공통수학 1 - 2 - 5. 방정식과 부등식 - 복소수 개념정리

2단원 - 1. 복소수

복소수 개념정리 

복소수 개념을 확실히 익히려면 직접 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 개념원리 공통수학 1 (95p~99p)의 복소수 연습문제 풀이를 통해 핵심 개념을 정리하고, 실전 문제 해결력을 높이는 방법을 배웁니다.

✔️ 복소수의 순환성과 $i$의 거듭제곱 패턴 정리
✔️ 복소수 연산 시 실수하기 쉬운 부분 분석
✔️ 개념원리 연습문제 95p~99p 풀이 및 해설 제공

복소수 문제 풀이를 통해 실력을 높이고, 서술형 시험에서도 감점을 피할 수 있도록 풀이 과정을 체계적으로 정리했습니다. 이 글을 통해 복소수를 완벽하게 이해하고, 문제 해결 능력을 키워보세요! 🚀

 

개념원리 공통수학 1 : 95p~ 99p

 

"모바일 접속 시 함수가 보이지 않을 수 있습니다. 태블릿이나 컴퓨터 또는 chrome(크롬)을 이용해 접속해 주세요."

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1-1. 복소수의 순환성 

허수단위 $i$는 $i^2 = -1$을 만족하는 수입니다.

$i$는 순환성을 가지며, 거듭제곱을 하나씩 계산해보면 다음과 같은 패턴이 나타납니다. 

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i \times i^2 = i \times (-1) = -i$
• $i^4 = i^2 \times i^2 = (-1) \times (-1) = 1$

$i^4 = 1$ 값이 1로 초기화가 되면서 순환성을 가진 다는 것을 알 수 있습니다. 

• $i^5 = i^4 \times i = (1) \times (i) = i$
• $i^6 = i^4 \times i^2 = (1) \times (i^2) = -1$
• $i^7 = i^4 \times i^3 = (1) \times (i^3) = -i$
• $i^8 = i^4 \times i^4 = (1) \times (i^4) = 1$

이처럼 $i^4 = 1$ 을 기준으로 $i$ 거듭제곱의 값이 $i, -1, -i, 1$ 순서로 반복됩니다.

결국 $i$는 이와 같은 순환성을 가지게 됩니다. 

• $i$의 값을 가지는 지수를 보면, 1,5,9,13,...으로 4로 나누었을때 나머지가 1인 경우입니다.
  이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+1 형태로 표현할 수 있습니다.
• $-1$의 값을 가지는 지수를 보면, 2,6,10,14,...으로 4로 나누었을때 나머지가 2인 경우입니다.
  이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+2 형태로 표현할 수 있습니다.
• $-i$의 값을 가지는 지수를 보면, 3,7,11,15,...으로 4로 나누었을때 나머지가 3인 경우입니다.
  이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+3 형태로 표현할 수 있습니다. 
• $1$의 값을 가지는 지수를 보면, 4,8,12,16,...으로 4로 나누었을때 나머지가 4 , 즉 나누어 떨어지는 경우입니다.
  이를 (나누는 수)X(몫)+(나머지) 관점에서 식을 세우면 4n+4 (즉, 4n) 형태로 표현할 수 있습니다. 

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이에 의해 만들어지는 성질 3가지도 함께 정리하도록 합시다.!

개념 8.복소수의 순환성
$i = i^1 = i^5 = \cdots = i^{4n+1}$
$-1 = i^2 = i^6 = \cdots = i^{4n+2}$
$-i = i^3 = i^7 = \cdots = i^{4n+3}$
$1 = i^4 = i^8 = \cdots =i^{4n+4 \approx 4n}$

◎성질 
1) $i^{4n+1} + i^{4n+3} = 0$
2) $i^{4n+2} + i^{4n} = 0$
3) $i^{4n+1} + i^{4n+2} + i^{4n+3} + i^{4n} = 0$

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1-2. 복소수들간의 사칙 연산시 주의해야 할점

지금까지 배운 복소수들간의 연산에 대해 생각해보자면,

개념1. 허수의 도입에서 주의해야 할 점으로 $i$를 이용해 정리해 줄 때 , $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수여야 한다고 언급한 적이 있습니다. 

 

그러고 간단하게 학교에서 자주 출제되는 유형으로 잘못계산했을 때 1이 -1과 같다는 결론이 나오므로 $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 먼저 정리 한 후 계산해줄 것을 강조 했었습니다. (이전글 보러가기)

 

이 글에서 이 부분에 대해서 좀 더 자세하게 다뤄보도록 할께요. 

