공통수학 1 - 2 - 12. 이차방정식의 활용과 가우스 기호를 포함한 방정식

2단원-2. 이차방정식

이차방정식은 수학에서 가장 중요한 개념 중 하나로, 실생활 문제를 해결하는 데 널리 활용됩니다. 특히 가우스 기호를 포함한 방정식, 이차방정식의 활용 문제, 근의 범위를 고려한 풀이법 등은 학생들이 자주 어려움을 겪는 부분입니다. 또한, 학교 서술형 대비 필수 개념 정리, 가우스 기호의 활용법, 문제 풀이 전략 등을 함께 다루어 효과적인 학습을 돕겠습니다.

 

개념원리 공통수학1 : 110p ~ 111p

 

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1. 이차 방정식의 활용

활용파트의 경우 주의해야 할 점은, (특히 서술형에서 주의!!)

1. 미지수를 잡은 $x$의 값 → 상황에 따른 범위 생각하기
2. 주어진 상황에 맞게 답을 작성하기 (단위 중요 ★)

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개념원리 110p 필수예제 05 

이차방정식 활용 파트 문제 입니다. 활용파트는 학교 서술형에서 문제 내용에 맞는 $x$범위를 꼭 언급해줘야 합니다.

 

문제에서 구하고자 하는 길의 폭을 $x$라 미지수 둡니다. 

• 여기서, 길의 폭이 12m 를 넘어가면 정사각형의 모든 면적이 길이 되는 것
  → $x$는 12 미만이여야 함
• 길의 폭이 0이면 길이 없는 것이므로
  → $x$는 0 초과여야 함

∴ 길의 폭 = $x$ , $0<x<12$

 

하나의 꽃밭을 옮겨 하나의 사각형으로 만들어 줍니다.

가로, 세로 길이는 $12-x$인 정사각형이 됩니다. 

• 남은 꽃밭의 넓이가 100 → $(12-x)^2=100$
• $x^2 - 24x + 44 = 0$
• $(x - 2)(x - 22) = 0$
• $x=2$ 또는 $x=22$
• $0<x<12$ 이므로 $x=2$

tip:) 학교 서술형에서는 위의 계산과정을 꼭 적어줘야 하지만 만약 객관식 풀이라면 $(12-x)^2=100$ 여기서 $10^2=100$임을 생각해 바로 $12-x = 10$ → $x=2$ 라고 결론을 내주셔도 됩니다.

 

∴ 2m ( ← 상황에 맞게 답을 적어주기 / 단위 중요)

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2. 가우스 기호를 포함한 방정식 

교육과정 외 이긴하지만 꼭 알아야하는 내용입니다! 넘기지 말고 공부하고 가도록 합시다~!!

 

$[x]$ : 실수 $x$에 대하여 $x$보다 크지 않은 최대의 정수

• $[]$ 기호를 가우스 기호라 함
• $[x]$ : 가우스 $x$라 읽음
• 크지 않은 최대 정수 = 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

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예를 들어 보도록 할께요. 

예1) $[3]$

= 3보다 크지 않은 최대의 정수

= 3보다 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

∴ $[3] =3$

 

예2) $[1.5]$

= 1.5보다 크지 않은 최대의 정수

= 1.5보다 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

∴ $[1.5] =1$

 

예3) $[-3.2]$

= -3.2보다 크지 않은 최대의 정수

= -3.2보다 작거나 같은 범위에서의 최대 정수

∴ $[-3.2] =-4$

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일반화

$[x]$에서

1. $x = n$일 때,  $[x] = n$
2. $n< x < n+1$일 때, $[x] = n$
3. $x = n+1$일 때,  $[x] = n+1$

즉, $n \leq x < n+1$ 이면 $[x] = n$ , 역으로 $[x] = n$ 이면 $n \leq x < n+1$ 임을 알 수 있습니다.

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3. 가우스 기호를 포함한 방정식 2가지 유형

가우스 기호를 포함한 방정식에는 크게 2가지 유형이 있습니다. 

1. 모든 미지수가 $[x]$인 경우
2. 일부만 $[x]$이고 $x$의 범위가 주어진 경우

1번 유형의 경우, $[x] = t$로 치환하여 풀이해 줍니다. 이후, $t$의 값을 구하고 해당되는 $x$의 값을 구합니다.

2번 유형의 경우, 같은 $[x]$값을 가지는 $x$기준으로 범위를 나누어 풀이해 줍니다.

 

예제 문제를 보면서 설명해보도록 할께요.

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개념원리 111p 219 (1) - 1번 유형

식에서 $x$가 주어진 것이 없고 미지수가 전부 $[x]$로 주어져 있습니다. 

이런경우 $[x] = t$로 치환하여 풀이해 줍니다.( 1번유형)

 

$[x]^2 - 12[x] + 32 = 0$ ← 모든 미지수 $[x]$

$t^2 - 12t + 32 = 0$  ← $[x] = t$ 치환

$(t-4)(t-8) = 0$

$t = 4$ 또는 $t = 8$

$[x] = 4$ 또는 $[x] = 8$

• $[x] = 4$ 이면 $4 \leq x < 5$
• $[x] = 8$ 이면 $8 \leq x < 9$

$\therefore 4 \leq x < 5$ 또는 $8 \leq x < 9$

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개념원리 111p 219 (2) - 2번 유형

식에서 미지수가 $x$와 $[x]$가 함께 등장 합니다. 

같은 $[x]$값을 가지는 $x$기준으로 범위를 나누어 풀이해 줍니다.

 

문제의 주어진 $x$범위는 $1<x<2$ 입니다.

이 범위 중에서 

• $1< x < 2$에서는 $[x] = 1$
• $2 \leq x < 3$에서는 $[x] = 2$

이렇게 범위를 나눠 풀이하도록 하겠습니다.

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$1< x < 2$인 경우 ($[x] = 1$)

$x^2-[x]-3 = 0$

$x^2-1-3 = 0$ ← $[x] = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm \sqrt{2}$

$1< x < 2$에 해당되는 $x$값 존재하지 않음

 

$2 \leq x < 3$인 경우 ($[x] = 2$)

$x^2-[x]-3 = 0$

$x^2-2-3 = 0$ ← $[x] = 2$

$x^2 = 5$

$x = \pm \sqrt{5}$

$2 \leq x < 3$ 해당되는 $x = + \sqrt{5}$

 

∴ 최종해 : $x = + \sqrt{5}$

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4. 추가자료

개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)

이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다. 

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 110p~111p) 백지테스트.hwp

0.02MB

2단원-2. 이차방정식 (개념원리 공통수학1 110p~111p) 백지테스트.pdf

0.14MB

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