공통수학 1 - 2 - 19. 이차방정식 연습문제 step2, step 3

2 - 2. 이차방정식 

이차방정식 실전 완성편에서는 절댓값 방정식, 근과 계수의 관계, 근의 부호 판단, 역수근·켤레근 활용, 오답 유도 문제까지 수학 시험에서 자주 나오는 핵심 유형을 총정리합니다. 개념원리 공통수학1 129~130p 연습문제를 기반으로, 수능형·서술형 대비에 꼭 필요한 풀이 전략과 개념을 짚어드립니다. 이차방정식 문제풀이 감각을 키우고 싶다면 개념 해석부터 실전 적용까지 하나하나 따라와 보세요.

 

개념원리 공통수학 1 : 129p - 130p

 

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1. 이차방정식연습문제 step2

개념원리 129p 연습문제 264

$\mid A \mid = B$ 인 경우,
$A \geq 0$이면 $A = B$
$A < 0$이면 $-A = B$ ($A = -B$)

 

$\mid x^2 - 2x - a + 3 \mid = 1$

이 경우 절댓값이 1이기 위해 "식 안의 값이 1이거나 -1의 값을 가지면 된다" 라고 간단하게 해석을 하셔도 좋습니다.

(풀이과정은 비슷하니 생략하도록 할께요)

 

"절댓값이 나온경우 절댓값 안의 식 양수이거나 0, 음수로 경우 나눠 풀어줌" 이 생각을 이용해 풀이해 보도록 할께요. 

 

1. $x^2 - 2x - a + 3 \geq 0$ 인 경우
$x^2 - 2x - a + 3 = 1$
$x^2 - 2x - a + 2 = 0$

• 실근을 가지는지 확인하기 위해 $D$ 이용
  $D/4 = (-1)^2 - (-a + 2) = a - 1$ $> 0$ ; 서로 다른 두 실근 ($a > 3$ 이므로)
• 서로 다른 두 실근의 곱 $= -a + 2$

2. $x^2 - 2x - a + 3 < 0$ 인 경우

$x^2 - 2x - a + 3 = -1$

$x^2 - 2x - a + 4 = 0$

• 실근을 가지는지 확인하기 위해 판별식$D$이용
  $D/4 = (-1)^2 - (-a + 4) = a - 3$ $> 0$ ; 서로 다른 두 실근 ($a > 3$ 이므로)
• 서로 다른 두 실근의 곱 : $-a + 4$

모든 실근의 곱이 8이라 하였으므로,

$\Rightarrow (-a + 2)(-a + 4) = 8$

$a^2 - 6a = 0$

$a(a - 6) = 0$

$a = 0$ 또는 $a = 6$

$\therefore a > 3$ 이므로 $a = 6$

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풀이 자체는 비교적 어렵지 않지만, 일부 학생들은 풀이과정에서 의문을 가질 수도 있을 것 같아요. 

절댓값이 포함된 방정식의 풀이 과정 (👉🏻기본 개념 참고 클릭)
1. 절댓값 내부의 식이 양수이거나 0인지, 음수인지에 따라 경우를 나눔 ($x$ 범위 나옴)
2. 식 정리 후 방정식의 근 구하기 
3. 방정식의 근이 $x$ 범위를 만족하는지 확인 

3번째 과정을 하지 않았기 때문인데요, 간단하게 읽어보며 의문점을 해결해보고 가도록 합시다. 

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먼저 절댓값 기준 양수이거나0 or 음수로 경우를 나눠 고려해 줍니다. 

 

$\mid x^2 - 2x - a + 3 \mid = 1$

1. $x^2 - 2x - a + 3 \geq 0$ 인 경우 

 

2. $x^2 - 2x - a + 3 < 0$ 인 경우

 

이후, $x^2 - 2x - a + 3 \geq 0$ 과 $x^2 - 2x - a + 3 < 0$ 를 만족하는 $x$의 범위를 구한 후 방정식을 풀어 근이 이 범위 안에 존재하는지도 확인을 해줘야 합니다. 

이 과정에서 판별식 $D$ 를 통해 서로 다른 두 실근이 존재한다는 것을 확인할 수 있지만, 만약 근이 구한 범위를 만족하지 않는다면 결국 해가 없는 경우가 발생할 수도 있습니다.