몇가지 예를 보도록 하겠습니다. 

 

$i$를 이용해 정리하지 않고 루트안의 수를 바로 곱해 푸는 잘못된 풀이와, $i$를 이용해 $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 푸는 정확한 풀이 2가지로 풀고 비교해 보도록 하겠습니다.

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• 예제1) $\sqrt{-3} \times \sqrt{2}$

정확한 풀이 $= \sqrt{3}i \times \sqrt{2} = \sqrt{6}i \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{-6} = \sqrt{6}i \quad (\text{X})$

결론적으로는 값이 같다는 것을 알 수 있습니다. 

 

• 예제2)$\sqrt{-3} \times \sqrt{-2}$

정확한 풀이 $= \sqrt{3}i \times \sqrt{2}i = -\sqrt{6} \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{(-3)(-2)} = \sqrt{6} \quad (\text{X})$

여기서는 결론 값이 다르다는 것을 알 수 있습니다. 

 

잘못된 풀이를 생각해보면 루트 안의 수끼리 곱해주면서 마이너스 부호가 사라지게 됩니다. 

 

문자로 정리하면 다음과 같습니다.

• $a < 0, b < 0$ 인 경우: $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
• 그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

간단하게 정리하자면, $\sqrt{a} \sqrt{b}$ 를 계산할때 둘다 음수 인경우 $-$ $\sqrt{ab}$가 결론으로 나오고, 이외의 경우는 사실 잘못계산해줘도 사실 결론은 같구나 라고 정리할 수 있습니다. 

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• 예제3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

정확한 풀이 $= \frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{-\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{X})$

결론적으로는 값이 같다는 것을 알 수 있습니다. 

• 예제 4) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}$

정확한 풀이 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}i} \times \frac{i}{i} = \sqrt{\frac{2}{3}} \frac{i}{i^2} = -\sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{O})$

잘못된 풀이 $= \sqrt{\frac{2}{-3}} = \sqrt{-\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}i \quad (\text{X})$

여기서는 결론 값이 다르다는 것을 알 수 있습니다.

 

잘못된 풀이를 생각해보면, 분모의 $i$를 실수화 시키는 과정에서 -(마이너스)가 생긴다는 것을 알 수 있습니다. 그러면서 부호가 바뀌게 되는데요.

 

문자로 정리하면 다음과 같습니다.

• $a < 0, b > 0$ 인 경우: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
• 그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

간단하게 정리하자면, $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$를 계산할때 분모가 음수고 분자가 양수인 경우 $ -\sqrt{\frac{b}{a}}$라는 결론이 나오고, 이외의 경우는 잘못 계산해줘도 사실 결론은 같구나 라고 정리할 수 있습니다. 

 

이처럼 어떤때에는 값이 다르고 어떤때에는 값이 같기 때문에 정확한 풀이를 위해서는 루트안에 음수가 나온경우 $i$를 이용해  $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀어주자 라는 결론이 나오게 됩니다.

특수 케이스만 외워서 문제를 푸셔도 되지만, 기본 규칙은 무엇인지 알고 푸는 것이 중요합니다.

나중에 개념원리 99p 필수예제 11번 문제에서도 이 두가지로 설명하도록 해볼께요!

 

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
$i$를 이용해  $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기

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$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

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(추가)
$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ → $a < 0, b > 0$ 또는 $b=0$

 

(추가)를 보면

$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ 식을보고 반대로 $a,b$의 부호를 뽑을 수 있습니다.

그런데, 여기서는 방정식이기 때문에,

• $a=0$인 경우 좌변 우변이 0이되서 성립하고
• $b=0$인 경우도 좌변 우변이 0이 되면서 등호가 성립하게 됩니다.

 

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ 식을 보고도 $a,b$의 부호를 뽑을 수 있습니다.

여기서도 방정식이기 때문에,

• $b=0$인 경우도 좌변 우변이 0이 되면서 등호가 성립하게 됩니다.
• $a$는 분모에 있으므로 분모는 0이 될 수 없어 $b=0$만 가능하게 됩니다. 

 

💡 반대로 해석시에는 방정식 특성상 0인 경우도 등호가 성립하니 꼭 주의 하도록 합시다!

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1-3. 예제문제

개념원리 97p 필수예제 09

(1)번 문제 

복소수의 순환성이 보이도록 정리해 줍니다. 

