공통수학 1 - 2 - 8. 복소수 - RPM 주요 문제 풀이 2

2단원 - 1. 복소수

✅ 복소수 문제 풀이 | RPM 공통수학 1 (52p) 핵심 정리 & 실전 대비

복소수 개념을 완벽하게 이해하기 위해서는 핵심 개념을 익히고 다양한 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 RPM 공통수학 1 (52p)의 복소수 문제 풀이를 통해 기본 개념을 정리하고, 실전에서 빠르고 정확하게 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.

📌 이 글에서 다룰 주요 내용
✔ 복소수의 기본 개념 및 연산법 정리
✔ 복소수의 순환성과 거듭제곱 패턴 분석
✔ 서술형 문제에서 감점 없이 정확한 풀이 과정 작성법
✔ 실전 대비! 자주 실수하는 부분과 해결 전략

이번 정리를 통해 복소수 문제 풀이에 대한 체계적인 접근법을 익히고, 서술형 시험에서도 감점 없이 정답을 도출하는 연습을 할 수 있습니다. 🚀

 

RPM 공통수학 1 : 52p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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RPM 52p 354번

두 복소수 $\alpha = a + bi$ , $\beta = c + di$ 라고 두고 조건을 봐줄 준비를 합시다.

 

ㄱ. 

$\bar{\alpha} = \alpha \Rightarrow a + b i = a - b i \Rightarrow b = 0$

즉, $\alpha = \bar{\alpha}$이면 $\alpha = a$로 실수

 

$\therefore $ 참

 

ㄴ.

ㄱ,ㄴ,ㄷ 문제에서 참 거짓을 밝힐 때 식적으로 보기 힘들다면 반례를 이용해 참 거짓을 밝혀 주는 방법도 있습니다. 

" 'p' 이면 'q'이다." 라는 문장의 참 거짓을 생각해 준다면, 'p'이지만 'q'가 아닌 예를 찾으면 p이면 전부 q라고 할 수 없으므로 거짓이라는 것을 알 수 있겠죠.

 

$\alpha^2 + \beta^2 = 0$

$(a^2 - b^2 + c^2 - d^2) + (2ab + 2cd)i = 0$

식적으로 $a,b,c,d$의 값을 구하기 어렵습니다. 

 

반례를 찾아주는 풀이로 생각해보면, 

$\alpha^2 + \beta^2 = 0$이면 $\alpha = \beta = 0$ 이냐고 물었으므로 

$\alpha^2 + \beta^2 = 0$이지만 $\alpha = \beta = 0$이 아닌 예를 생각

 

$\alpha = 1$, $\beta = i$라 하면

$\alpha^2 + \beta^2 = 1 + i^2 = 0$ 이지만 $\alpha = \beta = 0$이 아님

 

$\therefore $ 거짓

 

 

ㄷ.

복소수는 각각 적용 가능하다. 개념7. 켤레 복소수의 성질을 이용하여 식을 차근차근 하나씩 전개해 주시면 됩니다. 

켤레 적용 전 먼저 전개 후 켤레를 각각 적용시켜 주셔도 좋습니다. 

 

$\therefore $ 거짓

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RPM 52p 355번

$z = a + b i$, $\omega = c + d i$ 라 하면

• 조건 1
  실수 아닌 두 복소수이므로 $b \neq 0$, $d \neq 0$
  
  
• 조건 2
  $z + \omega = (a + c) + (b + d)i$ = 실수
  $\therefore b + d = 0$
  $\Rightarrow$ $z = a + b i$, $\omega = c - b i$
  
  
• 조건 3
  조건 2의 결론을 적용시켜 구하면 $z \omega = (a + b i)(c - b i) = a c + b^2 + (b c - a b)i$ = 실수
  $\therefore b c - a b = 0$
  $b c - a b = b(c - a) = 0$ → $b \neq 0$ 또는 $c - a = 0$
  조건 1에 의해 $b \neq 0$ 이므로 $c = a$
  $\therefore z = a + b i$, $\omega = a - b i$

💡 둘의 관계를 보면 서로 켤레관계인 것을 알 수 있습니다. 

