1단원-1. 다항식의 연산
이번글에서는 다항식에서 사용하는 용어와 기본 법칙을 정리하고 중학교 때 배운 지수 법칙에 대해 정리하려고 합니다. 아마 중학교때 한번 배웠던 내용이라 많이 어렵지는 않을꺼에요. 혹시나 중학교 과정이 기억이 안난다고 하더라도 이번 기회에 정확히 배워서 예제문제로 연습하며 체화시키길 바랍니다.
개념원리 공통수학1 : 10p ~ 13p
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1-1. 다항식에서 사용하는 용어
항 : 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식, "+로 연결된 각각"을 의미 (항상 부호와 같이 생각)
단항식 : 항이 1개 밖에 없는 식
다항식: 항이 하나 이상 있는 식
- 예제 : $x^2 + 2xy - 5$ 항은 몇개일까요 ?
답 :
총 3개 입니다. +기준으로 끊어서 생각하되, 항상 부호와 같이 항을 읽어 주셔야 해요. - (마이너스)가 있다면 함께 묶어서 생각해주셔야 합니다. 조금 헷갈린다면 -(마이너스)앞에 +가 생략되어있다고 생각해주셔도 됩니다. 그렇다면, 항이 3개 있으니까 이 식은 다항식이라고 할 수 있습니다. $2xy$ 의 경우 '2 곱하기 $x$ 곱하기 $y$' 로 서로 곱하기로 연결되어있는 것이기 때문에 하나의 항으로 봐줘야 합니다. 더하기 기준으로 끊어 읽어줘야 한다는 것을 꼭 기억합시다.
- 예제 : $x^2 \times y$ 는 항이 몇개 일까요?
답 : $x,x,y$가 서로 곱하기로 연결 되어있기 때문에 하나의 항이라고 할 수 있습니다. 우리는 이렇게 하나의 항으로 이루어진 식을 보고 단항식이라고 합니다.
차수 : 기준 문자가 곱해져 있는 횟수
계수 : 기준 문자 이외의 부분
상수항 : 기준 문자를 포함하지 않는 항
- 예제 : $x^3 y$ → $x$에 관한 ▣차, $y$에 관한 ▣ 차 , $x, y$에 관한 ▣ 차
답 : 3, 1, 4 입니다. 이 식은
- 기준문자를 $x$라고 보면, $x$가 3번 곱해져 있기 때문에 '$x$에 관한 3차'
- 기준문자를 $y$라고 보면, $y$가 1번 곱해져 있기 때문에 '$y$에 관한 1차'
- 기준문자를 $x, y$라고 보면, $x, y$가 각각 3개 1개로 총 4개가 곱해져 있기 때문에 '$x, y$에 관한 4차'
이렇게 기준 문자가 몇번 곱해졌는지로 차수를 알 수 있습니다. 추가로, 하나의 항으로 이루어져 있으니 단항식이라고 할 수 있네요!
- 예제 : $3x^2 - 4x - 5$ 의 각 항의 계수는?
답 : $x^2$의 계수: 3, $x$의 계수: -4, 상수항: -5
- $x$가 2번 곱해져 있는 제일 앞의 항이 $x$에 관한 2차 항이라고 할 수 있습니다. 기준문자인 $x$외에 앞에 곱해져 있는 3이 이 항의 계수라고 할 수 있어요.
- $x$가 1개 있는 중간에 있는 항이 $x$에 관한 1차 항이라 할 수 있습니다. 기준문자인 $x$외에 앞에 곱해져 있는 $-4$가 이 항의 계수라고 할 수 있습니다.
- 제일 끝에있는 $-5$의 경우 기준문자인 $x$가 하나도 없기 때문에 상수항이라고 할 수 있어요.
다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수를 보고 식의 이름을 붙여 줍니다. 위의 식의 경우 기준 문자인 $x$가 곱해진 횟수가 2번이 가장 많기 때문에 이 식의 이름을 ' $x$에 관한 2차 식' 이라고 합니다.
동류항 : 문자와 차수가 같은 항
- 예제 : $5x^2$ , $2x$ 는 동류항 일까요 ?
답 : 동류항이 아닙니다. 문자는 $x$로 동일 하지만 차수가 왼쪽은 2차, 오른쪽은 1차 입니다.
- 예제 : $5x^2$, $y^2$ 은 동류항 일까요?
답 : 동류항이 아닙니다. 차수는 2차로 동일 하더라도 문자가 $x$, $y$로 달라요 !
이처럼 '문자'와 '차수' 2가지다 같아야 동류항이라고 할 수 있습니다.
- 예제 : $2x^2$, $7x^2$ 은 동류항 일까요?
답 : 동류항입니다. 문자가 $x$로 같고 차수도 2차로 동일하기 때문에 동류항이라고 할 수 있어요.
동류항끼리는 앞의 계수를 서로 더하고 빼줄 수 있어요. 예를 들어, 3개 - 2개 = 1개인 것 처럼 $3x - 2x = 1x$ 입니다. 그렇기 때문에 복잡한 식이 나오더라도 동류항끼리 계산을 해서 간단하게 정리해 줄 수 있습니다.
