\alpha)$와 $(x-\beta)$를 인수로 가짐
$\Rightarrow a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

 

$(a-1)x^2 - (a^2-1)x + 2(a-1) = 0$ 에서 $(a-1)$ 공통 묶음
$(a-1)$ $\left( x^2 - (a+1)x + 2 \right)$ $= 0$

• 한 근이 $1$이므로 $(x-1)$ 인수로 가짐
  최고차, 상수항 맞춰 바로 식세우기

$(a-1)$ $(x-1)(x-2)$ $= 0$

• $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ 이므로 $a+1=3 \therefore a=2$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ 

• 인수분해가 불가능한 경우이므로 근의 공식을 사용해 줍니다. ($x$의 계수가 짝수 $b=-2, , b'=-1$ )

$x = -(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 1 \cdot 4}$
$x = 1 \pm \sqrt{-3}$
$x = 1 \pm \sqrt{3}i$

 

∴ $x = 1 \pm \sqrt{3}i$

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6. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 104p~108p) 백지테스트.hwp

0.02MB

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 104p~108p) 백지테스트.pdf

0.14MB

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