즉, 실수가 아닌 복소수가 $z + \omega$ , $z \omega$ 값이 실수라면 서로 켤레 관계인 것이죠. 

켤레 관계의 두 복소수 ↔ 합&곱 실수

$\therefore \bar{z} = \omega$, $\bar{\omega} = z$

 

ㄱ.

$\overline{z - \omega} = \overline{z} - \overline{\omega} = \omega - z \quad (\neq z + \omega)$

$\therefore $ 거짓

 

ㄴ.

$\overline{z} - \omega = z - \overline{\omega}$

$\omega - \omega = z - z$

$0 = 0$

$\therefore $ 참

 

ㄷ.

$\overline{\left( \frac{\omega}{z} \right)} = \frac{\overline{\omega}}{\overline{z}} = \frac{z}{\omega}$

$\therefore $ 참

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RPM 52p 356번 

★ ★ 복소수 $\alpha$가 실수이면 $\alpha = \overline{\alpha}$ ★ ★

이 생각을 이용해서 풀어주는 문제가 고난도 문제에서 꽤 자주 등장하는 편입니다.

 

문제의 주어진 $z$를 식으로 두고 실제로 $\frac{1}{z^2 - 1}$의 값이 실수가 되게 미지수를 정하여 풀어 줄 수도 있겠지만, 풀이가 복잡해지므로 이 개념을 이용해 풀어보도록 하겠습니다. 

 

$\frac{1}{z^2 - 1}$가 실수이므로 $\frac{1}{z^2 - 1} = \overline{\left( \frac{1}{z^2 - 1} \right)}$

• 양변 역수 취해주면

$z^2 - 1 = \overline{z^2 - 1}$

• 켤레 각 각 적용 가능

$z^2 - 1 = \overline{z}^2 - 1$

$z^2 = \overline{z}^2$

• 참고 : ) $x^2 = A \Rightarrow x = \pm\sqrt{A}$
• $z^2 = \overline{z}^2 \Rightarrow z = \pm\sqrt{\overline{z}^2} \Rightarrow z = \pm \overline{z}$

$\therefore z = \overline{z}$ 또는  $z = -\overline{z}$

• $z = \overline{z}$은 $z$가 실수라는 의미인데
• 문제에서 허수 $z$라 하였으므로

$\therefore z = -\overline{z}$

$\therefore z + \overline{z} = 0$

답: ④

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RPM 52p 358번 

구하고자 하는 식을 전개하면, 

$(z_1 - 1)(2z_2 - 1)$
$= 2z_1z_2 - (z_1 + 2z_2) + 1$

• $z_1z_2$와 $z_1 + 2z_2$의 값을 구하기 위해
• 주어진 식의 양변을 켤레를 시켜줍니다. 
• 개념7. 켤레 복소수의 성질에 의해 켤레 각각 적용 가능

$= 2(3 + 4i) - (2 - 5i) + 1$
$= 5 + 13i$

 

$\therefore $ $= 5 + 13i$

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RPM 52p 359번 

풀이1) 

💡 곱 관계가 조건으로 나왔을 때 역수관계로 바꿔 풀어주는 경우가 많습니다. (참고 : 개념원리 94p 연습문제 182번)

$\overline{\alpha} \beta = -1$ → $\overline{\beta} = -\frac{1}{\alpha}$

이를 이용하여 첫번째 주어진 식에 대입해 주면, 

$\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} - \frac{1}{\alpha} = i$

 

이후 구하고자 하는 것을 구해주면, 

$\therefore $ 4번

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풀이2) 

분수꼴 식이 주어지면 통분하여 값을 구해 주는 풀이도 많이 하죠. 

늘 구하고자 하는게 무엇인지 생각하고 식을 등호를 이용해 꼴을 변형해가며 이어적을 수 있어야 합니다. 

$\therefore $ 4번

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RPM 52p 360번 

곱 관계가 주어졌을 때, 역수 관계로 바꾸는 것! 자주 쓰이니 늘 인지해 두도록 합시다. 

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