1-2. 다항식의 정리
$3x^2 - 2 + 4x^4 - 7x$
- 내림차순 정리 : 차수가 높은 항부터 낮은 항 순으로 나타내는 것 $4x^4 + 3x^2 - 7x - 2$ ← 차수가 내려감
- 오름차순 정리 : 차구사 낮은 항부터 높은 항 순으로 나타내는 것 $-2 - 7x + 3x^2 + 4x^4$ ← 차수가 올라감
이렇게 기준문자를 $x$로 보고 차수가 내려가면 내림차순 정리, 차수가 올라가면 오름차순 정리라고 합니다.
- 예제 : $2x^2 + 3xy^2 - 2x + 4y - 3$ 를 $y$에 관하여 내림차순 정리하세요.
답 :
$y$에 관하여 내림차순 정리하라 하였으므로, $y$ 가 '기준문자'가 됩니다.
- $y$ 가 가장 많이 곱해져 있는 $3xy^2$가 가장 높은 2차항이라 제일 앞에 위치합니다.
- $4y$가 1차 항이라 두번째에 위치합니다.
- 나머지 $- 3 - 2x + 2x^2 $이 세개의 항은 기준문자인 $y$가 하나도 없는 상수항입니다. 그래서 제일 끝에 위치하게 정리해 주시면 됩니다.
이렇게 기준이 되는 문자를 제외한 나머지는 상수로 생각하도록 해주세요.
1-3. 예제 문제
추가로 몇가지 문제를 보면서 부족한 개념을 채우고 배운 내용을 적용하고 정리해보도록 할께요.
설명할 문제 : 개념원리 12p 3번, 13p 필수예제 01, 13p 필수예제 02
먼저 풀어보고 제 풀이와 비교해보는 걸 추천하지만, 너무 어렵다면 바로 아래의 풀이를 보고 밑에 예제문제는 혼자힘으로 풀어보도록 해요! 대신, 배운 풀이과정을 적용해가면서 풀려고 노력해야 실력이 금방 늘지 풀이 방법과 생각을 배워두고 결국 예제에서 마음대로 풀면 실력이 빨리 늘지 않을꺼에요. 오래걸리더라도 첫회독은 꼭 꼼꼼하게 풀어보도록 합시다.
개념원리 12p 3번
다항식의 덧셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다. 생각보다 그냥 넘어가기 쉬운 개념이지만, 빈칸으로 물어보면 또 대답하기는 애매한 그런 문제인것 같더라구요 ! 물어보면 뭔지는 알고 있어야합니다. 이 문제로 간단히 정리만 해두는 걸로 합시다.
"다항식의 덧셈에 대한 성질" 정리
세 다항식 $A, B, C$에 대하여
(1) 교환법칙: $A + B = B + A$
(2) 결합법칙: $(A + B) + C = A + (B + C)$
개념원리 13p 필수예제 01
★☆ 다항식 계산 key point ★☆
1. 주어진 식을 간단히 정리 후 대입
2. 괄호 사용
3. 동류항끼리 계산하면서 (계산한건) X체크
풀이는 (2)번만 하도록 할께요.
주어진 식을 간단히 정리를 먼저 해줍니다.
이후 괄호를 이용해 꼭 적어주세요. 여기서 계산실수가 가장 많이나와요.
계속 괄호로 정리하면서 적어가며 풀다보면 어느순간에는 이 식이 딱 떠오르고 점차 계산은 생략되니, 너무 처음부터 빠르게 풀려고 하기 보다는 정확히 적어가면서 푸는 습관을 들이도록 해요.
괄호를 풀어준 후 동류항끼리 계산을 해주시면 됩니다. 여기서도 항이 많으니까 계산한 항은 제거 해주는 습관을 가지면, 혹여나 나중에 계산 못한 빠진항이 있더라도 확인 할 수 있고, 동류항을 매번 찾을 때 후보도 줄어들게 되니 계산 실수 방지와 속도 두마리 토끼를 한번에 잡는 간단한 방법입니다.
개념원리 13p 필수예제 02
이렇게 처음부터 동류항끼리 적어주는 연습을 해두시면 좋습니다. 그리고 이문제에서는 $2B$의 값을 빼주는 것이 였기 때문에 굳이 $B=$ 하고 약분하여 정리할 필요가 없습니다. 즉, 매 순간 문제에서 물어보는 것이 무엇인지 생각하면서 푸는 것이 중요해요. 다음 단계를 할 때 이 풀이를 하는 것이 필요할까?에 대해 생각해보도록해요. 아직은 어렵겠지만 차근차근 제 풀이와 비교해서 생각하는 힘을 길러보도록 합시다.
1-4. 추가자료
개념 정리 자료 (한글파일 / pdf)
이 파일로 수업내용을 한번 간단하게 핵심 요약 정리를 해보시고 백지테스트를 해보도록 합시다.
개념 정리 자료 답안 pdf / 핵심 요약 정리
위의 파일로 공부 후 답안을 보시고 빠진 내용은 추가하며 정리해 보도록 합시다.
필기노트
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