 

하지만, 지금 까지 배운 내용으로는 아직 이차 부등식에서 $x$의 범위를 구할 수 없습니다. ( 2-5 에서 배움 )

그러니 범위안에 근이 존재하는지 확인하는 과정도 할 수 없습니다. 그렇다면 이 풀이가 논리적으로 푼 것인지 의문이 들게 되겠죠! 

결론부터 이야기하자면, 이 문제에서는 $x$의 범위를 굳이 구할 필요가 없습니다. 

 

$x^2 - 2x - a + 3 \geq 0$ 인 경우

 → $x^2 - 2x - a + 3$ $= 1$

좌변의 식이 양수이거나 0인 범위 중에서 "그 중에서도" 값이 1인 양수의 상황을 봐주는 것이기 때문이죠.

즉, 값이 1이면 무조건  $x^2 - 2x - a + 3 \geq 0$가 만족하므로 굳이 이를 만족하는   $x$의 범위를 구할 필요가 없는 것입니다. 

 

마찬가지로, 

$x^2 - 2x - a + 3 < 0$ 인 경우

 → $x^2 - 2x - a + 3$ $=  -1$

좌변의 식이 음수인 범위 중에서 "그 중에서도" 값이 -1인 음수의 상황을 봐주는 것 입니다.

즉, 값이 -1이면 무조건 $x^2 - 2x - a + 3 < 0$가 만족하므로 굳이 이를 만족하는  $x$의 범위를 구할 필요가 없는 것입니다. 

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나중에 이차방정식과 그래프의 관계에서 배울 내용이지만, 방정식을 그래프로 해석해 본다면 아래와 같이 요약할 수 있습니다.

• 가정한 범위안에서 무조건 근 을 2개 가진다는 것을 알 수 있겠죠. 

• $y = x^2 -2x -a +3$의 그래프 꼭짓점의 $y$ 좌표가 $-1$보다 작으므로
  절댓값 시키면 꼭짓점의 $y$좌표가 1보다 큰 값을 가지게 됨 
• 교점의 $x$좌표가 4개 → 방정식의 실근 4개

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개념원리 129p 연습문제 266

이차방정식 $x^2 - 4x + 2 = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$

→ 대입시 성립 : $ \alpha^2 - 4\alpha + 2 = 0, \beta^2 - 4\beta + 2 = 0$

 

$\sqrt{2\alpha^3 - 7\alpha^2 + 4\alpha} + \sqrt{2\beta^3 - 7\beta^2 + 4\beta}$

• $ 2\alpha^3 - 7\alpha^2 + 4\alpha = 2\alpha(\alpha^2 - 4\alpha + 2) + \alpha^2 $
• $ 2\beta^3 - 7\beta^2 + 4\beta = 2\beta(\beta^2 - 4\beta + 2) + \beta^2 $

$= \sqrt{\alpha^2} + \sqrt{\beta^2}$

$= |\alpha| + |\beta|$

• 여기서, 절댓값안의 식 부호 판단을 해줘야 합니다. 
• 근과 계수 관계를 이용한 근의 부호 판단
  $\alpha\beta = 2 > 0$ →  두 근의 곱이 양수 : 두 근의 부호 같다
  $\alpha + \beta = 4 > 0$ → 두 근의 합이 양수 : 두 근의 부호가 양수로 같다.
  즉, $\alpha > 0, \beta > 0$
  

$= ( \alpha ) + ( \beta )$

$= 4$

 

이렇게, 근과 계수의 관계를 이용하여 근의 부호를 판단해주는 과정은 꽤 많이 나오므로 꼭 알아두도록 합시다!!

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개념원리 129p 연습문제 268

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$

 

일차항의 계수를 잘못 보고 풀었더니 두 근이 $\dfrac{2}{3}$ 와 $\dfrac{7}{2}$이 되었다. 

→ $b$를 잘못보고 풀었다는 것은 $a,c$는 제대로 봤다고 이해가능

→ 두근의 곱 : $\dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{3}$

→ $c = \dfrac{7a}{3}$

 

상수항을 잘못 보고 풀었더니 두 근 $\dfrac{5}{3}$ 와 $1$이 되었다. 