• $i^{4n+1} + i^{4n+2} + i^{4n+3} + i^{4n} = 0$ 이므로 각각의 가로줄의 합은 0
• 즉, $i + i^2 + \cdots + i^{200} + i^{201}$ 에서 $i^{200}$까지의 합은 $0$
• $i + i^2 + \cdots + i^{200} + i^{201} = i^{201}$
• $201$은 $4$로 나누었을 때 나머지 $1$이므로 $i^{201} = i^{4n+1} = i$

∴$i$

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(2)번 문제

여기서도 복소수의 순환성이 보이도록 정리해 주면 좋습니다. 

 

$i$와 $i^3$, $i^2$과 $i^4$는 서로 부호 반대 관계라서 💡 역수를 시켜줘도 합이 $0$이 됩니다.

• $\frac{1}{i} + \frac{1}{i^3} = \frac{1}{i} + \frac{1}{-i} = \frac{1}{i} - \frac{1}{i} = 0$
• $\frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^4} = \frac{1}{-1} + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0$
• 이렇게 4개씩의 합은 0이 됩니다.

이렇게 1을 따로 빼두고 계산하면 바로 4의 배수인 $\frac{1}{i^{48}}$까지의 합이 딱 0이 되므로 계산하기가 편리합니다.

 

남은 계산을 마무리 해주면, 

$= 1 + \frac{1}{i^{49}} + \frac{1}{i^{50}}$

• $49$는 $4$로 나누었을 때 나머지 $1$, $i^{49} = i^{4n+1} = i$
• $50$은 $4$로 나누었을 때 나머지 $2$, $i^{50} = i^{4n+2} = i^2$

$= 1 + \frac{1}{i} + \frac{1}{i^2}$

• 실수화 : $\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = -i$
• $\quad i^2 = -1$

$= 1 - i - 1$

$= -i$

 

$\therefore$ (주어진 식) $= -i$

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개념원리 98p 필수예제 10

(1),(2)풀이 처럼 간단한 형태가 나올때 까지 거듭제곱을 직접 한 후 주어진 식을 계산하는 방법과

(3) 풀이 처럼 괄호안의 식을 간단하게 먼저 정리하고 난 후 주어진 식을 계산하는 방법 2가지 풀이로 나뉘게 됩니다. 

 

(1)번 풀이

$(1 + i)^1 = (1 + i)$

$(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음 / 이를 이용하여 주어진 식 표현

 

$(1 + i)^{10} = ((1 + i)^2)^5 = (2i)^5 = 32i^5 = 32i$

∴$32i$

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(2)번 풀이 

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^1 = \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)$

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1 - 2i - 1}{2} = -i$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음  / 이를 이용하여 주어진 식 표현

 

$\left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^{50} = \left( \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right)^2 \right)^{25} = (-i)^{25} = -i^{25} = -i^1 = -i$

∴$-i$

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(3)번 풀이 

괄호 안의 식을 실수화하여 간단하게 정리해 줍니다. 

 

괄호안의 값만 정리한 것입니다. 지수에는 영향이 없어요. 

$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{502} + \left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^{502}$

$= (i)^{502} + (-i)^{502}$

$= i^2 + i^2$

$= -2$

∴$-2$

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(3)번도 (1),(2)번 풀이 처럼 계산이 가능합니다. 

(3)번풀이 추가

$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^2 = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)^2} = \frac{1 + 2i - 1}{-2i} = \frac{2i}{-2i} = -1$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음 

$\left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^2 = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)^2} = \frac{1 - 2i - 1}{2i} = \frac{-2i}{2i} = -1$ → 거듭제곱하기 편리한 단항식 꼴 나왔음 

 

$\left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{502} + \left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^{502}$

$= \left( \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^2 \right)^{251} + \left( \left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^2 \right)^{251}$

$= (-1)^{251} + (-1)^{251}$

$= -2$

∴$-2$

 

이 문제에서 방법 두가지를 섞어 풀면서 실수가 많이 나더라구요.

등호가 성립하도록 식을 이어적는 것을 계속 연습하도록 합시다.

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개념원리 99p 필수예제 11

복소수의 사칙연산시 주의해야할 점을 생각하며 개념설명에서 언급한 두가지 방법으로 풀어보도록 하겠습니다. 