→ $c$를 잘못보고 풀었다는 것은 $a,b$는 제대로 봤다고 이해가능

→ 두근의 합 : $\dfrac{-b}{a} = \dfrac{5}{3} + 1 = \dfrac{8}{3}$

→ $b = \dfrac{-8a}{3}$

 

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$

$ax^2 - \dfrac{8}{3}ax + \dfrac{7}{3}a = 0$

• 양변에 곱하기 3
• 양변에 나누기 $ a ( \neq 0 )$

$3x^2 - 8x + 7 = 0$

올바른 두 근 : $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{5}i}{3}$

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조금 더 이해를 돕기위해 설명해보자면,

 

일차항의 계수를 잘못 보고 풀었다면, $ax^2 + kx + c = 0$ 의 근을 구한 것이  $\dfrac{2}{3}$ 와 $\dfrac{7}{2}$ 입니다.

• $ax^2 + kx + c = 0$ 두 근의 곱 : $\dfrac{c}{a}$
• 처음 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근의 곱 : $\dfrac{c}{a}$  
• 이렇게, 두 근의 곱 관계는 동일합니다. 

상수항을 잘못 보고 풀었다면, $ax^2 + bx + k = 0$의 근을 구한 것이 $\dfrac{5}{3}$ 와 $1$ 입니다. 

• $ax^2 + bx + k = 0$ 두 근의 합 : $\dfrac{-b}{a}$
• 처음 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근의 합 : $\dfrac{-b}{a}$
• 이렇게, 두 근의 합 관계는 동일합니다. 

이를 이용하여, 원래 식의 두근의 합 곱을 구해 주는 것입니다. 

 

$ax^2 + bx + c = 0$ 식을 세울 때,

최고차항의 계수는 $a$이고 두 근의 합은 $\dfrac{-b}{a} = \dfrac{8}{3}$ , 두 근의 곱은 $\dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{3}$

→ $ax^2 - \dfrac{8}{3}ax + \dfrac{7}{3}a = 0$ 

 

$ax^2 - \dfrac{8}{3}ax + \dfrac{7}{3}a = 0$ 두 근은 ? 

$ \dfrac{a}{3}(3x^2 - 8x + 7) = 0$ 의 두 근은 $3x^2 - 8x + 7 = 0$ 의 두 근과 같기 때문에,  

근의 공식을 이용하여 구해주면,  $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{5}i}{3}$

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개념원리 129p 연습문제 269

두 근의 절댓값 비가 2 : 1 이라고 주어졌을 때, 단순히 두 근을 $2\alpha, \alpha$로 두면 두 근의 부호가 같다는 제한이 생깁니다. 

하지만, 주어진 이차방정식에서 두 근의 곱이 $-18 < 0$ 이므로 두 근의 부호는 서로 다릅니다. 

따라서 두 근을 $\alpha, -2\alpha \ (\alpha \neq 0)$ 으로 설정해야 합니다. 

• $\alpha$가 양수라면, $-2\alpha$는 음수
• $\alpha$가 음수라면, $-2\alpha$는 양수

💡 참고 :) $ - \alpha, 2\alpha \ (\alpha \neq 0)$로 잡아도 됨.

$\alpha$가 양수, 음수인 모든 상황을 보는 것이기 때문에, 마이너스 부호는 어디에 붙여도 상관없으며, 중요한 것은 두 근의 부호가 다르다는 점입니다. 

• 근과 계수의 관계
  두 근의 합 : $\alpha + (-2\alpha) = -(m - 5)$
  두 근의 곱 : $\alpha \times (-2\alpha) = -18$ → $\alpha^2 = 9$ → $\therefore \alpha = \pm 3$

$\alpha + (-2\alpha) = -(m - 5)$ 식에 $\alpha = \pm 3$ 관계를 넣어 $m$의 값을 구해주면, $m = 2$ 또는 $m = 8$

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개념원리 130p 연습문제 270

• $x^2 + x - 4 = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$
  → $x^2 + x - 4 = 1 \cdot (x - \alpha)(x - \beta)$
• $f(\alpha) = f(\beta) = 1$
  $f(\alpha) - 1 = 0$, $f(\beta) - 1 = 0$
  $f(x) - 1 = 0$의 근 $\alpha, \beta$
• $f(x)$의 이차항 계수 1
  $f(x) - 1$의 이차항 계수 1

$f(x) - 1 = 1(x - \alpha)(x - \beta)$

• $x^2 + x - 4 = 1 \cdot (x - \alpha)(x - \beta)$ 이므로

$f(x) - 1 = x^2 + x - 4$

$\therefore f(x) = x^2 + x - 3$

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2. 이차방정식연습문제 step3 (130p)

개념원리 130p 연습문제 272

참고:)
◎ $|A|^2 = A^2$
$A$가 양수이든 음수이든 절댓값을 시키거나 제곱을 시키면 부호의 영향이 사라짐

◎ $\quad |A| \cdot |B| = |AB|$
좌변 : 각각의 수를 절댓값 시킨 후 ( 양수로 만들어 준 후 ) 곱하는 것
우변 : 둘을 곱하여 절댓값 시켜주는 것 (양수로 만들어 주는 것)
$A, B$의 부호와 상관 없이 성립하게 됨 

 

$x^2 - 4k + k = 0$ 의 두 실근 $\alpha, \beta$

두 실근을 가지기 위해 판별식 $D = (-2)^2 - k = 4 - k$ $ \geq 0$

∴ $4 \geq k$

💡 ↑ 이 조건을 먼저 언급해주는 것이 중요합니다.

가끔 문제에서 이 조건을 보고 넘어가지 않아 틀리는 경우도 생길 수 있으므로 

꼭 실근이라는 언급이 있다면 쓰든 안쓰든 생각하고 넘어가도록 합시다. 

 

$| \alpha | + | \beta | = 6$

• 양변을 제곱해 주면, 

$(| \alpha | + | \beta |)^2 = 36$

$| \alpha |^2 + 2 | \alpha | \cdot | \beta | + | \beta |^2 = 36$

• $|A|^2 = A^2$, $\quad |A| \cdot |B| = |AB|$ 이용

$\alpha^2 + 2 | \alpha \beta | + \beta^2 = 36$

• $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ 

$(\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta + 2 | \alpha \beta | = 36$

• $x^2 - 4x + k = 0$의 두 실근 $\alpha, \beta$의 근과 계수의 관계
  $\alpha + \beta = 4$, $\alpha \beta = k$

$(4)^2 - 2(k) + 2 |k| = 36$

$k - |k| = -10$

• $k \geq 0$ 인 경우 $|k| = k$이므로 , $\quad k - k \neq -10$ (성립 x)
• $k < 0$ 인 경우 $|k| = -k$이므로 , $\quad k + k = -10$ →   $\quad k = -5$ ($4 \geq k$조건도 만족)

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개념원리 130p 연습문제 273

두가지로 풀이를 진행해 보도록 할께요. 

 

기본 풀이:) 

$x^2 - 5x + 2 = 0$ 의 두 근 $\alpha, \beta$

• 근과 계수의 관계 ①
  두 근의 합: $\alpha + \beta = 5$
  두 근의 곱: $\alpha \beta = 2$

$P(x) + x - 3 = 0$ 의 두 근 $\alpha + 1, \beta + 1$

• 근과 계수의 관계 ② ( 근과 계수의 관계 ① 을 이용해 정리 )
  두 근의 합: $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = 7$
  두 근의 곱: $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + (\alpha + \beta) + 1 = 8$

최고차 계수가 주어져 있지 않으므로 미지수 $k$ 로 두고 두 근의 합은 7이고 곱은 8 이므로

∴ $P(x) + x - 3 = k(x^2 - 7x + 8)$

• $x = -1$ 대입 ($P(-1) = 0$ 조건 사용)
  $P(-1) - 4 = k(16)$
  $-4 = 16k$
  $\therefore k = -\dfrac{1}{4}$
  
  
• $x = 2$ 대입 ($P(2)$ 값 구하기)
  $P(2) - 1 = -\dfrac{1}{4} (-2)$
  $P(2) = \dfrac{3}{2}$

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다른 풀이:)

• $x^2 - 5x + 2 = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$
  $x^2 - 5x + 2 = (x - \alpha)(x - \beta)$ ← 식①
  
  
• $P(x) + x - 3 = 0$ 의 두 근 $\alpha + 1, \beta + 1$
  $P(x) + x - 3 =$ $k$ $(x - 1 - \alpha)(x - 1 - \beta)$ ← 식② (최고차 계수에 대한 정보 없으므로 k)