 

방법1) $i$를 이용해  $\sqrt{}$ 안의 남은 수는 양수로 정리해 풀기

$\sqrt{-3} \sqrt{12} + \sqrt{-3} \sqrt{-12} + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} + \frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}}$

• $i$를 이용해 루트 안에 양수만 남도록 정리

$= \sqrt{3}i \sqrt{12} + \sqrt{3}i \sqrt{12}i + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}i} + \frac{\sqrt{12}i}{\sqrt{3}i}$

• $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{12} \cdot i}{\sqrt{3}i \cdot i} = -\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}i = -\sqrt{\frac{12}{3}}i$
• $\frac{\sqrt{12}i}{\sqrt{3}i}$에서 $i$는 약분되고 $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}}$

$= \sqrt{36}i + \sqrt{36}i^2 - \sqrt{\frac{12}{3}}i + \sqrt{\frac{12}{3}}$

$= 6i - 6 - 2i + 2$

$= 4i - 4$

 

∴$-4 + 4i$

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방법2) 특수한 케이스만 외워서 풀기

$a < 0, b < 0$ 인 경우 → $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$
그 외의 경우는: $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$a < 0, b > 0$ 인 경우 → $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
그 외의 경우는: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

 

$\sqrt{-3} \sqrt{12} + \sqrt{-3} \sqrt{-12} + \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} + \frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}}$

• $\sqrt{-3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{-36} = 6i$ ← 그 외의 경우 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
• $\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-12} =$ $-$ $\sqrt{(-3)(-12)} = -6$ ← $a < 0, b < 0$ 인 경우 $\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$$\sqrt{ab}$
• $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}} =$ $-$ $\sqrt{-\frac{12}{3}} = -\sqrt{-4} = -2i$ ← $a < 0, b > 0$ 인 경우 $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$
• $\frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{-12}{-3}} = \sqrt{4} = 2$ ← 그 외의 경우 $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$

$= 6i - 6 - 2i + 2$

$= 4i - 4$

∴$-4 + 4i$

 

둘중 꼭 하나만을 공부해야한다면 개인적으로 첫번째 풀이방법을 연습하는게 맞다고 생각합니다.

방법1)의 경우 몇번 제대로 써가며 연습하다보면 자연스럽게 계산과정도 생략되고 빨라질 것입니다.

그렇다고 방법2)의 경우가 안좋은 풀이라는 것은 아니고 둘다 해두시는게 제일 좋습니다.

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개념원리 99p 필수예제 12

개념 9. 복소수들간의 사칙연산시 주의해야할 점
...
(추가)
$\sqrt{a} \sqrt{b} =$ $-$ $\sqrt{ab}$ → $a < 0, b < 0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =$ $-$ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ → $a < 0, b > 0$ 또는 $b=0$

위의 개념을 사용하는 문제 입니다. 

 

• $\sqrt{a} \sqrt{b} = -\sqrt{ab}$ 조건이 주어졌습니다.

$a < 0, b < 0$ 또는 $a = 0$ 또는 $b = 0$으로 3가지 경우가 가능한데,

이 아닌 두 실수 $a, b$라 하였으므로 $a < 0, b < 0$인 경우입니다.

 

 

$\sqrt{A^2} = |A|$입니다. 절댓값 안의 식이 양수면 그대로, 음수면 $-$ (마이너스) 부호를 달고 나옵니다.

 

★계산 실수가 많은 학생이라면,

절댓값 안의 식이 양수면 절댓값 기호를 괄호로, 음수면 절댓값 기호를 괄호로, 괄호 앞 부호 바꾸기 이렇게 생각하며 익숙해지도록 합시다. 

 

이게 더 복잡한데요? 하는 학생들도 있을 수 있겠지만 많은 학생들한테 여러가지 방법으로 알려줘 봤을 때 이렇게 연습하는것이 계산실수가 가장 적고 효과가 좋더라구요..! 계산실수가 많은 학생이라면 속는셈 치고 한번 해보도록 해봐요!!

 

절댓값을 계산할 때는 이 STEP 3개로 팍팍 치고 넘어가도록 합시다.

처음에는 조금 안익숙 하더라도 3가지 스탭이 익숙해지면 식을 어떻게 쓸지 판단하는 과정이 줄기 때문에 속도도 엄청 빨라질꺼에요.

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1-4. 추가자료 

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 95p~99p) 백지테스트.pdf

0.14MB

2단원-1. 복소수 (개념원리 공통수학1 95p~99p) 백지테스트.hwp

0.03MB

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."