식①에 $x$ 대신 $x - 1$ 대입 하면

$(x - 1)^2 - 5(x - 1) + 2 = (x - 1 - \alpha)(x - 1 - \beta)$ 이므로

식②는 $P(x) + x - 3 = k($ $(x - 1)^2 - 5(x - 1) + 2$ $)$ 으로 정리됨

 

∴ $P(x) + x - 3 = k((x - 1)^2 - 5(x - 1) + 2)$

 💡 여기서, 값을 구하면 되는 문제이므로 굳이 전개하여 식을 정리해 줄 필요는 없습니다.

• $x = -1$ 대입 ($P(-1) = 0$ 조건 사용)
  $P(-1) - 4 = k(4 + 10 + 2)$
  $-4 = 16k$
  $\therefore k = -\dfrac{1}{4}$
  
  
• $x = 2$ 대입 ($P(2)$ 값 구하기)
  $P(2) - 1 = -\dfrac{1}{4} (1 - 5 + 2)$
  $P(2) = \dfrac{3}{2}$

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여러가지 풀이법을 꼭 공부하도록 해주세요. 

풀이과정만 보았을 때는 비효율적인 것 같고 , 더 어렵게 느껴질 수도 있습니다. 

하지만, 이 과정을 많이 반복하다 보면 풀이과정이 단순해지고 심화문제를 다루는데 있어 좋은 바탕이 될 것 입니다. 

실제로 제가 처음 책이 나왔을 때 수업을 어떤식으로 해줄까 고민하면서 풀었던 풀이과정입니다. 

그냥 위의 과정으로만 풀이를 적어뒀다면 이해가 안된 학생들도 물론 있었을 꺼에요. 

제가 블로그를 쓸때는 최대한 이해를 위해 풀어서 쓴다고 길어보이고 복잡해 보일 수 있지만,

꼭 한문장씩 이해하면서 반복해 보시길 바랍니다. 

그리고 꼭 식 제대로 써가면서 풀이하기!! 

그러다보면 나중에는 풀이과정이 눈에 뽝 떠오를꺼에요 화이팅!!

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개념원리 130p 연습문제 274

주어진 조건 :

사각형 $DBFE$ 한변의 길이를 $k$ 라 하면

$x^2 - 4x + 2 = 0$ 의 두 실근 $\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$

$4x^2 + mx + n = 0$ 의 두 근 (정사각형 넓이 $= k^2$), (둘레 $= 4k$)

 

1. 삼각형 EFC와 삼각형ABC 닯음 이용
$EF : FC = \alpha : \beta$
$k : FC = \alpha : \beta$
$(FC)(\alpha) = (k)(\beta)$
$FC = \dfrac{k \beta}{\alpha}$

 

2. 정사각형이므로 $BF = EF$
$\left( BF = BC - FC = \beta - \dfrac{k \beta}{\alpha} \right)$ 이므로
$\beta - \dfrac{k \beta}{\alpha} = k$
$\alpha \beta - k \beta = k \alpha$
$\alpha \beta = k(\alpha + \beta)$

• $x^2 - 4x + 2 = 0$ 의 두 실근 $\alpha, \beta$
  두근의 합 : $\alpha + \beta = 4$
  두근의 곱 : $(\alpha)(\beta) = 2$

$2 = k(4)$

$k = \dfrac{1}{2}$

 

3. $4x^2 + mx + n = 0$ 의 두 근 (정사각형 넓이 $= k^2 = \dfrac{1}{4}$), (둘레 $= 4k = 2$)

두 근의 합: $-\dfrac{m}{4} = \dfrac{1}{4} + 2 \quad \therefore m = -9$

두 근의 곱: $\dfrac{n}{4} = \dfrac{1}{4} \times 2 \quad \therefore n = 2$

$\therefore m + n = -7$

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"추가로 필요한 자료/ 문제에 대한 다른 풀이 방법/ 글을 읽다 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!"

 

"이 블로그는 개념원리 교재를 참고하여 학습 내용을 정리하였으며, 저작권 보호를 위해 원문 문제는 제공하지 않고 제 풀이와 학습 팁을 중심으로 구성하여 독창적인 풀이와 함께 효율적인 학습 방법을 공유합니다."